2023届上海市奉贤区高三上学期期中数学试题含解析

这是一份2023届上海市奉贤区高三上学期期中数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列说法中正确的是
A．平行于同一直线的两个平面平行B．垂直于同一直线的两个平面平行
C．平行于同一平面的两条直线平行D．垂直于同一平面的两个平面平行
【答案】B
【详解】平行于同一直线的两个平面可以平行、相交，故不正确，垂直于同一直线的两个平面平行正确，平行于同一平面的两条直线平行错误，因为也可以相交也可以是异面直线，垂直于同一平面的两个平面平行错误，因为也可以相交，故选B.
2．若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为．
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：根据抛物线焦半径公式，解得．
【解析】1．抛物线方程；2．抛物线的几何意义．
3．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则与的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性得，作差比较得，结合单调性得结果.
【详解】∵是偶函数，∴，而，
∴，
∵函数在上是减函数，
∴，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，以及函数奇偶性的判断，属于基础题.
4．甲乙两选手进行围棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制（前两局各有胜负则进行第三局），则甲最终获胜的概率为（ ）
A．0.72B．0.704C．0.604D．0.648
【答案】D
【分析】结合已知条件，对甲最终获胜的情况进行分类，进而即可得到答案.
【详解】由题意可知，甲最终获胜的情况：胜胜，胜输胜，输胜胜，
故甲获胜的概率为：.
故选：D.
二、填空题
5．已知集合，，则______．
【答案】##{2，0}
【分析】先得到集合，然后利用交集的概念进行运算即可.
【详解】由题可知：，
所以
所以
故答案为：
6．在复平面内，复数z对应的点为，则______．
【答案】2
【分析】根据坐标即知，再根据乘法运算即可求解.
【详解】因为复数z对应的点为，所以，
所以．
故答案为：2
7．函数的定义域是_________．
【答案】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
8．一个物体的运动方程为其中位移的单位是米，时间的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是__________米/秒
【答案】5
【详解】，．
9．已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
【答案】4
【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.
【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.
故答案为：4.
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.
10．在的展开式中，的系数为______．
【答案】1
【分析】由二项式定理求解
【详解】展开式的通项公式为，
令，解得，即的系数为，
故答案为：1
11．已知直线是圆的一条对称轴，则ab的最大值为______．
【答案】##0.25．
【分析】易知直线经过圆心，得到，再利用不等式即可求解.
【详解】圆的圆心，
因为直线是圆的一条对称轴，
故直线经过圆心，即得，
则，当且仅当时取等号，
所以ab的最大值为．
故答案为：.
12．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为_________.
【答案】
【分析】结合已知条件，对参数进行分类讨论即可求解.
【详解】由题意，，
①若，则不等式的解为：，
因为不等式的解集中恰有3个整数，
所以；
②若，则不等式无解，不满足题意；
③若，则不等式的解为：，
因为不等式的解集中恰有3个整数，
所以.
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：.
13．已知是等比数列，为其前n项和，若是、的等差中项，，则______．
【答案】1
【分析】根据等比数列的通项公式和前n项和公式列方程组即可求解.
【详解】设，由题意得，
当公比时，有，解得，．
当公比时， 是常数列，不满足是、的等差中项.
综上：，.
故答案为：1
14．设，求方程的解集__________.
【答案】
【解析】分四种情况去绝对值求解即可.
【详解】当时，原方程化为：，
即，
故此时；
当时，原方程化为：，
即，
故此时，与矛盾，舍掉；
当时，原方程化为：，
即，
解得，与矛盾，舍掉；
当时，原方程化为：，
即，
故此时；
综上所述：方程的解集为：.
故答案为：.
15．已知等差数列中，，，求前项和的最小值为____．
【答案】-4
【分析】设等差数列的公差为，由，，可得：，解得：．令，解得．进而得出．
【详解】解：设等差数列的公差为，，，
，
解得：．
．
令，解得．
时，前项和取得最小值，为．
故答案为：.
