


人教新课标A版选修1-1 综合测试(含答案)
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综合测试
一、单选题
1.由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界,该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 y2a2−x2b2=1(a>0,b>0) 下支的一部分,且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2,离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为( )
A. y=±3x B. y=±33x C. y=±x D. y=±2x
2.已知函数 g(x)=lnx+34x−14x−1 , f(x)=x2−2tx+4 ,若对任意的 x1∈(0,2) ,存在 x2∈[1,2] ,使 g(x1)≥f(x2) ,则实数t的取值范围是( )
A. (2,178] B. [178,+∞) C. [2,+∞) D. [1,+∞)
3.已知点 A(0,−1) 是抛物线 x2=2py 的准线上一点, F 为抛物线的焦点, P 为抛物线上的点,且 |PF|=m|PA| ,若双曲线 C 中心在原点, F 是它的一个焦点,且过 P 点,当 m 取最小值时,双曲线 C 的离心率为( )
A.2 B.3 C.2+1 D.3+1
4.如图,已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,以 OF2 为直径的圆与双曲线 C 的渐近线在第一象限的交点为 P ,线段 PF1 与另一条渐近线交于点 Q ,且 △OPF2 的面积是 △OPQ 面积的 2 倍,则该双曲线的离心率为( )
A. 32 B. 322 C. 2 D. 3
5.已知函数 f(x)=12ex−32e−x ,则曲线 y=f(x) 上任意一点处的切线的倾斜角 α 的取值范围是( )
A. (0 , π3] B. (π2 , 2π3] C. [π3 , π2) D. [π3 , π)
6.已知命题 p :在 ΔABC 中,若 A>B ,则 cosA+cosB>0 ,命题 q :在等比数列 {an} 中,若 a2a6=16 ,则 a4=4 .下列命题是真命题的是( )
A. p∧(¬q) B. (¬p)∨q C. (¬p)∧(¬q) D. p∧q
7.己知函数 f(x)=x(x−c)2 ,在 x=2 处取得极大值,则实数c的值是( )
A. 23 B. 2 C. 2或6 D. 6
8.设椭圆 C : x2a2+y24=1 ( a>2 )的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,直线 l : y=x+t 交椭圆 C 于点 A , B ,若 △F1AB 的周长的最大值为12,则 C 的离心率为( )
A. 33 B. 53 C. 223 D. 59
9.若函数 f(x)=ln(ex−1+e1−x)−2 与 g(x)=sinπx2 图像的交点为 (x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xm,ym) ,则 i=1mxi= ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
10.已知函数f(x)= x3+ax2+bx+c ,下列结论中错误的是( )
A. ∃ x0∈R , f( x0 )=0
B. 函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C. 若 x0 是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞, x0 )单调递减
D. 若 x0 是f(x)的极值点,则 f′ ( x0 )=0
11.已知 f(x)=12x2−2ax , g(x)=3a2lnx−b 其中 a>0 .设两曲伐 y=f(x) , y=g(x) 有公共点,且在该点的切线相同,则( )
A. 曲线 y=f(x) , y=g(x) 有两条这样的公共切线 B. b=3a22+3a2lna
C. 当 a=3e 时,b取最小值 D. b 的最小值为 −16e2
二、填空题
12.已知双曲线的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为________.
13.设 m>0 , p:0
15.点 P 在双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的右支上,其左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,直线 PF1 与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A,线段 PF1 的垂直平分线恰好过点 F2 ,则该双曲线的渐近线的斜率为________.
16.已知函数 f(x)=x−1−lnx ,对定义域内的任意 x 都有 f(x)≥kx−2 ,则实数k的取值范围是________.
17.已知函数 f(x)=e2x , g(x)=lnx+12 ,对 ∀a∈R , ∃b∈(0,+∞) ,使得 f(a)=g(b) ,则 b−a 的最小值为________.
18.已知函数 f(x)=lnxx , g(x)=xex ,若存在 x1>0 , x2∈R ,使得 f(x1)=g(x2)<0 成立,则 x1x2 的最小值为 .
19.在平面直角坐标系 xOy 中,记椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左右焦点分别为 F1,F2 ,若该椭圆上恰好有6个不同的点 P ,使得 ΔF1F2P 为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是________.
