2023届上海市奉贤区奉贤中学高三上学期期中数学试题含解析

2023届上海市奉贤区奉贤中学高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知某随机变量X的分布为

则等于（    ）A． B． C． D．无法确定

【答案】C

【分析】利用分布列的性质求得，再利用随机变量期望公式可求解.

【详解】由分布列的性质得，所以

根据随机变量期望公式，得

故选：C

2．已知函数的定义域为R，则“是奇函数”是“”的（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先由函数为奇函数，得到对于任意的，均有，充分性成立，

再由当时，但不能保证对于其他值，均有，得到必要性不成立，从而选出正确答案.

【详解】若是定义在R上的奇函数，则对于任意的，均有，

因为，所以，

故，充分性成立，

当时，但不能保证对于其他值，均有，

所以必要性不成立，

综上：则“是奇函数”是“”的充分不必要条件.

故选：A

3．已知命题p:对于任意x∈[1，2]，都有；命题q:存在x∈R，使得 若p与q中至少有一个是假命题，则实数a的取值范围是（    ）

A．a≤-2 B．a≤1 C．a≤-2或a=1 D．且

【答案】D

【分析】根据题意，求出命题p和命题q为真命题时a的取值范围，求出它们都为真时的a的取值范围，再求补集即可．

【详解】根据题意，命题p：任意x∈[1，2]，，

若命题p为真，必有，即a≤1；

对于命题q,存在x∈R，，

若命题q为真，即方程有解，则有，

解可得：a≥1或a≤−2，

若命题p与q都是真命题，即，则有a≤−2或a＝1；

若p与q中至少有一个是假命题，

则实数a的取值范围是且

故选：D.

4．已知平面向量、、 满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】不等式，两边平方得到关于实数的不等式，进而得到，再利用模长公式将转化为，再利用不等式即可得解.

【详解】由，两边平方得

又，且对任意实数恒成立，

即恒成立，所以，

即，所以，即

由，知，

所以

故选：B

【点睛】关键点睛：本题考查向量的综合应用，不等式恒成立问题，解题的关键先利用对任意实数恒成立，求得，再利用求最值，考查了转化思想与运算能力.

二、填空题

5．已知集合与相等，则实数__________．

【答案】2

【分析】由已知，两集合相等，可借助集合中元素的的互异性列出方程组，解方程即可完成求解.

【详解】因为集合与相等，则，解得．

故答案为：2.

6．已知复数满足(其中i为虚数单位),则________.

【答案】1

【分析】由可得：，之后利用除法运算法则对其进行化简，求得，进而求得其模.

【详解】由可得：

所以，

故答案是：1.

【点睛】该题考查的是有关复数的概念，复数的除法运算，要理解复数模的公式，属于简单题目.

7．若等式恒成立，则的值为_________.

【答案】

【分析】令可得答案.

【详解】

令得

故答案为：

8．已知向量 与 的夹角为，，，则______.

【答案】

【分析】根据向量的数量积和模的公式，求向量的模.

【详解】.

故答案为：

9．已知，，则 _________.

【答案】##

【分析】根据条件概率概率公式计算可得.

【详解】解：因为，，

所以.

故答案为：

10．曲线在点处的切线方程为______．

【答案】

【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程.

【详解】解：由可得，

曲线在点处的切线斜率为，

所以所求切线方程为即，

故答案为：

11．已知，若方程的一个根为，则______________．

【答案】60

【分析】由题意可知方程的两根分别为，，结合韦达定理求出，即可求出结果.

【详解】方程的一个根为，则方程的另一个根为，结合韦达定理得，即，所以；

故答案为：60.

12．已知函数是上的增函数，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】由分段函数的单调性，结合二次函数、反比例函数的性质列不等式组求参数范围.

【详解】函数是上的增函数，则，解得．

故答案为：

13．对于区间内的任意实数，函数均有意义，则实数的取值范围是___________．

【答案】

【分析】由题意可知任意，恒成立，令，则可等价于，恒成立，再由对勾函数的单调性即可求出，由此即可得出答案.

【详解】由题意可知对于任意 ，恒成立，

即恒成立，

令，则恒成立，

参变分离得：，，

因为在上单调递减，在上单调递增，

且，

所以当时，，

所以，

所以，

故答案为：.

14．已知，在函数与的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则ω的值为______.

【答案】

【分析】先由题意，得到为使两交点距离最小，只需两交点在同一周期内；作出函数图象，结合图象，由勾股定理，列出方程求解， 即可得出结果.

【详解】根据题意，为使两交点距离最小，只需两交点在同一周期内；

由题意，令，可得 ，则，

所以，，即；

当，，，当，，，

如图所示，由勾股定理得，

即，即，解得：.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据三角函数的性质，确定两交点在同一周期内，结合函数图象列出方方程，即可求解，求解此类题目，要熟记三角函数的图象和性质.

15．设a、b∈R，且a+b=4，则的最大值为__________

【答案】##

【分析】利用基本不等式，明确的最值范围，整理，利用换元法，化简，根据基本不等式，可得答案.

