初中华师大版第21章 二次根式综合与测试同步训练题

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第21章 二次根式单元测试 （B卷·提升能力）

（时间：120分钟，满分：120分）

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。）

1．（2021·安庆市石化第一中学八年级期中）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据二次根式的性质先化简，再根据绝对值的性质进行计算即可．

【详解】

解：观察实数a，b在数轴上的位置可知：
a+1＞0，a-b＜0，1-b＜0，a+b＞0，

∴，

=|a+1|+|a-b|+2|1-b|-|a+b|
=a+1+b-a+2（b-1）-（a+b）
=a+1+b-a+2b-2-a-b
=-a+2b-1．
故选：C．

【点睛】

本题考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，解决本题的关键是掌握二次根式得性质及绝对值的性质．

2．（2021·湖北十堰市·八年级期末）如图，数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，则化简得（　　）

A．2 B．2 C．2＋ D．3

【答案】C

【分析】

首先根据对称的性质即可确定x的值，代入所求代数式进行化简变形即可；

【详解】

解：∵点B关于点A的对称点为点C，

∴AB＝AC．

∴，

解得：，

∴点C表示的数x为，

∴，，

∴，

故选择：C．

【点睛】

本题考查了绝对值的化简、二次根式的化简等知识点．利用对称的性质求出x的值是解决本题的关键．

3．（2021·山东八年级期末）若y＝﹣3，则（x+y）2021等于（　　）

A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1

【答案】D

【分析】

直接利用二次根式中的被开方数是非负数，进而得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．

【详解】

解：由题意可得：x﹣2≥0且4﹣2x≥0，

解得：x＝2，

故y＝﹣3，

则（x+y）2021＝﹣1．

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数的符号是解题关键．

4．（2021·西安市铁一中学九年级其他模拟）秦九是我国南宋著名的数学家，他与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，在他所著的《数书九章》中记录了三斜求积术，即三角形的面积，其中，，为三角形的三边长．若一个三角形的三边分别为，用公式计算出它的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

直接把已知数据代入进而化简二次根式得出答案．

【详解】

解：一个三角形的三边分别为，

∴它的面积是：

，

∴，

∴，

∴；

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．

5．（2021·河北八年级期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是ABC的高，则BD的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意和题目中的数据，可以计算出的面积和的长，然后即可计算出的长．

【详解】

解：由题意可得：，

是的高，，

，

解得：，

故选：C．

【点睛】

本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

6．（2021·河北八年级期中）我们可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故x＞0，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（    ）

A． B．﹣12 C． D．

【答案】A

【分析】

根据二次根式的运算法则即可求出答案．

【详解】

解：设，且，

，

，

，

，

故选：A．

【点睛】

本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于较难题型．

7．（2021·湖北八年级期中）观察下列各式规律：①；②；③；…；若， 则m＋n的值为（    ）

A．108 B．109 C．110 D．111

【答案】B

【分析】

先找出分母与分子的关系，从而得到一般规律是，然后由列出代数式即可解得．

【详解】

解：∵；；；

．

当时，，即．

∴，

故：

故选：B．

【点睛】

本题主要考查的是数字的变化规律，找出其中的规律是解题的关键．

8．（2020·广东新安中学（集团）八年级期中）给出下列结论：①在3和4之间；②中的取值范围是；③的平方根是3；④；⑤．其中正确的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】

根据估算出的大小、二次根式的意义、算术平方根、无理数比较大小方法，即可解答．

【详解】

解：①，

，

故①错误；

②因为二次根式中的取值范围是，故②正确；

③，9的平方根是，故③错误；

④，故④错误；

⑤∵，，

∴，即，故⑤错误；

综上所述：正确的有②，共1个，

故选：．

【点睛】

本题考查了故算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算平方法比较无理数大小．

9．（2018·全国八年级课时练习）已知，则的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【详解】

∵，

，

∴.

故选C.

10．（2021·全国九年级专题练习）如图是一个按某种规律排列的数阵：

根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．

【详解】

由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），

∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3，

∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是：

故选：C．

【点睛】

本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．

二、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分。）

11．（2021·湖南长沙市·雨花新华都学校八年级月考）若，则_________．

【答案】2021

【分析】

先根据二次根式有意义的条件得到，然后化简绝对值可以得到，即可得到.

