北京市海淀外国语实验学校2021-2022学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】

2021-2022学年北京市海淀外国语实验学校八年级（上）期中

数学试卷

一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）下列图形中具有稳定性的是　　

A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．五边形

2．（3分）下列图形中与已知图形全等的是　　

A． B． C． D．

3．（3分）下列各组线段中，能构成三角形的是　　

A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，9 D．5，6，10

4．（3分）能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是三角形的　　

A．角平分线 B．中线 C．高线 D．重心

5．（3分）下列四个图形中，线段是的高的是　　

A． B． 

C． D．

6．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是　　

A． B． C． D．

7．（3分）下列条件不能判定两个直角三角形全等的是　　

A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 

C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等

8．（3分）如图所示，，分别是，上的点，作于点，作于点，若，，下面三个结论：①；②；③，正确的是　　

A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①，②和③

二、填空题（共8小题.每小题3分，共24分）

9．（3分）如图，已知，请你添加一个条件，使得，你添加的条件是　　．（不添加任何字母和辅助线）

10．（3分）已知直角三角形的一个锐角的度数为，则其另一个锐角的度数为　　度．

11．（3分）一个多边形的内角和跟它的外角和相等，则这个多边形是 　　边形．

12．（3分）如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，　　．

13．（3分）如图，中，，平分，，垂足为，，，则的长为 　　．

14．（3分）在中，已知，，是边上的中线，则取值范围是 　　．

15．（3分）如图，，，，与相交于点，则　　．

16．（3分）当三角形中一个内角是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”， 为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为 　　．

三、解答题（共6小题，17、18每小题4分，19、20、21、22每小题4分，共32分）

17．（4分）求出下列图形中的值．

18．（4分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图．

（1）利用尺规作图在边上找一点，使点到、的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在网格中，的下方，直接画出，使与全等．

19．（6分）看对话答题：小梅说：这个多边形的内角和等于．小红说：不对，你少加了一个角．

问题：

（1）他们在求几边形的内角和？

（2）少加的那个内角是多少度？

20．（6分）已知：如图，，分别过点和点作，，两垂线相交于点．求证：．

21．（6分）如图，，，三点在同一直线上，且．

（1）线段，，有怎样的数量关系？请说明理由．

（2）请你猜想满足什么条件时，，并证明．

22．（6分）如图，大小不同的两块三角板和直角顶点重合在点处，，，连接、，点恰好在线段上．

（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；

（2）当，则的长度为 　　．

（3）猜想与的位置关系，并说明理由．

四．能力展示题（共3小题，第23、24每小题6分，25题8分，共20分）

23．（6分）在中，．

（1）如图1，、的平分线相交于点，则　　；

（2）如图2，的外角、的平分线相交于点，则　　；

（3）探究如图3，的内角的平分线与其外角的平分线相交于点，设，则的度数是 　　．（用的代数式表示）

24．（6分）若三边均不相等的三角形三边、、满足为最长边，为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”．

（1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 　　（填序号）．

①，，；②，，；③，，；④，，．

（2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，，直接写出的整数值为 　　．

25．（8分）数学课上，老师给出了如下问题：

已知：如图1，在中，，，延长到点，，点是边上一点，连接，作，交于点．

（1）求证：；

（2）求证：．

经过独立思考后，老师让同学们小组交流．小辉同学说出了对于第二问的想法：“我想通过构造含有边和的全等三角形，因此我过点作于（如图2所示），如果能证明和全等，问题就解决了．但是这两个三角形证不出来相等的边，好像这样作辅助线行不通．”小亮同学说：“既然这样作辅助线证不出来，再考虑有没有其他添加辅助线的方法．”请你顺着小亮同学的思路在图3中继续尝试，并完成（1）、（2）问的证明．

参考答案与解析

一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）下列图形中具有稳定性的是　　

A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．五边形

【解答】解：．三角形具有稳定性，故本选项符合题意；

．平行四边形不具有稳定性，故本选项不符合题意；

．梯形不具有稳定性，故本选项不符合题意；

．五边形不具有稳定性，故本选项不符合题意；

故选：．

2．（3分）下列图形中与已知图形全等的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、圆里面的正方形与已知图形不能重合，错；

、与已知图形能完全重合，正确；

、中间是长方形，与已知图形不重合，错；

、中间是长方形，与已知图形不重合，错．

故选：．

3．（3分）下列各组线段中，能构成三角形的是　　

A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，9 D．5，6，10

【解答】解：、，

无法构成三角形，不合题意；

、，

无法构成三角形，不合题意；

、，

无法构成三角形，不合题意；

、，

可以构成三角形，符合题意；

故选：．

4．（3分）能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是三角形的　　

A．角平分线 B．中线 C．高线 D．重心

【解答】解：能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是三角形的中线．

故选：．

5．（3分）下列四个图形中，线段是的高的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：线段是的高的图是选项．