【详解】由，当且仅当时，等号成立，

则，

令，则，

则，当且仅当时，等号成立，

故的最大值为.

故答案为：.

16．定义在R上的函数的导函数为，若对任意的实数x，都有，且，则不等式的解集是_________

【答案】

【分析】构造函数，求导得到在R上单调递减，由得到，对变形后得到，从而，由单调性得到，求出不等式的解集.

【详解】因为，构造，

则，所以在R上单调递减，

由,令得：，故，

由得：，

因为，所以，

故，

因为在R上单调递减，

所以，解得：.

故不等式的解集是.

故答案为：.

【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：

比如：若，则构造，

若，则构造，

若，则构造，

若，则构造.

三、解答题

17．已知全集为实数集，集合，，

(1)求A∩B;

(2)若，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）求出集合A、B，再求交集即可；

（2）求出集合C和，再利用集合间的包含关系列不等式求解.

【详解】（1），

或，

（2）或

，则

又或，

，解得

18．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，,

(1)求四棱锥P-ABCD的体积;

(2)求异面直线PC与BQ所成角的大小.

【答案】(1)1

(2) .

【分析】（1）根据锥体体积公式，即可求解；

（2）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量公式，求异面直线的夹角大小.

【详解】（1）

（2）如图所示，A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），Q（0，1，1），C（1，1，0），

 .   ∴异面直线PC与BQ所成角的余弦值为 .

19．已知向量，记．

（1）若，求的值；

（2）在锐角中，角的对边分别是，且满，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换可得，由可得，根据二倍角公式可得的值；（2）根据正弦定理消去中的边可得，所以，又，则，得，根据三角函数值域的有界性即可求得的取值范围．

【详解】（1）向量，，记，

则，

因为，所以，

所以．

（2）因为，

由正弦定理得，

所以，

所以，，

所以，又，所以，

则，即，又，

则，得，

所以，又，

所以的取值范围．

【解析】三角求值、正弦函数的值域及正弦定理解三角形.

20．中国共产党第二十次代表大会报告指出：教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑，某项人才选拔的测试，共有25道选择题构成，每道题均有4个选项，其中只有1个是正确的.该测试满分为150分，每题答对得6分，未作答得2分，答错得0分.考生甲、乙都已答对前20道题，对后5道题（依次记为、、、、）均没有把握答对.两人在这5道题中选择若干道作答，作答时，若能排除某些错误选项，则在剩余的选项中随机地选择1个，否则就在4个选项中随机地选择1个.已知甲只能排除、、中各1个错误选项，故甲决定只作答这三题，放弃、.

(1)求甲的总分不低于130分的概率；

(2)求甲的总分的概率分布；

(3)已知乙能排除、、中各2个错误选项，能排除中1个错误选项，但无法排除中的任一错误选项.试问乙采用怎样的作答策略（即依次确定后5道题是否作答）可使其总分的期望最大，并说明理由.

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)答案见解析

【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；

（2）设甲的总分为随机变量，依题意可得的可能值为，，，求出所对应的概率，即可求出分布列；

（3）分别求出、、、、得分的期望值，即可判断.

【详解】（1）解：设甲的总分不低于为事件，因为前道题所得分数为分，且放弃作答、的两题得分，

要使甲的总分不低于分，则、、至少答对题，

因为甲能排除、、中各1个错误选项，故甲答对、、的概率均为，

所以；

（2）解：设甲的总分为随机变量，则的可能值为，，，，

所以，，

，，

∴乙总分的概率分布列为：

（3）解：∵，，每道题作答的话，每题得分期望为，所以前三题应作答；

道题作答的话，其得分期望为，所以道题作答或者放弃都可以；

道题作答的话，其得分期望为，所以道题应放弃作答；

故要使乙总分的数学期望最大，应选择作答，，，作答或者放弃都可以，放弃作答．

21．若函数在定义域内给定区间上存在（），满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的平均值点.

(1)已知函数是区间的“平均值函数”，求该函数的平均值点；

(2)当函数是区间上的“平均值函数”，且有两个不同的平均值点时，求实数的取值范围；

(3)是否存在区间（），使得函数是区间上的“平均值函数”?若存在，求出所有满足条件的区间；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)不存在，理由见解析

【分析】（1）根据所给定义得到，求出即可判断；

（2）依题意存在，使关于的方程，参变分离可得，令，，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，再求出端点处函数值，即可求出参数的取值范围；

（3）利用反证法，令，则在区间上有解，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得到，即，即可得到矛盾，从而得证.

【详解】（1）解：函数是区间上的“平均值函数”，

由题题意，，得，则或（舍去），

所以函数是区间上的“平均值点”为；

（2）解：因为函数是区间上的“平均值函数”，且有两个不同的平均值点，

所以存在，使关于的方程有两个不同的根和，

即，即，令，其中，

则，令，解得，

当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，又，，

所以，因此；

（3）假设存在区间（），使得函数是区间上的“平均值函数”，

令，

所以在区间上有解，

又，当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

即，即，即，即，

又因为，即，所以与相矛盾，

所以不存在区间（），使得函数是区间上的“平均值函数”.