20.抛物线 x2=2py(p>0) 上一点 A(3,m)(m>1) 到抛物线准线的距离为 134 ,点 A 关于 y 轴的对称点为 B , O 为坐标原点, ΔOAB 的内切圆与 OA 切于点 E ,点 F 为内切圆上任意一点,则 OE•OF 的取值范围为________.
三、解答题
21.已知集合 A={x | x2−(2a−2)x+a2−2a≤0} , B={x| x2−5x+4≤0} .
(1)若 A∩B=∅ ,求 a 的取值范围;
(2)若“ x∈A ”是“ x∈B ”的充分不必要条件,求 a 的取值范围.
22.已知函数 f(x)=x−ln(x−1) .
(1)求定义域及单调区间;
(2)求 g(x)=f(x)−x+x2 的极值点.
23.已知函数 f(x)=x3+32x2+2
(Ⅰ)求曲线 y=f(x) 在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)在[—2,2]上的最大值和最小值.
24.已知 f(x)=(x+1)lnx .
(1)求 f(x) 的单调区间;
(2)若对任意 x≥1 ,不等式 x[f(x)x+1−ax]+a≤0 恒成立,求 a 的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】因为 y2a2−x2b2=1(a>0,b>0) ,
所以下焦点为 (0,−c) ,渐近线方程为 y=±abx ,即 ax±by=0 ,
则下焦点到 ax±by=0 的距离为 d=bca2+b2=b=2 ,
又因为 e=ca=1+(ba)2=2 ,
解得 ba=3 ,即 ab=33 ,
所以渐近线方程为: y=±33x
故答案为:B
【分析】 利用已知条件求出ba=3 , 即可求解双曲线的渐近线方程.
2.【答案】 B
【解析】由题意可知 g(x)min≥f(x)min ,
g′(x)=1x−34x2−14=4x−3−x24x2=−(x−1)(x−3)4x2 , 0
当 x∈(1,2) 时, g′(x)>0 ,函数单调递增,
∴ 当 x=1 时, g(x) 取得最小值, g(1)=−12 ,
f(x)=x2−2tx+4=(x−t)2+4−t2 , x∈[1,2] ,
①当 t<1 时,函数单调递增, f(x)min=f(1)=5−2t ,
即 5−2t≤−12 ,解得: t≥114 ,不成立;
②当 1≤t≤2 时, f(x)min=f(t)=4−t2 ,
即 4−t2≤−12 ,解得: t≥322 或 t≤−322 ,不成立;
③当 t>2 时,函数单调递减, f(x)min=f(2)=8−4t
即 8−4t≤−12 ,解得: t≥178 ,成立.
综上可知: t≥178 .
故答案为:B
【分析】由题意可知 g(x)min≥f(x)min ,转化为分别求两个函数的最小值,函数 g(x) 利用导数求最小值,函数 f(x) ,讨论函数的对称轴和定义域的关系,求函数的最小值.
3.【答案】 C
【解析】由于 A 在抛物线准线上,故 p=2 ,故抛物线方程为 x2=4y ,焦点坐标为 (0,1) .当直线 PA 和抛物线相切时, m 取得最小值,设直线 PA 的方程为 y=kx−1 ,代入抛物线方程得 x2−4kx+4=0 ,判别式 16k2−16=0 ,解得 k=±1 ,不妨设 k=1 ,由 x2−4x+4=0 ,解得 x=2 ,即 P(2,1) .设双曲线方程为 y2a2−x2b2=1 ,将 P 点坐标代入得 1a2−4b2=1 ,即 b2−4a2−a2b2=0 ,而双曲线 c=1 ,故 1=a2+b2,b2=1−a2 ,所以 1−a2−4a2−a2(1−a2)=0 ,解得 a=2−1 ,故离心率为 ca=12−1=2+1 ,
故答案为:C.