故选：．

6．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是　　

A． B． C． D．

【解答】解：作图的步骤：

①以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；

②任意作一点，作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；

③以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；

④过点作射线．

所以就是与相等的角；

作图完毕．

在与△，

，

△，

，

显然运用的判定方法是．

故选：．

7．（3分）下列条件不能判定两个直角三角形全等的是　　

A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 

C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等

【解答】解：、根据定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；

、根据定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；

、根据定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；

、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意；

故选：．

8．（3分）如图所示，，分别是，上的点，作于点，作于点，若，，下面三个结论：①；②；③，正确的是　　

A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①，②和③

【解答】解：连接，

，

是的平分线，

，①正确．

，②正确．

只是过点，并没有固定，明显③不成立．

故选：．

二、填空题（共8小题.每小题3分，共24分）

9．（3分）如图，已知，请你添加一个条件，使得，你添加的条件是　或或　．（不添加任何字母和辅助线）

【解答】解：，，

可以添加，此时满足；

添加条件，此时满足；

添加条件，此时满足，

故答案为或或；

10．（3分）已知直角三角形的一个锐角的度数为，则其另一个锐角的度数为　53　度．

【解答】解：直角三角形的一个锐角的度数为，

其另一个锐角的度数，

故答案为：53．

11．（3分）一个多边形的内角和跟它的外角和相等，则这个多边形是 　4　边形．

【解答】解：设多边形的边数为，根据题意

，

解得．

故答案为：4．

12．（3分）如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，　　．

【解答】解：如图，

根据题意得，，，，

为等腰直角三角形，

，

在和中，

，

，

，

，

，

．

故答案为．

13．（3分）如图，中，，平分，，垂足为，，，则的长为 　4　．

【解答】解：是的平分线，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

故答案为4．

14．（3分）在中，已知，，是边上的中线，则取值范围是 　　．

【解答】解：延长到使，连接，如图，

是边上的中线，

，

在和中，

，

，

，

，

即，

．

故答案为．

15．（3分）如图，，，，与相交于点，则　40　．

【解答】解：设交于，

，，

，

，，

又，

，

，

，

故答案为：40．

16．（3分）当三角形中一个内角是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”， 为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为 　或或　．

【解答】解：①角是，则友好角度数为；

②角是，则，

所以，友好角；

③角既不是也不是，

则，

所以，，

解得，

综上所述，友好角度数为或或．

故答案为：或或．

三、解答题（共6小题，17、18每小题4分，19、20、21、22每小题4分，共32分）

17．（4分）求出下列图形中的值．

【解答】解：（1）；

（2），

；

（3），

解得．

18．（4分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图．

（1）利用尺规作图在边上找一点，使点到、的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在网格中，的下方，直接画出，使与全等．

【解答】解：（1）如图点即为所求；

（2）或△即为所求；

19．（6分）看对话答题：小梅说：这个多边形的内角和等于．小红说：不对，你少加了一个角．

问题：

（1）他们在求几边形的内角和？

（2）少加的那个内角是多少度？

【解答】解：（1）设少加这个内角为，这个多边形的边数为

则，

，

，

，

为整数，

．

（2），

少加这个内角为135度．

20．（6分）已知：如图，，分别过点和点作，，两垂线相交于点．求证：．

【解答】证明：连接，

，

，

在和中

21．（6分）如图，，，三点在同一直线上，且．

（1）线段，，有怎样的数量关系？请说明理由．

（2）请你猜想满足什么条件时，，并证明．

【解答】（1）解：．

理由：，

，．

，，三点在同一直线上，

，

；

（2）猜想：，

则．

，

，

．

又，

，

当满足时，．

22．（6分）如图，大小不同的两块三角板和直角顶点重合在点处，，，连接、，点恰好在线段上．

（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；

（2）当，则的长度为 　8　．

（3）猜想与的位置关系，并说明理由．

【解答】解：（1），理由如下：

，

，

即，

在与中，

，

；

（2），

，

故答案为：8；

（3），理由如下：

与相交于点，在与中，

，

，

，

，

．

四．能力展示题（共3小题，第23、24每小题6分，25题8分，共20分）

23．（6分）在中，．

（1）如图1，、的平分线相交于点，则　125　；

（2）如图2，的外角、的平分线相交于点，则　　；

（3）探究如图3，的内角的平分线与其外角的平分线相交于点，设，则的度数是 　　．（用的代数式表示）

【解答】解：（1），

．

平分，平分，

，．

．

．

故答案为：．

（2），，

．

平分，平分，

，．

．

．

故答案为：．

（3）平分，平分，

，．

，

．

．

故答案为：．

24．（6分）若三边均不相等的三角形三边、、满足为最长边，为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”．

（1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 　②　（填序号）．

①，，；②，，；③，，；④，，．

（2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，，直接写出的整数值为 　　．

【解答】解：（1）①，

，，不能组成“不均衡三角形”；

②，

，，能组成“不均衡三角形”；

③，

，，不能组成“不均衡三角形”；

④，

，，不能组成“不均衡三角形”．

故答案为：②；

（2）①，

解得，

，

解得，

故不合题意舍去；

②，

解得，

，

解得，

，

为整数，

，

经检验，当时，22，16，14可构成三角形；

③，

解得，

，

解得，

，

为整数，

或13或14，都可以构成三角形．

综上所述，的整数值为10或12或13或14．

故答案为：10或12或13或14．

25．（8分）数学课上，老师给出了如下问题：

已知：如图1，在中，，，延长到点，，点是边上一点，连接，作，交于点．

（1）求证：；

（2）求证：．

经过独立思考后，老师让同学们小组交流．小辉同学说出了对于第二问的想法：“我想通过构造含有边和的全等三角形，因此我过点作于（如图2所示），如果能证明和全等，问题就解决了．但是这两个三角形证不出来相等的边，好像这样作辅助线行不通．”小亮同学说：“既然这样作辅助线证不出来，再考虑有没有其他添加辅助线的方法．”请你顺着小亮同学的思路在图3中继续尝试，并完成（1）、（2）问的证明．

【解答】证明：（1），

．

，

．

．

（2）如图3，在上截取，连接，

，

，即．

，

．

．

，

．

．

由（1）可得：．

．

．