2020-2021学年黑龙江省大庆实验中学高二10月月考数学（理）试题（解析版）

2020-2021学年黑龙江省大庆实验中学高二10月月考数学（理）试题

一、单选题

1．设命题，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】否定命题的结论，全称量词改为存在量词即得．

【详解】

由题意为

故选：A．

【点睛】

本题考查命题的否定，掌握命题否定的是解题关键，特别注意全称量词与存在量词的的互换．

2．下面四个条件中，使成立的充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据充分不必要条件的定义判断．

【详解】

，不能得出，不充分；

，是充要条件；

不能得出，不充分．

，是充分条件，反之若不能得出，因此是不必要的，

故选：D．

【点睛】

本题考查充分不必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键．

3．某班有学生人，现将所有学生按随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本（等距抽样），已知编号为号学生在样本中，则（    ）

A．14 B．34 C．48 D．50

【答案】C

【解析】利用系统抽样的特征可求出、，进而可求解.

【详解】

样本容量为，

样本间隔为，

编号为号学生在样本中，

，，

.

故选：C

【点睛】

本题考查了系统抽样，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

4．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】A

【解析】根据离心率，面积公式结合求出得椭圆方程．

【详解】

由题意，解得，

∴椭圆方程为或

故选：A．

【点睛】

本题考查求椭圆的标准方程中，求解题方法是根据已知条件列出方程组求出，只是要注意由于焦点的位置不确定，因此方程有两种．

5．连续抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之积为6的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】连续抛掷两枚质地均匀的骰子，所有基本事件有种，再求出向上点数之积为6的基本事件的个数，由概率公式可得概率．

【详解】

连续抛掷两枚质地均匀的骰子，所有基本事件有种，向上点数之积为6的事件有16,23,32,61共4种，

∴概率为．

故选：A．

【点睛】

本题考查古典概型，解题关键是求出事件空间中基本事件的个数，及所求概率事件包含的基本事件的个数．

6．关于曲线，给出下列五个命题：

①曲线关于轴对称；

②曲线关于轴对称；

③曲线关于对称；

④曲线关于原点对称；

⑤曲线所围成的区域面积大于

其中正确的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】根据方程对各命题进行判断．

【详解】

曲线的方程中用替换，方程不变，①正确；

用替换，方程不变，②正确；

位置互换，方程不变，③正确；

同时用换，换，方程不变，④正确；

在第一象限，方程为，即，

它是以为圆心，为半径的圆在第一象限的部分，

记，实质上是以为直径的半圆，

曲线在第一象限部分的面积为，

曲线所围成的区域面积为，⑤错．

正确命题有4个．

故选：C．

【点睛】

本题考查曲线与方程的概念，利用曲线的方程研究曲线的性质，如本题中的对称性，是解析几何的基本方法．

7．某学校随机抽查了本校20个学生，调查他们平均每天进行体育锻炼的时间（单位：min），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[0，5），[5，10），…，[35，40]，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是(  )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】【详解】

从题设中提供的频率分布直方图可算得在区间内各有个，答案A被排除；在区间内有个；在区间内有个；在区间内有个；在区间内各有个，答案C被排除；在区间内有个，答案D被排除；依据这些数据信息可推知，应选答案B．

点睛：解答本题的方法是根据题设中所提供的频率分布直方图提供的信息，先算出在不同区间内的个体的频数，再分别结合所给的茎叶图，对每个答案逐一进行分析推断，从而排除不合题设的答案，选出正确答案，使得问题获解．

8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（    ）

A．甲地：总体平均值为3，中位数为4 B．乙地：总体平均值为1，总体方差大于0

C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为2

【答案】D

【解析】根据平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，中位数和众数也不能确定，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就大于2，从而得出答案.

【详解】

不妨通过构造特殊值法进行判断，对于甲地：0，0，0，0，4，4，4，4，4，10符合条件，但其第10天新增疑似病例超过7人，故不符合题意；对于乙地：0，0，0，0，0，0，0，0，10符合条件，但其第10天新增疑似病例超过7人，故不符合题意；对于丙地，0，0，1，1，2 ，2，3，3，3，10符合条件，但其第10天新增疑似病例超过7人，故不符合题意；对于丁地，当总体平均数是2时，若有一个数据超过7，则方差就超过了2，符合题意，因此，一定没有发生大规模群体感染的是丁地.

故选：D.

【点睛】

本题考查了方差、中位数、众数和平均数，熟练掌握方差、中位数、众数和平均数的意义是本题的关键.

9．定义，在区域内任取一点，则点满足的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】作出表示的总区域以及表示的区域，再利用几何概型即可求解.

【详解】

试验包含的所有事件对应的集合为

，

满足条件的事件，

即，

如图所示：

联立， 解得，

则由几何概型公式可得.