【分析】由题意可得p=2 , 可得抛物线的方程,焦点坐标,准线方程,当直线 PA 和抛物线相切时, m 取得最小值,设直线 PA 的方程为 y=kx−1 ,代入抛物线方程,运用判别式为0,求得k,P的坐标,再由双曲线的定义和离心率公式计算可得所求的值。
4.【答案】 C
【解析】 ∵O 为 F1F2 的中点,则 S△OPF1=S△OPF2=2S△OPQ ,即 S△OPQS△OPF1=|PQ||PF1|=12 ,
所以, |PQ|=12|PF1| ,所以, Q 为线段 PF1 的中点,
由图可知,直线 OP 的方程为 y=bax ,
因为 PF2⊥OP ,所以直线 PF2 的方程为 y=−ab(x−c) ,
联立 {y=baxy=−ab(x−c) ,解得 {x=a2cy=abc ,即点 P(a2c,abc) ,
因为点 F1(−c,0) ,所以点 Q 的坐标为 (−b22c,ab2c) ,
又点 Q 在直线 y=−bax 上,则有 ab2c=ba⋅b22c , ∴b=a ,则 c=a2+b2=2a ,
因此,该双曲线的离心率为 e=ca=2 .
故答案为:C.
【分析】 首先求得直线OP的方程和以OF2为直径的圆的方程,求得P的坐标,直线PF1的方程,与渐近线方程bx+ay=0,解得Q的坐标,由题意可得F2到直线OP的距离为Q到直线OP的距离的2倍,运用点到直线的距离公式和离心率公式,代入数值计算出结果即可。
5.【答案】 C
【解析】∵ f(x)=12ex−32e−x ,
∴ f′(x)=12ex+32e−x=12(ex+3e−x)≥12×2ex×3e−x=3 ,当且仅当 ex=3e−x ,即 x=12ln3 时等号成立.
∴ tanα≥3 ,
又 0≤α<π ,
∴ π3≤α<π2 ,
即倾斜角 α 的取值范围是 [π3,π2) .
故答案为:C.
【分析】求导数,结合基本不等式求出导函数的最值,结合函数的几何意义,即可求出倾斜角的取值范围.
6.【答案】 A
【解析】设 A+B'=π ,则 cosA=−cosB' ,因为 A+B<π ,所以 0 所以 cosB>cosB' ,则 cosB>−cosA ,即 cosA+cosB>0 ,故命题 p 是真命题.
因为 a2a6=16 ,所以 a42=16 ,所以 a4=±4 ,则命题 q 是假命题.
故 p∧(¬q) 是真命题; (¬p)∨q , (¬p)∧(¬q) , p∧q 为假命题.
故答案为:A
【分析】先判断命题 p 是真命题和命题 q 是假命题,再判断 p∧(¬q) 为真命题得到答案.
7.【答案】 D
【解析】函数 f(x)=x(x−c)2 的导数为 f′(x)=(x−c)2+2x(x−c) =(x−c)(3x−c) ,
由 f(x) 在 x=2 处有极大值,即有 f′(2)=0 ,即 (c−2)(c−6)=0 ,
解得 c=2 或6,
若 c=2 时, f′(x)=0 ,可得 x=2 或 23 ,
由 f(x) 在 x=2 处导数左负右正,取得极小值,
若 c=6 , f′(x)=0 ,可得 x=6 或2,
由 f(x) 在 x=2 处导数左正右负,取得极大值.
综上可得 c=6 .
故答案为:D.
【分析】由题意可得 f′(2)=0 ,解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件.
