苏科版九年级数学上册 小结与思考(15)（教案）

这是一份2021学年本册综合教案，共4页。
一元二次方程复习课　　　　　　　　　　　　本章总结提升 定义：只含有__一个__未知数，并且未知数的最高次数是__2__，这样的方程叫做一元二次方程直接开平方法：形如(ax±b)2＝c(c≥0)，左边是含有一个未知数的一次式的平方，右边是非负常数公式法：通法，求根公式为x＝(b2－4ac≥0)当b2－4ac>0时，方程有__两__个__不相等__的实数根当b2－4ac＝0时，方程有__两__个__相等__的实数根当b2－4ac<0时，方程__没有__实数根x1＋x2＝－，x1x2＝ 书山寻宝，学海泛舟.类型　　一　一元二次方程的概念 下列方程是一元二次方程的有________(填序号)．(1)x2＋－5＝0；(2)x2－3xy＋7＝0；(3)m3－2m＋3＝0；(4)x2－5＝0；(5)ax2－bx＝4.[归纳总结] 判断一个方程是否为一元二次方程，看方程是否满足以下三个条件：(1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.三个条件缺一不可． 把方程(1－2x)(x＋4)＋7x＝2x2＋3化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． [归纳总结] 把一个方程整理成一元二次方程的一般形式时，需要注意：(1)通常将二次项系数化为正数；(2)在写一元二次方程的各项系数时要连同前面的符号；(3)当一元二次方程化成一般形式有缺项时，它们的系数是0，而不是没有．类型　　二　一元二次方程的解法 用适当的方法解下列方程：(1)9(x＋2)2＝16；(2)x2＋2x－3＝0；(3)5x(x－3)＝6－2x；(4)(x＋4)2－(x＋5)2＋(x－3)2＝24＋4x.  [归纳总结] 解一元二次方程时，要根据实际情况，灵活选用解方程的方法．若方程易化为(x＋m)2＝n的形式，则利用直接开平方法比较方便．对一元二次方程的一般形式而言，若ax2＋bx＋c易于因式分解，则利用因式分解法；若易于配成完全平方式，则利用配方法；否则就用公式法． 类型　　三　一元二次方程根的判别式、根与系数关系的综合应用 [2014·梅州] 已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.(1)当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． [归纳总结] 利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意b2－4ac≥0这个前提，而应用判别式b2－4ac的前提是二次项系数a≠0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件b2－4ac≥0和a≠0.类型　　四　面积问题中的一元二次方程 如图1－T－1，在宽为20 m、长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽．图1－T－1 [归纳总结] 这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则图形变为规则图形，进而通过列方程求解．另外还要注意解的合理性，从而确定解的取舍．类型　　五　几何中的一元二次方程 如图1－T－2，在长方形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空：BQ＝________cm，PB＝________cm(用含t的代数式表示)；(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm?(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．图1－T－2 [归纳总结] 解答动态问题的关键是“以静制动”，即将动点问题看成是特定时刻下的顶点问题，用含t的代数式表示出相应线段的长，再结合相关几何知识解答．类型　　六　增长(降低)率中的一元二次方程 [2014·沈阳] 某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率． [归纳总结] 平均增长率中的数量关系：(1)增长的基数为a，每次增长的平均增长率为x，则第一次增长后的数量为a(1＋x)，第二次增长是以a(1＋x)为基数的，两次增长后的数量为a(1＋x)2.(2)基数是a，两次平均降低率为x，则第一次降低后的数量为a(1－x)，第二次降低后的数量为a(1－x)2.类型　　七　营销中的一元二次方程 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．商场要想在这种冰箱销售中每天赢利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ [归纳总结] 市场经济中的利润问题一直是中考的热点，熟练理解并应用“商品的总利润＝每件商品的利润×销售件数”这一等量关系是解题关键．另外，在现阶段学好此类问题，也可以为后面学习二次函数中的利润类问题作好知识储备，希望同学们引起重视．一元二次方程的整数解在数学课外活动中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式入手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设b2－4ac＝k2)，通过穷举，逼近求解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关． 若关于x的方程(6－k)(9－k)x2－(117－15k)x＋54＝0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有________个．[思路点拨] 用因式分解法可得到根的简单表达式，因为方程的类型未指明，故需按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定的值才能全面而准确．[答案] 5[解析] 当k＝6时，得x＝2；当k＝9时，得x＝－3；当k≠6且k≠9时，解得x1＝，x2＝，当6－k＝±1，±3，±9时，x1是整数，这时k＝7，5，3，15，－3；当9－k＝±1，±2，±3，±6时，x2是整数，这时k＝10，8，11，7，12，15，3.综上所述，当k＝3，6，7，9，15时，原方程的解为整数．[归纳总结] 系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论． 当m为整数时，关于x的方程(2m－1)x2－(2m＋1)x＋1＝0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．解：没有．理由：整系数方程有有理根的条件是b2－4ac为完全平方数．设b2－4ac＝(2m＋1)2－4(2m－1)＝4m2－4m＋5＝(2m－1)2＋4＝n2(n为整数)，解不定方程，讨论m的存在性．若b2－4ac＝n2(n为整数)，则(2m－1)2＋4＝n2，(n＋2m－1)(n－2m＋1)＝4.∵n＋(2m－1)与n－(2m－1)的奇偶性相同，∴只可能有或解得2m－1＝0，与m为整数矛盾，故b2－4ac不可能为完全平方数，方程不可能有有理根．[归纳总结] 对一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)而言，若方程的根为有理数，则b2－4ac必为完全平方数．