上海奉贤区致远高级中学2022-2023学年高一5月教学评估数学试题及答案

致远高中2022学年第二学期第二次月考

高一数学试卷  2023.5

（完卷时间：120分钟     满分：150分）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1.若复数是实数，则实数______.

2．设复数满足，则________.

3.设向量满足,向量与垂直，则向量与向量的夹角______.

4.已知向量，且，求实数的值_____.

5. 已知向量与，则的单位向量的坐标______.

6.如图，在△中，是的中点，是延长线上一点，且，用向量、表示_________________

7.已知△是边长为1的等边三角形，点是△所在平面上的任意一点，则向量的模为__________.

8.已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是         .

9. 若复数，复数满足||，且是纯虚数，求复数_________.

10.已知是实系数一元二次方程的一个虚根，且，则实数的取值范围是_________.（用区间表示）

11.设复数，满足，，则____.

12.在四边形中，， ， ， ，点在线段延长线上，且，则__________.

二、选择题（本大题共4题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13.复平面内表示复数的点位于（   ）

第一象限；   第二象限；   第三象限；   第四象限

14.设有下面四个命题

：若复数满足，则；        

：若复数满足，则；

：若复数满足，则；

：若复数，则.其中的真命题为(   )

A．    B．   C．   D．

15.若，，均为单位向量，则是的(    )

A.必要非充分条件；          B.充分非必要条件；   

C.充要条件；                D.既非充分又非必要条件.

16.已知向量，，对任意，恒有，则（   ）

；   ；    ；   

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应写出必要的步骤．

17.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

（1）已知复数的实部与虚部互为相反数，求；

（2）已知复数满足，求证：是实数.

18. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

在平面直角坐标系中，已知点，，.

(1)求以线段、为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)设实数满足()·=0，求的值.

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

设平面上有两个向量.

(1) 求的最大值；

(2)当向量与的模相等时，求的大小（用角度制表示）.

20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）

如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，， 是圆形区域外一景点，，.

（1）求向量在方向上的数量投影和投影向量；

（2）、相距多少公里？（精确到小数点后两位）

（3）若一汽车从处出发，以每小时公里的速度沿公路行驶到处，需要多少

小时？（精确到小数点后两位）

21.（本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）

设虚数、满足.

(1)若、又是一个实系数一元二次方程的两个根，求、；

（2）把（1）中虚部大于零的根记作，对任意整数，计算；

（3）若为虚数单位，为实数），，复数，求的取值范围.

致远高中2022学年第二学期第二次月考

高一数学试卷  2023.5

（完卷时间：120分钟     满分：150分）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1.若复数是实数，则实数______.答案：

2．设复数满足，则________.答案：

3.设向量满足,向量与垂直，则向量与向量的夹角______.答案：

4.已知向量，且，求实数的值_____.答案：

5. 已知向量与，求的单位向量的坐标______.答案：

6.如图，在△中，是的中点，是延长线上一点，且，用向量、表示_________________

答案：

7.已知△是边长为1的等边三角形，点是△所在平面上的任意一点，则向量的模为__________.答案：

8.已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是         .【答案】

9. 若复数，复数满足||，且是纯虚数，求复数_________.

答案：或.

10.已知是实系数一元二次方程的一个虚根，且，则实数的取值范围是_________.（用区间表示）答案：

11.设复数，满足，，则____.答案：

12.在四边形中，， ， ， ，点在线段延长线上，且，则__________.答案：

二、选择题（本大题共4题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13.复平面内表示复数的点位于（ ）

第一象限；   第二象限；   第三象限；   第四象限

14.设有下面四个命题

：若复数满足，则；        

：若复数满足，则；

：若复数满足，则；

：若复数，则.

其中的真命题为(   )

A．    B．   C．   D．

15.若，，均为单位向量，则是的(   )

A.必要非充分条件；          B.充分非必要条件；   

C.充要条件；                D.既非充分又非必要条件.

16.已知向量，，对任意，恒有，则（   ）

；   ；    ；   

答案：中学数学教学参考2021年第3期24页

分析：记，，由数乘向量的意义知，则，

.于是对直线上的动点，的最小值为，即.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应写出必要的步骤．

17.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

（1）已知复数的实部与虚部互为相反数，求；

（2）（教科书第146页例7）已知复数满足，求证：是实数.

答案：（1）；（2）9.2.4例7

19. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

在平面直角坐标系中，已知点，，.

(3)求以线段、为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(4)设实数满足()·=0，求的值.

解：（1）（方法1）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:

由E为B、C的中点，得E（0，1）；又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）.

∴两条对角线的长分别为，.

（方法2）由题设知，，则,.

所以，.故所求的两条对角线长分别为

（2）（方法1）由题设知,.

由,得，从而,所以.

（方法2）由题意知：，而∴.

点评：（1）本题涉及平面向量中平面向量的数量积（C级要求）、平面向量的加法、减法及数乘运算（B级要求）、平面向量的坐标表示（B级要求）等知识点．

（2）本题将向量与解析法相结合，平淡中见功力；涉及数形结合等基本数学思想，运算求解等基本能力．

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

设平面上有两个向量.

(1) 求的最大值；

(2)当向量与的模相等时，求的大小.答案：（1）2；（2）或.

20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）

如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，， 是圆形区域外一景点，，.

（1）求向量在方向上的投影向量；

（2）、相距多少公里？（精确到小数点后两位）

（3）若一汽车从处出发，以每小时公里的速度沿公路行驶到处，需要多少

小时？（精确到小数点后两位）

【解】（1）；（2）

， ∴

∴

（公里）答：、相距约15.28公里

（3）中，

中，  

即   ∴

∴  

∴

∴（公里）,∴所需时间为小时                  

答：从行驶到约需要1.25 小时                         

21.（本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）

设虚数、满足.

(1)若、又是一个实系数一元二次方程的两个根，求、；

（2）把（1）中虚部大于零的根记作，对任意整数，计算；

（3）若为虚数单位，为实数），，复数，求的取值范围.

解：（1），或，；

（2）0；

（3）由，且，得，又，，

所以，，由，得