8.【答案】 B
【解析】 △F1AB 的周长等于 AB+AF1+BF1=AB+2a−AF2+2a−BF2
=4a+AB−(AF2+BF2) ,
因为 AF2+BF2≥AB 当且仅当 A,B,F2 三点共线时等号成立,
所以 4a+AB−(AF2+BF2)≤4a+AB−AB=4a ,
即 △F1AB 的周长的最大为 4a ,所以 4a=12 ,解得: a=3 ,
由椭圆的方程可得: b2=4 ,所以 c=a2−b2=9−4=5 ,
所以 C 的离心率为 e=ca=53 ,
故答案为:B
【分析】先利用椭圆的定义求出△F1AB的周长的最大值可得a的值,根据椭圆方程即可求b,c的值,进而可求离心率。
9.【答案】 A
【解析】解:设函数 ℎ(x)=f(x+1)=ln(ex+e−x)−2 ,
y=ℎ(x) 的定义域为R ,
因为 ℎ(−x)=ln(e−x+ex)−2=ℎ(x) ,
所以 y=ℎ(x) 为偶函数,
因为 y′=(ex+e−x)'=ex−e−x 是增函数,
故当 x≥0 时, y′≥e0−e0=0 ,
所以当 x≥0 时, y=ℎ(x) 为增函数,
由奇偶性可知,当 x<0 时, y=ℎ(x) 为减函数,
故函数 y=f(x) 关于 x=1 对称,当 x≥1 时, y=f(x) 为增函数,
当 x<1 时, y=f(x) 为减函数,
函数 y=g(x) 是关于 x=1 对称的,
作出两个函数的图像,如图所示,
两个函数的交点有两个,设它们的横坐标分别为 x1,x2 ,
由对称性可得 x1+x22=1 ,即 x1+x2=2 ,
故答案为:A。
【分析】对函数 f(x)=ln(ex−1+e1−x)−2 的性质进行研究,可得出 y=f(x) 关于 x=1 对称,且当 x∈(1,+∞) 时,函数 y=f(x) 单调递增,当 x∈(−∞,1) 时,函数 y=f(x) 单调递减,函数 y=g(x) 关于 x=1 对称,故可得两个函数的交点有两个,且关于 x=1 对称,故可得结果。
10.【答案】 C
【解析】由于三次函数的三次项系数为正值,当x→-∞时,函数值→-∞,当x→+∞时,函数值也→+∞,又三次函数的图象是连续不断的,故一定穿过x轴,即一定∃x0∈R,f(x0)=0,A中的结论正确;函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x+m)3+n(x+m)+h的形式,通过平移函数图象,函数的解析式可以化为y=x3+nx的形式,这是一个奇函数,其图象关于坐标原点对称,故函数f(x)的图象是中心对称图形,B中的结论正确;由于三次函数的三次项系数为正值,故函数如果存在极值点x1 , x2 , 则极小值点x2>x1 , 即函数在-∞到极小值点的区间上是先递增后递减的,所以C中的结论错误;根据导数与极值的关系,显然D中的结论正确.
故答案为:C
【分析】求导数,利用导数确定函数的单调性,根据奇偶性的定义确定函数的奇偶性,根据奇偶函数的对称性确定函数的对称中心或对称轴,,结合单调性确定函数的极值,根据选项逐一判断即可.
11.【答案】 D
【解析】解:由 f(x)=12x2−2ax , g(x)=3a2lnx−b , x>0 ,
则 f′(x)=x−2a , g′(x)=3a2x ,
设两曲线的公切点为 (x0,y0) ,由题意得,
{f(x0)=g(x0)f′(x0)=g′(x0) ,即 {12x02−2ax0=3a2lnx0−bx0−2a=3a2x0 ,
由 x0−2a=3a2x0 得, x02−2ax0−3a2=0 ,解得 x0=3a 或 x0=−a (舍去),
所以曲线 y=f(x),y=g(x) 只有一条这样的共切线,A不符合题意;
b=3a2lnx0−12x02+2ax0=3a2ln3a−9a22+6a2=3a2ln3a+3a22 ,B不符合题意;
令 F(a)=3a2ln3a+3a22,a>0 ,则 F′(a)=6aln3a+6a=6a(ln3a+1) ,
当 013e 时, F′(a)>0 ,
所以函数 F(a) 在 (0,13e) 上递减,在 (13e,+∞) 上递增,
所以当 a=13e 时,b取得最小值,为 F(13e)=−13e2+32⋅19e2=−16e2 ,
C不符合题意,D符合题意.
故答案为:D.
【分析】首先分别对两个函数求导,由已知条件结合共切点的性质得出{f(x0)=g(x0)f′(x0)=g′(x0)即{12x02−2ax0=3a2lnx0−bx0−2a=3a2x0求解出x0=3a或 x0=−a由此判断出选项A错误;由特殊值代入法计算出结果由此判断出选项B错误;构造函数F(a)=3a2ln3a+3a22,a>0对其求导,由导函数的性质即可得出函数的单调性,结合函数的单调性即可求出函数的最值,由此判断出选项C错误选项D正确;由此得出答案。
二、填空题
12.【答案】 y=2x
【解析】 ∵ 双曲线焦点到渐近线的距离 d=b ∴b=2a ,即 ba=2
∴ 双曲线的渐近线方程为 y=±bax=±2x
故答案为:y=2x
【分析】根据双曲线焦点到渐近线距离为 b 可构造齐次式求得 ba ,由此可得渐近线方程.
