2022-2023学年河南省南阳市南召县九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年河南省南阳市南召县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列二次根式中，的同类二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 用公式法解方程时，求根公式中的，，的值分别是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3. 已知的三边长分别为，，，另有一个与它相似的三角形，其最长边为，则的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 方程的两根为，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值是(    )

A. 或 B.  C.  D.

7. 如图是一块等腰三角形空地，已知点，分别是边，的中点，量得米，米，若用篱笆围成四边形来放养小鸡，则需要篱笆的长是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

8. 按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是(    )
    

A.  B.  C.  D.

9. 如图，点是线段的中点，，下列结论中，与相似；与相似；；，其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于(    )
     

A.  B.  C. 或 D.  

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 计算的结果为______．
12. 方程的解为______．
13. 设、是方程的两个实数根，则的值为______．
14. 在设计人体雕像时，使雕像上部腰部以上与下部腰部以下的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为米的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是______米．

15. 如图，在矩形中，动点从点出发，沿边向点匀速运动，动点从点出发，沿边向点匀速运动，连接动点，同时出发，点运动的速度为，点运动的速度为，且当点到达点时，，两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形若在某一时刻，点的对应点恰好与的中点重合，则的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 计算：；
    解方程：．
17. 用配方法解方程：．
18. 关于的一元二次方程有实数根．
    求的取值范围；
    如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
19. 下表是小明填写的实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度．

20. 国庆节期间，康辉旅行社发布了“南召县五朵山风景区的旅游信息”，某企业组织一批优秀员工到该风景区参加一日游活动，依据一日游信息，该企业一共支付给康辉旅行社元．请你算一算该企业参加这次旅游的优秀员工一共有多少人？
    南召县五朵山风景区一日游信息表仅限国庆节期间

21. 如图，小明在学习图形的位似时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．
    在图中标出和的位似中心点的位置并写出点的坐标．
    若以点为位似中心，请你帮小明在图中画出的位似图形，且与的位似比为：．
    直接写出中点的坐标．

22. 阅读下列材料：已知实数，满足，试求的值．
    解：设，则原方程变为，整理得，即，
    ．
    ，
    ．
    上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替即换元，则能使复杂的问题简单化．
    根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
    已知实数，满足，求的值．
    若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数．
23. 综合与实践
    问题情境：在中，，，直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，．
    猜想证明：
    如图，在三角板旋转过程中，当点为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；
    问题解决：
    如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长；
    如图，在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
A、与被开方数相同，故是同类二次根式；
B、与被开方数不同，故不是同类二次根式；
C、与被开方数不同，故不是同类二次根式；
D、与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：．
先把每一个二次根式化为最简二次根式，然后找出与被开方数相同的二次根式．
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
 

2.【答案】 

【解析】解：将方程整理得：，
这里，，，
故选：．
方程整理为一般形式，找出，，的值即可．
此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：的最长边为，周长为，
与的相似比为：：，
的周长：三角形的周长：，
的周长．
故选：．
先计算出与的相似比为：，然后利用相似三角形多边形的周长的比等于相似比求解．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形多边形的周长的比等于相似比．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为方程中，，，，
所以，
所以方程有两个相等的实数根，
故选C．
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是的一元二次方程．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．总结一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据根与系数的关系得．
故选：．
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
 

6.【答案】 

【解析】解：方程，
，
．
将代入，得：，
解得：不合题意，舍去，，
故选：．
根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，将代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，代入求出的值是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：点，分别是边，的中点，米，
米，
米，米，
篱笆的长米．
故选：．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出的长，利用四边形的周长得到即可．
本题考查三角形的中位线定理，关键是利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质求解．
 

