2021-2022学年上海市复兴高级中学高一下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市复兴高级中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．已知集合，，若，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】先求出集合M，N，再由可求出实数的取值范围

【详解】解：由题意得，

，

因为，

所以，

故答案为：

2．若点是角终边上的一点，则_________．

【答案】

【分析】利用三角函数的定义即可得解.

【详解】因为点是角终边上的一点，

所以．

故答案为：.

3．在半径为2的圆中，弧长为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为__．

【答案】##0.5

【分析】由圆心角定义求解.

【详解】半径为2的圆中，弧长为1的圆弧所对的圆心角.

故答案为：

4．函数的最小正周期是______________

【答案】

【分析】根据余弦的二倍角公式化简表达式，进而利用周期公式即可求得最小正周期．

【详解】由余弦的二倍角公式可得

所以最小正周期为

【点睛】本题主要考查了余弦的二倍角公式及余弦的周期求法，属于基础题．

5．已知函数的图像关于直线对称，则________.

【答案】

【解析】令求出其对称轴，再令对称轴等于结合，即可求解

【详解】令，可得：，

令，解得，

因为，所以，，

故答案为：

6．化简：=_________.

【答案】

【详解】因为，所以填.

7．若，则__．

【答案】

【分析】根据余弦差角公式的逆运算得到，结合，求出，再利用正弦的二倍角公式求出答案.

【详解】，，

则，

所以．

故答案为：

8．函数的严格增区间是______.

【答案】

【分析】即求在的严格减区间，先求函数的单调递减区间，再将所求区间与定义域取交集可得出答案．

【详解】由得，即求在的严格减区间，

正弦函数的单调递减区间为，

由，得，

记，则，

故答案为：.

9．在中，设、、分别是三个内角、、所对的边，，，面积，则内角的大小为__．

【答案】或

【分析】由三角形面积公式进行求解即可.

【详解】∵的面积，

∴，

∵，

∴或．

故答案为：或.

10．若可化为，则角的一个值可以为__．

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据二倍角公式和辅助角公式即可化简得，进而可得,即可求解.

【详解】，

所以，则角的一个值可以为．

故答案为：

11．函数在区间上的最小值是，则的取值范围是_______．

【答案】

【详解】,令,,其图像开口向下,对称轴为,故在区间上为增函数.令,解得.故的范围须在.而,根据函数图像的对称性可知.

12．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于､两点，且在轴上，圆的半径为，则___________.

【答案】

【分析】根据题意，结合图像求出周期，进而可得的值，再代点分别求出和的值，即可得到函数的解析式，进而可得.

【详解】由图可知，点，故，即，因，所以.

由，得，又因，所以，

故.

由图可知，又因且圆的半径为，所以，

因此，即，所以.

因此.

故答案为：.

二、单选题

13．在△ABC中，“A＝”是“cos A＝”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据在中，根据角得范围和特殊角的三角函数值，及充要条件的判定方法，即可判定，得到答案.

【详解】在中，则，所以且，

所“”是“”的充要条件，故选C.

【点睛】本题主要考查了充要条件的判定问题，其中熟记充要条件的判定方法，以及特殊角的三角函数值是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.

14．若，则的取值范围为（    ）

A．或

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】根据同角关系式关系结合条件可得，进而或，然后根据三角函数的图象和性质即得.

【详解】若，则，

即，

所以或，

所以的取值范围为或.

故选：A．

15．如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为

A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ

【答案】B

【分析】由题意首先确定面积最大时点P的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值.

【详解】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，

此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S的最大值为+S△POB+ S△POA=4β+

.

故选B.

【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.

16．已知（）既不是奇函数也不是偶函数，若的图像关于原点对称，的图像关于轴对称，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合五点作图法及函数图象进行计算求解即可.

【详解】可设满足, 且（）,则,

注意到五点作图法的最左边端点为,而,,

故有,,

当时，，，此时；

当时，，，此时,

故选：C．

三、解答题

17．已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)将题干中式子化简，并结合同角三角函数的基本关系即可得到结果；

(2)利用二倍角公式将所求式子化简成，然后利用（1）的结论即可求解.

【详解】（1）因为，则，

所以，

所以，所以；

（2）

．

18．已知.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若，求的值域.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，解不等式，可求得函数的单调递增区间；

（2）由可求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的值域.

【详解】（1）

，

令，，解得，，

因此，函数的单调递增区间为，；

（2），，则，

所以，，

因此，当时，的值域为.

【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：

第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；

第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；

第三步：求出所求函数的值域（或最值）.

19．如图，在平面直角坐标系中．锐角的终边分别与单位圆交于两点，角的终边与单位圆交于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为、、．

(1)如果，，求的值；

(2)求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据三角函数定义得到，，进而利用同角三角函数关系得和余弦差角公式求出答案；

（2）表达出，，利用三角函数有界性进行适当放缩，证明出，再利用适当放缩证明出，从而证明出结论.

【详解】（1）由题意得：，，

由于、均为锐角，

所以，，

所以．

（2），

，

所以，

，

所以，

同理，

所以线段．

20．图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为公里，与小岛相距公里（其中为常数），已知角为钝角，且．

（1）求小岛与小岛之间的距离；（用表示）

（2）求四个小岛所形成的四边形的面积；（用表示）

（3）记为，为，求的值．

【答案】（1）公里；（2）平方公里；（3）．

【分析】（1）结合同角得平方关系求出的值，进而在中结合余弦定理即可求出结果；

（2）结合（1）的结果求出的面积，再在中利用余弦定理求出，进而结合三角形的面积公式求出的面积，进而可以求出结果；

（3）在利用余弦定理求出的值，进而结合同角的平方关系求出的值，然后结合两角和的正弦公式即可求出结果.

【详解】（1）因为角为钝角，且，所以，

在中，，即，因为，解得，所以小岛与小岛之间的距离公里；

（2）由（1）知，所以，

因为，所以，

在中，，即，因为，解得，所以,

所以，所以四个小岛所形成的四边形的面积为平方公里；

（3）在中，，

，因此，，则，,

所以

.

21．若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质．

（1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由；

（2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由；

（3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：．

【答案】（1）函数具有性质，不具有性质，理由见解析；（2）不具备，理由见解析；（3）证明见解析.

【分析】（1）根据具有性质的定义依次讨论即可得答案；

（2）假设函数具有性质，则有，即，进而得，再根据并结合函数的值域为得，故，此时，在验证不具有性质，进而得到答案；

（3）结合（2），并根据题意得，进而得在的值域为，当时，与零点唯一性矛盾得或，再讨论当时不成立得，即．

【详解】（1）函数具有性质，不具有性质，说明如下：

，

，

对任意，都有，

所以具有性质，

，，

所以，

所以不具有性质；

（2）若函数具有性质，

则有，即，

于是，结合知，

因此；

若，不妨设

由可知：

（记作*），其中

只要充分大时，将大于1

考虑到的值域为为，等式（*）将无法成立，

综上所述必有，即；

再由，，从而，而

当时，，

而，显然两者不恒相等（比如时)

综上所述，不存在以及使得具有性质；

(3）由函数具有性质以及（2）可知，

由函数是以为周期的周期函数，有，

即，也即

由，及题设可知

在的值域为

当时，当及时，均有，

这与零点唯一性矛盾，因此或，

当时，，在的值域为

此时

于是在上的值域为，

由正弦函数的性质，此时当时和的取值范围不同，

因而，即．

【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查逻辑推理能力，运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于正确理解具有性质P的函数的定义，利用定义，结合反证法，分类讨论思想等讨论求解.