故选：B

【点睛】

本题考查了几何概型-面积型，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

10．已知点，，若圆上存在点M满足，则实数的值不可以为（    ）

A． B． C．0 D．3

【答案】D

【解析】设，求出满足的点的轨迹方程，由方程知轨迹为圆，再两圆有公共点可得的取值范围，从而判断各选项．

【详解】

设，则，

，即，∴点在圆上，

由题意此圆与已知圆有公共点，∴，解得，四个选项中只有D不满足．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查两圆的位置关系，解题方法是利用圆心距与两圆半径之间的关系列不等式求解．

11．若椭圆或双曲线上存在点，使得点到两个焦点的距离之比为，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出满足条件时的和，再求出，验证，，能否是三角形的三边长，即可得．

【详解】

，则，若是椭圆，则，，，

若是双曲线，则，，

A中椭圆，，，，，不存在；

B中椭圆，，，，，不存在

C中双曲线，，双曲线上点到到右焦点距离的最小值是，

，，，构成，存在“点”，

D中双曲线，，，，，，不存在

故选：C．

【点睛】

本题考查新定义“点”，解题方法是弱化条件，求出满足部分条件的点具有的性质，验证是否满足另外的条件：构成三角形．从而完成求解．

12．设点为椭圆上的动点（除左右顶点外），椭圆的焦点为，离心率为，为的内心，则直线和直线的斜率之积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】连接延长交轴于，利用内角平分线定理及等比定理得，设，，，用表示出，然后计算可得结论．

【详解】

如图，连接延长交轴于，

由内角平分线定理得，

利用等比性质得，

设，，，

则，，

∴，，

又，，

∴由可得，化简得，

又∵，∴，

∴，，

∴．

故选：B．

【点睛】

本题考查椭圆的几何性质，解题方法是设动点坐标，用动点表示出内心的坐标，然后计算斜率之积，旨在考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力．

二、填空题

13．是两个平面，是三条直线，有下列四个命题：

①若，则；

②若则

③若，则

④若则与所成的角和与所成的角相等.

其中正确的命题有_____

【答案】①③④

【解析】由线线平行、线面平行、面面平行的性质与判定判断各命题．

【详解】

由平行公理知①正确；若则或，②错；若，则与无公共点，∴，③正确；

若如图，过上一点作于，延长交于，∵，∴，与分别交于点，连接，则分别是与所成的角，易得，

过上一点作于，与交于点，连接，则是与成的角，

由，得，∴，∴，∴，④正确，

故答案为：①③④．

【点睛】

本题考查线线、线面、面面平行的判定与性质，考查等角定理，旨在考查学生的空间想象能力，逻辑思维能力．属于基础题．

14．双曲线的渐近线方程为     ．

【答案】

【解析】利用双曲线方程求解双曲线的渐近线方程.

【详解】

双曲线，可得，，

则该双曲线的渐近线方程为：．

故答案为：

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，考查计算能力．

15．如图，在梯形中，已知，，双曲线过三点，且以为焦点，则双曲线的离心率为_____________.

【答案】

【解析】设双曲线的方程为，求出点，设，根据求出，将点代入双曲线方程即可求解.

【详解】

设双曲线的方程为，

由双曲线是以为焦点，

，，

把代入，

可得，即，

又，，

设，，

，，

解得，，

可得，

代入双曲线的方程可得，

即，解得，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了考生的运算求解能力，属于中档题.

16．已知椭圆内一点，过点的两条直线分别与椭圆交于和两点，且满足（其中），若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为__________.

【答案】

【解析】设，

由共线向量的坐标运算，得，由点差法结合直线的斜率得出，两者比较可得的等式，从而求得离心率．

【详解】

设，

∵，∴，

则，∴，同理，

∴，∴，

∵在椭圆上，∴，，

相减可得，即，

则①，同理可得②，

①+②得，

又，

∴，∴，．

故答案为：．

【点睛】

本题考查求椭圆的离心率，向量的坐标运算，设出四点坐标，由点差法利用斜率得出四点的坐标间的关系，由向量的坐标运算得出四点的坐标间的关系，两者比较后得的等量关系，从而求得离心率．本题旨在考查学生运算求解能力，属于中档题．

三、解答题

17．设已知命题函数有零点；命题，.若为真命题，求实数的取值范围.

【答案】.

【解析】由题意为真可得，利用基本不等式，当为真时，再由为真命题，则均为真命题，取交集即可求解.

【详解】

解：，解得或

令，则，当时取等号，则.

因为为真命题，所以均为真命题

即，解得

所以的取值范围为

【点睛】

本题考查了由复合命题的真假求参数的取值范围，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

18．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄，（单位：千元）的数据资料，算出，附：线性回归方程，其中为样本平均值.