13.【答案】 12 ( (0,1) 的任意数均可)
【解析】由 xx−1<0 得0
【分析】利用已知条件就结合充分条件、必要条件的判断方法,从而求出m可以取的值。
14.【答案】 2
【解析】解:双曲线C: x2a2−y2b2 =1(a>0,b>0)的左焦点为F(﹣c,0),
过F作C的一条渐近线的垂线l,垂足为A,
所以AF的方程为:y= ab(x+c) ,与bx+ay=0联立,
可得 A(−a2c , abc) ,
l与C的另一条渐近线的交点为B,若A是线段FB的中点,
可得B( c2−2a2c , 2abc ),代入bx﹣ay=0,可得:c2=4a2 ,
则双曲线C的离心率为e=2.
故答案为:2.
【分析】利用已知求出A坐标,再求出B坐标,代入双曲线的渐近线方程,求解离心率即可。
15.【答案】 ±43
【解析】如图,
是切点, B 是 PF1 的中点,因为 |OA|=a || ,所以 |BF2|=2a ,又 |F1F2|=2c ,所以 |BF1|=2b , |PF2|=4b ,又 |PF2|=|F1F2|=2c ,根据双曲线的定义,有 |PF1|−|PF2|=2a ,即 4b−2c=2a2 ,两边平方并化简得 3c2−2ac−5a2=0 ,所以 ca=53 ,因此 ba=(ca)2−1=43 ,所以双曲线的渐近线的斜率为±43 。
【分析】利用双曲线的标准方程求出左、右焦点坐标,再根据已知条件求出点P的坐标,再利用中点坐标公式结合直线与圆的位置关系的判断方法,最后用双曲线的定义结合双曲线中a,b,c三者的关系式,从而求出求出ba的值,从而求出双曲线的渐近线的斜率。
16.【答案】 (−∞,1−1e2]
【解析】∵ f(x)=x−1−lnx≥kx−2 ,∴ kx≤x+1−lnx , x>0 ,也即 k≤1+1x−lnxx 在 x>0 时恒成立.
令 g(x)=1+1−lnxx , x>0 ,则 g′(x)=lnx−2x2 , x>0 ,令 g′(x)=0⇒x=e2 .易知 g(x) 在 x∈(0,e2) 上单调递减, g(x) 在 x∈(e2,+∞) 上单调递增,
故 g(x)min=g(e2)=1−1e2 ,∴ k≤1−1e2 .
故答案为: (−∞,1−1e2]
【分析】不等式 f(x)≥kx−2 分离变量,等价变形为 k≤1+1x−lnxx ,构造函数 g(x)=1+1−lnxx ,函数求导 g′(x)=lnx−2x2 ,求出单调区间,可得函数最小值.
17.【答案】 1+12ln2
【解析】∵ f(x)=e2x 的值域为 (0,+∞) , g(x)=lnx+12 值域为 R ,
所以对 ∀a∈R , ∃b∈(0,+∞) ,使得 f(a)=g(b) ,
令 f(a)=g(b)=t>0 ,即 e2a=lnb+12=t ,
a=12lnt,b=et−12 ,所以 b−a=et−12−12lnt,(t>0)
令 ℎ(t)=et−12−12lnt ,则 b−a 的最小值,即为 ℎ(t) 的最小值,
∵ ℎ′(t)=et−12−12t,ℎ′(t) 在 (0,+∞) 单调递增,且 ℎ′(12)=0 ,
当 t∈(0,12) 时, ℎ′(t)<0 ,当 t∈(12,+∞) 时, ℎ′(t)>0 ,
故当 t=12 时, ℎ(t) 取最小值 1−ln122=1+12ln2 .
故答案为: 1+12ln2 .
【分析】 根据题意结合已知条件即可得到g(x)=lnx+12即e2a=lnb+12=t构造函数h(x)=h(x)=g , (x)-f , (x),则b-a的最小值,即为h(x)的最小值,利用导数法求出函数的最小值,可得答案.