8.【答案】 

【解析】解：时，，且，
将再次输入，




，
，
输出结果是，
故选：．
将代入计算的值，判断结果小于，将再代入计算，再判断计算结果是否大于，即可得到答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意，掌握二次根式相关运算的法则．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
又，
∽，故结论正确．
．
是线段的中点，
．
．
又，
∽，故结论正确．
，，故结论正确．
故选：．
先利用三角形的内角和、平角及已知，说明，利用相似三角形的判定方法说明∽，再利用相似三角形的性质和判定方法说明∽，最后利用相似三角形的性质判断．
本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握判定两个三角形相似的方法及相似三角形的性质是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设交于，交于点

由平移的性质知，，
四边形是平行四边形，
，，
是等腰直角三角形，
同理，也是等腰直角三角形，
设，则阴影部分的底长为，高，
，
．
即．
故选：．
根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，与都是等腰直角三角形，则若设，则阴影部分的底长为，高，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
此题考查了平移的性质，正方形的性质，解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程的思想方法解题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则按照二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】
解：原式．
故答案为：．  

12.【答案】， 

【解析】解：，
，
，
解得：，．
故答案为：，．
方程利用因式分解法求出解即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，掌握解方程的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：是方程的实数根，
，
即，
，
、是方程的两个实数根，
，
．
故答案为：．
先利用一元二次方程解的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了一元二次方程的解．
 

14.【答案】 

【解析】解：雕像上部腰部以上与下部腰部以下的高度比等于下部与全部的高度比，
该雕像的下部设计高度，
故答案为：．
根据黄金分割的定义可得：该雕像的下部设计高度全部高度，然后进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，设交于点设．

，
可以假设，，
四边形是矩形，
，，，
在中，，
，
，
，，
由翻折的性质可知，
，，
，
，
∽，
：：：：：：，
，
，
，，
∽，
：：：：：：，
设，
则，
，
，
，
，
故答案为：．
如图，设交于点设利用勾股定理求出用表示，再利用相似三角形的性质求出用表示，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

16.【答案】解：原式

；
，
，
则，
或，
解得，． 

【解析】先利用完全平方公式和二次根式的除法法则计算，再去括号，计算加减即可；
先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
，． 

【解析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
 

18.【答案】解：根据题意得，
解得；
满足条件的的最大整数为，此时方程变形为方程，解得，，
当相同的解为时，把代入方程得，解得；
当相同的解为时，把代入方程得，解得，而，不符合题意，舍去，
所以的值为． 

【解析】利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；
先确定，再解方程，解得，，然后分别把和代入一元二次方程可得到满足条件的的值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

19.【答案】解：，
∽，
则，
即，
解得：，
答：小河的宽度为米． 

【解析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
 

20.【答案】解：设该企业参加这次旅游的优秀员工一共有人，
，
．
根据题意得：，
解得：，．
当时，，
当时，，舍去．
答：该企业参加这次旅游的优秀员工一共有人． 

【解析】设该企业参加这次旅游的优秀员工一共有人，由可得出，根据总价单价人数，列出一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，点为所作，点的坐标为；

如图，即为所求；
． 

【解析】连接A、C、，它们的交点为点，然后写出点的坐标；
根据位似变换的性质作出图形即可；
根据点的位置写出坐标即可．
本题考查了作图位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了位似的性质．
 

22.【答案】解：设，则，
，即，，
，，
；
设最小数为，则，
即：，
设，则，
，，
为正整数，
，
，舍去，
这四个整数为，，，． 

【解析】利用换元法将设，求出的值即可求解；
根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解．
本题考查了多项式的乘法，平方差公式与求方程的解，关键把代数式看做一个整体，通过换元求解．
 

23.【答案】解：四边形是矩形，理由如下：
点是的中点，点是的中点，
，
，
，
，
，
四边形是矩形；
如图，过点作于，
，，，
，
点是的中点，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
，
；
如图，连接，，过点作于，

，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
． 

【解析】由三角形中位线定理可得，可证，即可求解；
由勾股定理可求的长，由中点的性质可得的长，由锐角三角函数可求解；
通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，由直角三角形的性质可求的长，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．