【详解】

解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴

∴，

∴，

故答案为：2021.

【点睛】

本题主要考查了绝对值的化简，二次根式有意义的条件，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

12．（广西壮族自治区河池市南丹县2020-2021学年八年级下学期期中数学试题）计算：_______．

【答案】

【分析】

逆用积的乘方运算法则进行计算即可得到结果．

【详解】

解：

故答案为：

【点睛】

此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则及运算公式是解答此题的关键．

13．（山东省济宁市邹城市2020-2021学年八年级下学期期中数学试题）观察下列运算：

由，得；

由，得；

由，得；

…

则_________．

【答案】

【分析】

先利用平方差公式进行二次根式的分母有理化计算，然后再合并同类二次根式．

【详解】

解：

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次根式的分母有理化及数字的规律探索，掌握平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2的结构特征是解题的关键．

14．（2021·上海市文来中学七年级期中）如果，那么________．

【答案】-1

【分析】

根据已知条件先确定a的取值范围，再化简即可．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，，

，

=，

=，

=，

=，

=-1．

【点睛】

本题考查了二次根式化简和绝对值的意义，解题关键根据一个数的绝对值与它本身的商为-1，这个数是负数确定a的取值范围，熟练运用二次根式的性质和绝对值的意义进行化简．

15．（2021·重庆八年级期中）观察下列各式：

①，

②，

③，…，

请利用你所发现的规律计算：

______．

【答案】．

【分析】

先根据中所给式子，找到规律，判断出每个式子的值，再整体求和．

【详解】

解：

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查探索规律，二次根式的化简等内容，根据给出式子，找到规律是解题关键．

16．（2020·湖北武汉·华师一附中初中部九年级期中）若7＋和5﹣的小数部分分别为m，n，则＝________ ．

【答案】

【分析】

先求出7＋和5﹣的整数部分，从而可求出m，n，即可求解．

【详解】

解：∵，

∴，

∴ ， ，

∴7＋的整数部分为10， 5﹣的整数部分为1，

∴7＋的小数部分为 ， 5﹣的小数部分为 ，

即，，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分．

17．（2021·四川八年级期末）已知，则的值为________ ．

【答案】-14

【分析】

先计算出x-y，xy的值，再把变形代入即可求解．

【详解】

解：∵ 

∴，；

∴．

故答案为：-14

【点睛】

本题考查了二次根式的化简求值，根据x、y的值的特点和所求分式的特点进行正确变形，熟知相关运算公式，法则是解题关键，本题也可以直接代入计算，但运算量比较大．

18．（2021·湖北咸宁·九年级其他模拟）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则____．

【答案】10

【分析】

先根据求出（为正整数）的值，从而可得的值，再求和即可得．

【详解】

解：，

（为正整数），

，

，

，

，

则，

故答案为：10．

【点睛】

本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．

19．（2021·广西八年级期中）已知，，当分别取1，2，3，…，2021时，所对应的值的总和是______．

【答案】2027

【分析】

根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简，然后代入求值即可求出答案．

【详解】

解：由二次函数的性质，则

，

当时，；

当时，；

∴对应的值的总和是：

=

=；

故答案为：2027．

【点睛】

本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．

20．（2021·北京九年级专题练习）已知，则的最小值为__．

【答案】．

【分析】

先对变形，根据绝对值的意义得到和为最小值时x、y的取值，进而得到的最小值．

【详解】

解：，

，

可理解为在数轴上，数的对应的点到和1两点的距离之和；可理解为在数轴上，数的对应的点到和5两点的距离之和，

当，的最小值为3；

当时，的最小值为6，

的范围为，的范围为，

当，时，的值最小，最小值为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次根式的化简，绝对值的意义，能根据二次根式的性质进行化简，并根据绝对值的意义确定x、y的取值是解题关键．

三、解答题（本题共5小题，每小题6分，共30分。）

21．（2021·内蒙古八年级期末）计算：．

【答案】1

【分析】

利用积的乘方的逆运算，平方差公式，绝对值和零指数幂的求解方法计算即可.