18.【答案】 −1e
【解析】函数 f(x) 的定义域为 (0,+∞) , f′(x)=1−lnxx2 ,
∴ 当 x∈(0,e) 时, f′(x)>0 , f(x) 单调递增,当 x∈(e,+∞) 时, f′(x)<0 , f(x) 单调递减,又因为 f(1) =0 ,所以 x∈(0,1) 时, f(x)<0 ; x∈(1,e) 时, f(x)>0 ; x∈(e,+∞) 时, f(x)>0 ,同时注意到 g(x)=xex=lnexex=f(ex) ,
所以若存在 x1∈(0,+∞) , x2∈R ,使得 f(x1)=g(x2)<0 成立,
则 0
所以构造函数 ℎ(x)=xex (x<0) ,而 ℎ′(x)=ex(1+x) ,
当 x∈(−1,0) 时, ℎ′(x)>0 , ℎ(x) 单调递增;当 x∈(−∞,−1) 时, ℎ′(x)<0 , ℎ(x) 单调递减,所以 ℎ(x)最小值=ℎ(−1)=−1e ,即 (x1x2)最小值=−1e 。
故答案为: −1e 。
【分析】利用求导的方法判断函数f(x)的单调性,又因为 f(1) =0 ,所以当 x∈(0,1) 时, f(x)<0 ;当 x∈(1,e) 时, f(x)>0 ;当 x∈(e,+∞) 时, f(x)>0 ,同时注意到 g(x)=xex=lnexex=f(ex) ,所以若存在 x1∈(0,+∞) , x2∈R ,使得 f(x1)=g(x2)<0 成立,则 0
【解析】解:椭圆上恰好有6个不同的点 P ,使得 ΔF1F2P 为等腰三角形,6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点,另外四个分别在第一、二、三、四象限,且上下对称左右对称,
设P在第一象限, PF1>PF1 ,当 PF1=F1F2=2c 时,
PF2=2a−PF1=2a−2c ,
即 2a>2a−2c ,解得 e>12
又因为 e<1 ,所以 12
PF1=2a−PF2=2a−2c ,
即 2a−2c>2c 且 2c>a−c
解得: 13
【分析】椭圆上恰好有6个不同的点 P ,使得 ΔF1F2P 为等腰三角形,6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点,另外四个分别在第一、二、三、四象限,且上下对称左右对称,设P在第一象限, PF1>PF1 ,再利用分类讨论的方法结合椭圆的定义和焦距的定义,进而结合已知条件得出a,c的关系式,再利用椭圆离心率公式变形,进而求出该椭圆的离心率的取值范围。
20.【答案】 [3−3, 3+3]
【解析】因为点 A(3, m) 在抛物线上,所以 3=2pm⇒m=32p ,点A到准线的距离为 32p+p2=134 ,解得 p=12 或 p=6 .当 p=6 时, m=14<1 ,故 p=6 舍去,所以抛物线方程为 x2=y, ∴ A(3, 3), B(−3, 3) ,所以 △OAB 是正三角形,边长为 23 ,其内切圆方程为 x2+(y−2)2=1 ,如图所示,
∴ E(32, 32) .设点 F(cosθ, 2+sinθ) ( θ 为参数),则 OE · OF=32cosθ+3+32sinθ=3+3sin(θ+π6) ,∴ OE · OF∈[3−3, 3+3] .
【分析】本题主要考查抛物线性质的运用,参数方程的运用,三角函数的两角和公式合一变形求最值,属于难题,对于这类题目,首先利用已知条件得到抛物线的方程,进而可得到 ΔOAB 为等边三角形和内切圆的方程,进而得到点 E 的坐标,可利用内切圆的方程设出点 F 含参数的坐标,进而得到 OE · OF=3+3sin(θ+π6) ,从而得到其取值范围,因此正确求出内切圆的方程是解题的关键.
三、解答题
21.【答案】 (1)解: A={x | x2−(2a−2)x+a2−2a≤0}={x| a−2≤x≤a}
B={x | x2−5x+4≤0}={x| 1≤x≤4}
因为 A∩B=∅ ,所以 a−2>4 或 a<1 ,即 a>6 或 a<1 .