（1）求家庭的月储蓄 对月收入的线性回归方程 ；

（2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.

【答案】（1）；（2）1.7

【解析】（1）根据数据，利用最小二乘法，即可求得y对月收入x的线性回归方程回归方程x；

（2）将x＝7代入即可预测该家庭的月储蓄．

【详解】

（1）由题意知， ，

∴

由.

故所求回归方程为

（2）将代入回归方程

可以预测该家庭的月储蓄为（千元）.

【点睛】

本题考查线性回归方程的应用，考查最小二乘法求线性回归方程，考查转化思想，属于中档题．

19．为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法知识竞赛．统计局调查队随机抽取了甲、乙两单位中各5名职工的成绩，成绩如下表：

（1）根据表中的数据，分别求出甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位对法律知识的掌握更稳定；

（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的分数差至少是4的概率．

【答案】（1）,,,，甲单位对法律知识的掌握更稳定；（2）．

【解析】试题分析：（1）先求出甲乙两个单位职工的考试成绩的平均数,以及他们的方差,则方差小的更稳定；（2）从乙单位抽取两名职工的成绩,所有基本事件用列举法得到共种情况,抽取的两名职工的分数差至少是的事件用列举法求得共有种,由古典概型公式得出概率．

试题解析：解：（1），

∵，∴甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位对法律知识的掌握更稳定．

（2）从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件（用数对表示）：（85，89），（85，91），（85，92），（85，93），（89，91），（89，92），（89，93），（91，92），（91，93），（92，93），共10个．

则抽取的2名职工的分数差至少是4的基本事件：

（85，89），（85，91），（85，92），（85，93），（89，93），

共5个．

用古典概型的概率计算公式可知，抽取的2名职工的分数差至少是4的概率．

【考点】1．平均数与方差公式；2．古典概型．

20．已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为，椭圆的长轴长为

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于两点，线段的中点为，求弦长

【答案】（1）；（2）10.

【解析】（1）由点到直线的距离得，再由长轴长可求得得椭圆方程；

（2）直线的斜率一定存在，设方程为，代入椭圆方程整理，设，由韦达定理得，由中点坐标公式求得，再由弦长公式求得弦长．

【详解】

解：（1）经过两点的直线为：即.

由已知：原点到直线的距离即

因为，所以

所以椭圆的标准方程为：

（2）当直线斜率不存在时，线段的中点在轴上，不合题意.所以直线的斜率存在，设为，则直线即为：

设

联立得：

显然

则，解得

则

所以

【点睛】

本题考查求椭圆的标准方程，考查求直线与椭圆相交弦长，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，代入椭圆方程应用韦达定理，得，由弦长公式得弦长．

21．已知椭圆的左右焦点分别是，，点为椭圆短轴的端点，且的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）点是椭圆上的一点，是椭圆上的两动点，且直线关于直线对称，试证明：直线的斜率为定值.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）由焦距得，再由三角形面积可得，从而求得，得椭圆方程．

（2）易知直线斜率存在，设直线：，即，

由对称性得直线，求出的坐标，然后计算斜率即可证．

【详解】

解：（1）由已知得，又，，∴．

所以椭圆的标准方程为.

（2）已知点，当直线斜率不存在时显然不满足题意，所以直线斜率存在，设直线：，即，由于直线关于直线对称，则直线，

设，

联立：得

（方程有一解是），同理

则

所以直线的斜率为定值.

【点睛】

本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的定值问题，解题方法是解析几何的基本方法：设出直线方程，求出交点坐标，计算直线斜率，证得结论．

22．设曲线过两点.为坐标原点.

（1）求曲线的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与曲线恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围.若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）存在；；弦的取值范围是.

【解析】（1）代入已知两点的坐标求得即得；

（2）先讨论切线斜率存在时的情形，设切线方程为，由切线与椭圆相交，求出满足的不等关系（），设交点为，由韦达定理得，由得间的等量关系，代入圆心到切线的距离公式得圆半径，从而得圆方程，然后说明此圆切线斜率不存在时也满足题设条件，接着求弦长，代入的关系化为的函数，同时把的关系代入得的范围，由函数知识求得取值范围．

【详解】

解：（1）由已知得：解得.所以曲线方程为.

（2）当切线斜率存在时，设切线方程为

联立得

，得

设

则

因为

所以

即

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离

即

所以圆的方程为：

特别地，当圆的切线斜率不存在时，也满足，所以这样的圆存在，方程为.

此时

所以

将代入得：

①当时，

②当时，，当时取等号

又，所以

③当斜率不存在时，

综上可知：，所以弦的取值范围是.

【点睛】

本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交，考查直线与圆的位置关系，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点为，由直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理得，把这个结论代入题中其他条件中求解或通过这个结论把问题转化为函数问题求解，本题旨在考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于难题．