上海市奉贤区致远高级中学2021-2022学年高三上学期期中教学评估数学【试卷+答案】

致远高中2021学年第一学期中教学评估

高三数学试卷

一、填空题（本大题共12题，1~6题每题4分，7~12每题5分，共54分）

1．已知集合，，则____________．

2．不等式的解集为____________．

3．设是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数____________．

4．已知角θ的终边过点，则____________．

5．函数的定义域是____________．

6．已知，则____________．

7．已知，，则____________．

8．已知数列中，，则____________．

9．在中，内角所对的边分别为，且，则____________．

10．已知函数满足，且图像关于直线对称．当时，，则函数在上的零点之和为____________．

11．若函数满足：①的图象是中心对称图形；②若时，图像上的点到其对称中心的距离不超过一个正数，则称是区间上的“对称函数”．若函数是区间上的“对称函数”，则实数的取值范围是____________．

12．用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：“9的因数有1、3、9，”，“10的因数有1、2、5、10，”，那么____________．

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13．设，则“”是“”的（    ）．

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

14．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（    ）．

A． B． C． D．

15．设函数，已知，则（    ）．

A． B． C． D．

16．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝，若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（    ）．

A．1 B．3 C．5 D．7

三、解答题（本大题满分76分，下列各题必须在答题纸相应规定区域内写出的步骤 ）.

17．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分

已知函数．

（1）求的单调递增区间；

（2）若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围．

18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分

设全集为，，．

（1）当时，求,；

（2）若，求实数的取值范围．

19．（本题满分14分）第1小题满分4分，第2小题满分10分

某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进货价的价格出售，销售期有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：

①销售量r（x）（件）与衬衣标价x（元/件）在销售旺季近似地符合函数关系：r（x）=kx+b1，在销售淡季近似地符合函数关系：r（x）=kx+b2，其中k<0，b1，b2>0且k，b1，b2为常数；

②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；

③若称①中r（x）=0时的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．

请根据上述信息，完成下面问题：

（1）写出销售旺季与淡季，销售总利润y（元）与标价x（元/件）的函数关系式；

（2）在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元/件？

20．（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分

已知关于的函数为上的偶函数，且在区间上的最大值为10．设．

（1）求函数的解析式；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）是否存在实数，使得关于的方程有四个不相等的实数根？如果存在，求出实数的范围，如果不存在，说明理由．

21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

已知数列A：的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．

（1）若数列A：1，2，4，3，求集合T，井写出的值；

（2）若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”；

（3）若，数列A由这个数组成，且这个数在数列A中每个至少出现一次，求的取值个数．

致远高中2021学年第一学期期中教学评估

高三数学试卷 答案

一、填空题（本大题共12题，1~6题每题4分，7~12每题5分，共54分）

1.               2.            3.

4.                5.                   6.

7.                   8.                        9.   

10. 6                        11.              12.

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. A      14. B       15. A         16. B

三、解答题

17. （本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分

（1）由题意，.…………2分

令，…………4分

解得，

所以的单调递增区间是.…………6分

（2）因为，所以，…………8分

，…………12分

所以.

因为方程在上有解，所以.…………14分

18. （本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分

（1）由题意，或，则，…………1分

∵，∴，…………2分

∴或，…………4分

.…………6分

（2）由题意，，

由（1）知，

∵，∴，即.…………7分

①若，即，则，满足；…………9分

②若，即，则，

∵，∴，解得；…………11分

③若，即，则，

∵，∴，解得.…………13分

综上所述，实数a的取值范围是.…………14分

19. （本题满分14分）第1小题满分4分，第2小题满分10分

（1）由题意，销售旺季r（x）=kx+b1，销售淡季r（x）=kx+b2，衬衣成本100元/件

故销售旺季，（元），…………2分

销售淡季,（元）…………4分

（2）在（1）的表达式中，

由k<0可知，在销售旺季，当时，利润y取得最大值；…………6分

在销售淡季，当时，利润y取得最大值.…………8分

下面分销售旺季与销售淡季进行讨论：

由②知，在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润，

因此在销售旺季，当标价=140时，利润y取得最大值，

此时，b1=-180k，…………10分

销售量r（x）=kx-180k.令kx-180k=0得x=180，

故在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件.…………11分

由③知，在销售淡季，衬衣的“临界价格”为120元/件.…………12分

可见在销售淡季，当标价x=120时，r（x）=kx+b2=0，

120k+b2=0，b2=-120k.…………13分

在销售淡季，当时，利润y取得最大值，故在销售旺季，商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为110元/件.…………14分

20．（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分

（1）由题意知：，即，有，…………1分

又在上的最大值为10，即，故，…………2分

∴.

由知：.…………4分

（2）由（1）知：在上恒成立，…………6分

∴在上恒成立，…………7分

令，即在上恒成立，

∴因为，………9分

所以.…………10分

（3），………11分

令，则在上有两个不同的实根，即可使原方程有四个不同的实根，………13分

∴，………15分

解得.………16分

21. （本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

（1）因为，，，，则的可能情况有：

，，，，，，

所以，．………4分

（2）充分性：若A是等差数列，设公差为d．

因为数列A是递增数列，所以．………5分

则当时，，………6分

所以，．………7分

必要性：若．

因为A是递增数列，所以，

所以，且互不相等，

所以．………9分

又，

所以，且互不相等．

所以，

所以

所以A为等差数列．………10分

（3）因为数列A由这个数组成，任意两个不同的数作差，差值只可能为和．………11分

共个不同的值；且对任意的，

m和这两个数中至少有一个在集合T中．

又因为这个数在数列A中共出现次，所以数列A中存在，所以．

综上，，且．………13分

设数列：，此时．

现对数列分别作如下变换：

把一个1移动到2，3之间，得到数列：，

此时，．

把一个1移动到3，4之间，得到数列：，

此时，．

把一个1移动到，n之间得到数列：，

此时，．

把一个1移动到n，之间，得到数列：，

此时，．

再对数列依次作如下变换：

把一个1移为的后一项，得到数列：，

此时，；

再把一个2移为的后一项：得到数列：，

此时，；

依此类推

最后把一个n移为的后一项：得到数列：，

此时，．

综上所述，可以取到从到的所有个整数值，所以的取值个数为．………16分