所以 a 的取值范围是 (−∞,1)∪(6,+∞) 。
(2)解:因为“ x∈A ”是“ x∈B ”的充分不必要条件,所以 A⊊B ,则 {a−2≥1a≤4 ,解得 3≤a≤4 .
所以 a 的取值范围是 [3,4]
【解析】【分析】分别化简集合 A,B ,(1)根据两集合交集为空集得出 a 的不等关系,解之即可;(2)若“ x∈A ”是“ x∈B ”的充分不必要条件,则 A 是 B 的子集,由子集的概念可得.
22.【答案】 (1)f(x) 的定义域是 (1,+∞) ,
f(x)=x−ln(x−1) , f′(x)=1−1x−1=x−2x−1 , x∈(1,+∞) ,
令 f′(x)>0 ,解得: x>2 ,令 f′(x)<0 ,解得: 1
(2)∵ g(x)=x2−ln(x−1) ,∴ g′(x)=2x−1x−1 ,
由 g(x)=0 得 x=1±32 ,
又∵ x>1 ,∴ x=1+32 ,∴ x∈(1,1+32) , g′(x)<0 ;
x∈(1+32,+∞) , g′(x)>0 ,∴ g(x) 在 (1,1+32) 单调递减,
在 (1+32,+∞) 单调递增,
g(x) 极小值点是 1+32 ,无极大值点.
【解析】【分析】(1)利用对数型函数求定义域的方法求出函数 f(x)=x−ln(x−1) 的定义域,再利用求导的方法判断函数的单调性,从而求出函数f(x)=x−ln(x−1)的单调区间。
(2)利用函数f(x)的解析式结合已知条件 g(x)=f(x)−x+x2 求出函数g(x)的解析式,再利用求导的方法判断函数的单调性,从而求出函数的极值点。
23.【答案】 解: f(x)=x3+32x2+2 , f(x) 的定义域是 R ,
(Ⅰ) f′(x)=3x2+3x=3x(x+1) ,
故 f (1) =92 , f′ (1) =6 ,
故切线方程是: y−92=6(x−1) ,
即 12x−2y−3=0 ;
(Ⅱ) f′(x)=3x2+3x=3x(x+1) ,
令 f′(x)>0 ,解得: x>0 或 x<−1 ,
令 f′(x)<0 ,解得: −1
而 f(−2)=0 , f(−1)=52 , f(0)=2 , f (2) =16 ,
故 f(x)max=f (2) =16 , f(x)min=f(−2)=0
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率,再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标,进而求出切点的坐标,再结合点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
(2)利用求导的方法判断函数的单调性,进而求出函数的极值,从而求出函数在给定区间的最值。
24.【答案】 (1)解:由解析式知: f(x) 的定义域为 (0,+∞) 且 f′(x)=lnx+1+1x ,
令 g(x)=lnx+1+1x(x>0) ,则 g′(x)=1x−1x2=x−1x2
∴当 0
∴ g(x) 在 (0,1) 单调递减,在 (1,+∞) 单调递增,即 f′(x)=g(x)>g(1)=2>0 ,
∴ f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增,即 f(x) 的增区间为 (0,+∞) ,无减区间.
(2)解:解法1:直接求导,分类讨论.
对任意 x≥1 ,不等式 x[f(x)x+1−ax]+a≤0 恒成立等价于对任意 x≥1 ,不等式 x(lnx−ax)+a≤0 恒成立.
令 ℎ(x)=xlnx−ax2+a(x≥1) ,则 ℎ′(x)=1+lnx−2ax ,
令 m(x)=1+lnx−2ax(x≥1) ,则 m′(x)=1x−2a ,由 x≥1 知: 0<1x≤1 ,
①当 2a≥1 ,即 a≥12 时, 即 m′(x)≤0 ,即 m(x) 在 [1,+∞) 上单调递减,又 m(1)=1−2a≤0 ,
∴ x≥1 时, ℎ′(x)=m(x)≤0 ,即 ℎ(x) 在 [1,+∞) 上单调递减,又 ℎ(1)=0 ,
∴ x≥1 时, ℎ(x)≤0 ,符合题意.