【详解】

解：原式

.

【点睛】

本题主要考查了积的乘方的逆运算，平方差公式，绝对值和零指数幂，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

22．（2021·湖南长沙市·雨花新华都学校八年级月考）规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．

；（S1是△OA1A2的面积）

；（S2是△OA2A3的面积）

；（S3是△OA3A4的面积）……

（1）请用含有n（n为正整数）的等式         ；

（2）推算出         ；

（3）求出的值．

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】

（1）通过观察规律可得；（Sn是△OAnAn+1的面积）；

（2）根据求解即可得到答案；

（3）先分别算出，，，，，即可得到

，然后进行分母有理化即可.

【详解】

解：（1）；（S1是△OA1A2的面积）

；（S2是△OA2A3的面积）

；（S3是△OA3A4的面积）……

∴可得；（Sn是△OAnAn+1的面积）,

故答案为：；

（2）由（1）得，

∴，

∴；

（3）∵，

∴，，，，

∴

，

.

【点睛】

本题主要考查了规律，分母有理化，解题的关键在于能够根据题意准确找到规律进行求解.

23．（2021·河北八年级期中）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：

（1）的有理化因式是______；

（2）化去式子分母中的根号：______．（直接写结果）

（3）______（填或）

（4）利用你发现的规律计算下列式子的值：．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2020

【分析】

（1）根据有理化因式的定义求解；
（2）利用分母有理化计算；

（3）通过比较它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到，，然后进行比较大小；

（4）先根据规律，化简第一个括号中的式子，再利用平方差公式计算即可．

【详解】

解：（1）的有理化因式是，

故答案为：；

（2）∵，

故答案为：；

（3）∵，，

而，

∴>，

∴<，

故答案为：<

（4）解：原式

【点睛】

本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

24．（2021·上海市文来中学七年级期中）x，y，z适合关系式：，求m-4的平方根．

【答案】

【分析】

由二次根式有意义的条件求出x+y=2004，可得，再由算术平方根的非负性得出x+2y=3，与x+y=2004联立求出x和y，进而求出m，然后根据平方根的定义求解即可．

【详解】

解：∵x+y-2004≥0，2004-x-y≥2004，

∴x+y=2004，

∴，

∴，

①-②，得

x+2y=3，

解，得，

把代入②，得

8010-6003-m=0，

∴m=2007，

∴m-4=2003，

∴m-4的平方根是．

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根的非负性，以及解二元一次方程组，得出关于x和y的二元一次方程组是解答本题的关键．

25．（2021·湖北八年级期末）阅读材料：基本不等式当且仅当a=b时，等号成立，其中我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具，例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，有最小值？最小值是多少？

解：∵x＞0，，∴ ≥2，∴，当且仅当时，即x=1时，有有最小值为2．

请根据阅读材料解答下列问题：

（1）填空：当>0时，设，则当且仅当=____时，y有最____值为_______；

（2）若＞0，函数，当x为何值时，函数有最值？并求出其最值；

（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的面积等于8，求△ABC周长的最小值．

【答案】（1）2，小，4 ；（2），y有最小值2；（3）△ABC的周长最小为8+4

【分析】

（1）根据基本不等式即可求得y的最小值，及此时x的取值；

（2）根据基本不等式即可求得y的最小值，及此时x的取值；

（3）由基本不等式可分别得：，，由周长公式可得，从而可得△ABC周长的最小值．

【详解】

（1）∵x>0

∴

∴y=≥4

当且仅当即x=时，y有最小值4． 

故答案为：2，小，4 

（2）∵x＞0

∴

∴y=≥2

当且仅当即x=时，y有最小值2． 

（3）设两直角边分别为a，b，斜边为c

由题意得：，且由勾股定理得：

∴ab=16

∵a＞0，b＞0

∴=ab

∴，

∵

∴

∴≥8+4

当且仅当a=b时△ABC的周长最小为8+4．

【点睛】

本题属于阅读材料题目，考查了学生对材料的阅读理解能力和应用能力，考查了解方程，不等式的性质，勾股定理，图形的面积和周长等知识，关键是读懂材料并能应用材料的知识解决问题．