2021学年1.3 一元二次方程的根与系数的关系教案及反思

这是一份2021学年1.3 一元二次方程的根与系数的关系教案及反思，共6页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感态度价值观，教学重点，教学难点等内容，欢迎下载使用。
一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。
教学目标:
【知识与技能】
学生知道一元二次方程根与系数的关系，并利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积。
【过程与方法】
学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程根与系数的关系，在探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律。
【情感态度价值观】
通过探索一元二次方程的根与系数的关系，培养观察分析和综合、判断的能力。激发发现规律的积极性，鼓励勇于探索的精神。
教学重点与难点:
【教学重点】
一元二次方程根与系数关系的证明。
【教学难点】
发现一元二次方程根与系数的关系。
教学过程:
(一)引入新课
提出问题：一元二次方程的根与系数之间有怎样的关系呢?
师生活动：
求下列一元二次方程的根：
（1）x2－4＝0；（2） x2－x ＝0；（3）x2＋3x＋2＝0；（4）2x2＋x-1=0
上述方程的两根之和、两根之积与系数之间有什么关系？
探索新知（复习回顾一元二次方程的一般形式以及求根公式）
对于一元二次方程，
如果b2－4ac≥0，那么方程的两个根为,
因此：
．
．
总结：
如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，b2－4ac≥0）的两个根是x1、x2，那么，。
(三)课堂反馈
写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）
（1）2x2-3x+1=0 x1+x2= ________ ,x1x2= _________;
（2）3x2+5x=0 x1+x2= ________ ,x1x2= _________;
（3）5x2+x-2=0 x1+x2= ________ ,x1x2= _________;
（4）5x2+kx-6=0 x1+x2= ________, x1x2= _________.
拓展提升
利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根x1，x2的（1）平方和，（2）倒数和。
已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是1，则它的另一个根是______，m的值是______．
讨论：解上面问题的思路是什么？
小结收获
一元二次方程的根是由系数决定的。
当a≠0时，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。
当a≠0，且b2-4ac≥0时，x1+x2= ，x1x2= 。
b2-4ac的值可判定根的情况。
5、方程根与系数关系的有关应用。
(六)作业布置:见课时练习
板书设计：
1、复习回顾 2、推理论证 3、 及时反馈
探讨结论 得出结论 拓展提升
教学反思:
1、一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。
2、以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力
3、一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。
4、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，教师应注意引导。
知识链接
韦达介绍
弗朗索瓦·韦达1540年生于法国的普瓦图，1603年12月13日卒于巴黎．年轻时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码．韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步．
韦达在欧洲被尊称为“现代数学之父”．韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著．他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作．他被称为现代代数符号之父．韦达还专门写了一篇关于“截角术”的论文，初步讨论了正弦、余弦、正切的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中．他考虑含有倍角的方程，具体给出了将csnx表示成cs（x）的函数，并给出当n≤11时任意正整数的倍角表达式．
他的《分析方法入门》一书（1591年），集中了他以前在代数方面的大成，使代数学真正成为数学中的一个优秀分支．他对方程论的贡献是在《论方程的整理和修正》一书中提出了二次、三次和四次方程的解法．
代数著作：
《分析方法入门》是韦达最重要的代数著作，也是最早的符号代数专著，书中第1章应用了两种希腊文献：帕波斯的《数学文集》第7篇和丢番图著作中的解题步骤结合起来，认为代数是一种由已知结果求条件的逻辑分析技巧，并自信希腊数学家已经应用了这种分析术，他只不过将这种分析方法重新组织．韦达不满足于丢番图对每一问题都用特殊解法的思想，试图创立一般的符号代数．他引入字母来表示量，用辅音字母B，C，D等表示已知量，用元音字母A（后来用过N）等表示未知量x，而用A quadratus，A cubus表示x2、x3 ，并将这种代数称为本“类的运算”以此区别于用来确定数目的“数的运算”．当韦达提出类的运算与数的运算的区别时，就已规定了代数与算术的分界．这样，代数就成为研究一般的数和方程的学问，这种革新被认为是数学史上的重要进步，它为代数学的发展开辟了道路，因此韦达被西方称为“代数学之父”．1593年，韦达又出版了另一部代数学专著——《分析五篇》（5卷，约1591年完成）；《论方程的识别与订正》是韦达逝世后由他的朋友A·安德森在巴黎出版的，但早在1591年业已完成．其中得到一系列有关方程变换的公式，给出了G·卡尔达诺三次方程和L·费拉里四次方程解法改进后的求解公式．而另一成就是记载了著名的韦达定理，即方程的根与系数的关系式．韦达还探讨了代数方程数值解的问题，1600年以《幂的数值解法》为题出版．
1593年韦达在《分析五篇》中曾说明怎样用直尺和圆规作出导致某些二次方程的几何问题的解．同年他的《几何补篇》在图尔出版了，其中给尺规作图问题所涉及的一些代数方程知识．此外，韦达最早明确给出有关圆周率π值的无穷运算式，而且创造了一套10进分数表示法，促进了记数法的改革．之后，韦达用代数方法解决几何问题的思想由笛卡儿继承，发展成为解析几何学．韦达从某个方面讲，又是几何学方面的权威，他通过393415个边的多边形计算出圆周率，精确到小数点后9位，在相当长的时间里处于世界领先地位．
主要贡献：
韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展．韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法．他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系，给出三次方程不可约情形的三角解法，著有《分析方法入门》《论方程的识别与订正》等多部著作．
由于韦达做出了许多重要贡献，后成为十六世纪法国最杰出的数学家之一．