②若 0<2a<1 ,即 0 当 1≤x<12a 时, ℎ′(x)=m(x)≥m(1)=1−2a>0 ,
∴ ℎ(x) 在 [1,12a) 单调递增,即 1≤x<12a 时, ℎ(x)≥ℎ(1)=0 ,
故 x(lnx−ax)+a≤0 不恒成立,不合题意.
③若 a≤0 ,则 m′(x)>0 恒成立,所以 m(x) 在 [1,+∞) 单调递增.
∴ x≥1 时, ℎ′(x)=m(x)≥m(1)=1−2a>0 ,即 ℎ(x) 在 [1,+∞) 单调递增,
又 x≥1 时, ℎ(x)≥ℎ(1)=0 ,即 x(lnx−ax)+a≥0 恒成立,不合题意.
综上所述, a 的取值范围是 [12,+∞) .
解法2:
对任意 x≥1 ,不等式 x[f(x)x+1−ax]+a≤0 恒成立等价于对任意 x≥1 , lnx−a(x−1x)≤0 恒成立.
令 t(x)=lnx−a(x−1x)(x≥1) ,则 t′(x)=1x−a(1+1x2)=−ax2−x+ax2 ,记 Δ=1−4a2 ,
①当 a≥12 时, Δ≤0 ,此时 t′(x)≤0 , t(x) 在 [1,+∞) 单调递减,又 t(1)=0 ,
所以 x≥1 时, t(x)≤0 ,即对任意 x≥1 , lnx−a(x−1x)≤0 恒成立.
②当 a≤−12 时, t′(x)≥0 , t(x) 在 [1,+∞) 上单调递增,又 t(1)=0 ,
所以 x≥1 时, t(x)≥0 ,即对任意 x≥1 , lnx−a(x−1x)≥0 恒成立,不符合题意.
③ a=0 时,不等式化为 lnx≤0(x≥1) ,显然不成立.
④当 −12 若 01 , 0
解法3:参数分离
当 x=1 , a∈R 对任意 x>1 ,不等式 x[f(x)x+1−ax]+a≤0 恒成立等价于对任意 x>1 , a≥xlnxx2−1 恒成立.
记 m(x)=xlnxx2−1(x>1) ,则
m′(x)=(1+lnx)(x2−1)−2x2lnx(x2−1)2 =x2−1−(1+x2)lnx(x2−1)2=1x2+1(1−2x2+1−lnx)(x2−1)2 ,
记 t(x)=1−21+x2−lnx(x>1) ,
则 t′(x)=4x(1+x2)2−1x=4x2−(1+x2)2x(1+x2)2=−(1−x2)2x(1+x2)2<0 ,
所以 t(x) 在 (1,+∞) 单调递减,又 t(1)=0 ,所以, x>1 时, t(x)<0 ,即 m′(x)<0 ,
所以 m(x) 在 (1,+∞) 单调递减.所以 m(x)min
【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数求导,构造函数g(x)=lnx+1+1x(x>0)再由其导函数的性质得出该函数的单调性,由此即可得出f′(x)=g(x)>g(1)=2>0从而得出函数f(x)的单调性以及单调区间。
(2) 解法1 :由已知条件即可得出 不等式 x[f(x)x+1−ax]+a≤0 恒成立等价于对任意 x≥1 ,不等式 x(lnx−ax)+a≤0 恒成立.,构造函数ℎ(x)=xlnx−ax2+a(x≥1)结合其导函数的性质,对a分情况讨论即可得出该函数的单调性,从而得出满足题意的a的取值范围。
解法2: 由已知条件即可得出 不等式 x[f(x)x+1−ax]+a≤0 恒成立等价于对任意 x≥1 , lnx−a(x−1x)≤0 恒成立.,构造函数t(x)=lnx−a(x−1x)(x≥1)结合其导函数的性质对a分情况讨论即可得出该函数的单调性,由函数的单调性即可点到关于a的不等式,求解出a的取值范围即可。
解法3 :由已知条件即可得出 不等式 x[f(x)x+1−ax]+a≤0 恒成立等价于对任意 x≥1 , lnx−a(x−1x)≤0 恒成立,由分离参数法即可得到a≥xlnxx2−1恒成立,构造函数m(x)=xlnxx2−1(x>1) , 结合导函数的性质即可得出该函数的单调性,由函数的单调性即可求出函数的最值,由此即可得出a的取值范围。
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