【点睛】本题考查了等差数列基本量运算与前n项和最值的求解，属于基础题.
16．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点E在弧上.的最小值为___________
【答案】−132##-6.5
【分析】设，，则，利用向量的数量积的运算律和定义，将化为关于的函数，利用三角函数知识可求出最小值.
【详解】设，，则，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：
三、解答题
17．为何值时，直线和曲线有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
【答案】见解析
【详解】试题分析：解：由，得，即
当，即时，直线和曲线有两个公共点；
当，即时，直线和曲线有一个公共点；
当，即时，直线和曲线没有公共点．
【解析】本题考查直线与圆锥曲线的关系．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，直线和圆锥曲线的交点个数的判断方法，求出△=72k2-28，是解题的关键，若圆锥曲线为双曲线时，有要想着讨论二次项的系数是否为零．
18．如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，，，为的中点.
(1)求圆柱的表面积；
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由勾股定理可求得底面圆的半径，分别求得圆柱的侧面积和底面积，进而可求得表面积；
（2）方法一：连接，可证得，则可得所求二面角的平面角为，根据长度关系可得结果；
方法二：以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1），，，
底面圆的半径，圆柱的侧面积为，
又圆柱的底面积为，圆柱的表面积.
（2）方法一：连接，
平面，平面，；
，即，，平面，
平面，又平面，；
即为二面角的平面角，
，，，，
即二面角的大小为.
方法二：以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
轴平面，是平面的一个法向量，
，
由图形可知：二面角为锐二面角，
二面角的大小为，即.
19．在中，已知内角，边.设内角，周长为.
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
【答案】（1），（2）最大值.
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得，由此求得的解析式和定义域，利用两角差的正弦公式和辅助角公式化到最简；
（2）由（1），根据的范围求得的范围，由此求得的最大值.
【详解】（1）因为，且，所以，
由，得，即.
由正弦定理得：，
所以，
所以
，
所以.
（2）由（1）得，
因为，所以，
所以当时，取得最大值为.
【点睛】该题考查的是有关三角函数以及解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理解三角形，两角差的正弦函数公式，辅助角公式化简函数解析式，求三角函数的最值，属于简单题目.
20．2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动，某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：
(1)如果规定竞赛得分在为“良好”，竞赛得分在为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取10个学生，问各抽取多少人？
(2)在（1）条件下，再从这10学生中抽取6人进行座谈，求至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率；
(3)以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率.现从该校学生中随机抽取3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
【答案】(1)6人，2人
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】(1)结合频率分布表，求出抽样比，进而即可得到答案；(2)结合超几何分布即可求解；(3)结合已知条件，利用二项分布即可求解.
【详解】（1）因为成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计，共人，抽样比为，
所以成绩为“良好”的抽取人，成绩为“优秀”的抽取人．
（2）抽取的6人中至少有3人竞赛得分都是“优秀”可以分成两类：3个优3个良和4个优2个良，
故至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率.
（3）由题意知，的可能取值，，，．
由题可知，任意1名学生竞赛得分“优秀”的概率为，竞赛得分不是“优秀”的概率为．若以频率估计概率，则服从二项分布，
；；；．
故的分布列为
数学期望.
21．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线的方程；
(2)若函数在处取得极大值，求的取值范围；
(3)若函数存在最小值，直接写出的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求导后求出切线的斜率，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程；
（2）根据函数的单调性和最值分类讨论；
（3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解.
【详解】（1）解：由题意得：
，
故曲线在点处的切线的方程.
（2）由（1）得要使得在处取得极大值，在时应该，在时应该，
故①且，解得
②且，解得
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
综上：的取值范围为.
（3）可以分三种情况讨论：①②③
若，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，无最小值；
若时，当时，趋向时，趋向于0；当 ，要使函数取得存在最小值，解得，故 处取得最小值,故的取值范围.
若时，在趋向时，趋向于0，又故无最小值；
综上所述函数存在最小值， 的取值范围.
竞赛得分
频率
0.1
0.1
0.3
0.3
0.2