2022届黑龙江省大庆实验中学高三上学期第一次月考数学（理）试题（含解析）

大庆实验中学实验二部2019级高（三）上学期10月份考试

数学（理科）试题

（考试时间：120分钟 满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.

【详解】因为，

，

因此，

故选：A.

2. 已知复数的共轭复数是，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设，则，代入原式，利用复数相等求出，进而可得答案.

【详解】设，则，

由可得：，

则，，

所以，

故选：A．

3. 下列关于函数的说法中，正确的是（    ）

A. 函数是奇函数 B. 其图象关于直线对称

C. 其图象关于点对称 D. 函数在区间上单调递增

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角函数的性质分别判断即可.

【详解】对A，为偶函数，故A错误；

对B，，故其图象不关于直线对称，故B错误；

对C，由知，，C正确；

对D，当时，，根据正弦函数的单调性可得D错误.

故选：C.

4. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先利用对数函数的换底公式，然后根据对数函数的单调性判断即可解得答案.

【详解】解：，，，根据对数函数的单调性故.

故选：B.

5. 若1，，，，4成等比数列，则（    ）

A. 16 B. 8 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据1，，，，4成等比数列，利用等比中项求解.

【详解】因为1，，，，4成等比数列，

，

，(负不合题意，奇数项符号相同)，

则，

故选：B.

6. 在圆内随机取一点P，则点P落在不等式组，表示的区域内的概率为 （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先由画出不等式表示的可行域，根据可行域的形状求出其面积，再求出圆的面积，最后根据几何概型公式求解即可.

【详解】根据不等式组，

如图做出点P的可行域:

由图可知：点P的可行域为等腰三角形，

所以,

圆的面积为，

由几何概型可知，

圆内随机取一点P，则点P落在不等式组表示的区域内的概率为：,

故选：C

【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.

7. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．

【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．

【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．

8. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用两角差的正弦、余弦公式化简，再利用诱导公式、二倍角公式求解即可.

【详解】

故选：D.

9. 不经过坐标原点的直线被曲线截得的弦的长度等于，则直线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由曲线方程可得到其圆心和半径，利用垂径定理可构造方程求得的值，从而得到直线方程，进而得到与坐标轴的交点坐标；根据直角三角形外心为斜边中点可求得所求的圆心坐标和半径，由此可得所求圆的方程.

【详解】曲线的方程可整理为：，则曲线为圆心为，半径为的圆；

圆心到直线的距离，，

解得：或，又不经过坐标原点，，即，

与坐标轴的交点坐标为，，

直线与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为中点，半径，

所求外接圆方程为，即.

故选：A.

【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：

（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；

（2）代数法，设直线与圆相交于，，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出结果.

10. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，的面积为，则（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦定理将转化为，然后利用三角函数恒等变换公式化简可得，再由的面积为，可求得，再利用余弦定理可求出的值

【详解】解：因为，

由正弦定理得，，

因为，

则，

所以

又，

所以，

则，即，

又，

则，故，

因为的面积为，

所以，解得①，

由余弦定理可得，，则②，

由①②可得，．

故选：C．

11. 给出下列命题：

①若的三条边所在直线分别交平面于三点，则三点共线；

②若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线是异面直线；

③若三条直线两两平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面；

④对于三条直线，若，，则.

其中所有真命题的序号是（    ）

A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②④

【答案】B

【解析】

【分析】根据平面的基本性质，以及空间中两直线的位置关系，逐项判定，即可求解.

【详解】对于①中，若的三条边所在直线分别交平面于三点，

可得且平面，所以三点必在两平面的交线上，

所以三点共线，所以①正确；

对于②中，若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线可能相交，平行或异面直线，所以②错误；

对于③中，若三条直线两两平行且分别交直线于三点，由公理3可得这四条直线共面，所以③正确；

对于④中，例如：若是过长方体一顶点的三条棱，则满足若，，此时与相交，所以④错误.

其中所有真命题的序号是①③.

故选：B.

12. 设函数在区间上的导函数为，记在区间上的导函数为.若函数在区间上为“凸函数”，则在区间上有恒成立.已知在上为“凸函数”，则实数k的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根据题中所给的函数解析式，对其求导，再求二阶导，根据题中所给的条件，得到则有在上恒成立，构造函数，利用导数求得其最小值，得到结果.

【详解】因为，所以，

，

要使在上为“凸函数”，

则有在上恒成立，即，

即在上恒成立，

令，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以k的取值范围是，

故选：A.

【点睛】思路点睛：该题属于新定义问题，在解题的过程中，注意：

（1）细读题文，理解题中所给的信息，明确凸函数的定义；

（2）根据定义，对所给的函数求导，再求二阶导，令二阶导小于零在给定区间上恒成立；

（3）构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，得到所求的结果.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知点在双曲线上，且C的焦距为4，则它的离心率为________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，得到和，联立方程组求得的值，结合离心率的定义，即可求解.

【详解】由点在双曲线上，可得，

又由双曲线C的焦距为，可得，则，

联立方程组，解得，所以双曲线的离心率为.

故答案为：.

14. 已知是方程的两根，则等于__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意得到，结合，即可求解.

【详解】由题意知是方程的两根，

可得，

所以.

故答案为：.

15. 若函数满足条件，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】由题可求函数的解析式，再利用均值不等式即得.

【详解】∵函数满足条件，

所以可得，

∴，

∴，

当且仅当即，时取等号.

故答案为：

16. 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．某校数学兴趣小组模仿杨辉三角制作了如下数表．

1    2    3    4    5    6    ...

  3    5    7    9    11   13   ...

    8    12   16   20    24   28  ...

...    ...    ...    ...    ...      ...

该数表的第一行是数列，第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和，则这个数表中第4行的第5个数为__________，各行的第一个数依次构成数列，则该数列的通项公式为__________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据从第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和，可得到第4行的第5个数的值，设各行的第一个数依次构成数列，通过观察可发现，通过构造等差数列可得数列的通项公式

【详解】解：因为从第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和，
所以第4行的第1个数为20，第2个数为28，第3个数为36，第4个数为44，第5个数为52，
设各行的第一个数依次构成数列，
观察可得，

等式两边同除得

则数列是公差为，首项为的等差数列，

故，整理得

故答案为：52；．

三、解答题（本大题共6小题，17-21每小题12分，22题10分，共70分）

17. 已知数列，满足，且是公差为1的等差数列，是公比为2的等比数列．

（1）求，的通项公式；

（2）求的前n项和．

【答案】（1），，；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据等差等比数列的基本量的计算即可得解；

（2）根据分组求和法进行求和即可.

【详解】（1）根据题意可得，

所以，

由，所以，

所以，

所以，，

（2）根据分组求和可得：

18. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于，平面，为的中点，点在上，．

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

【分析】（1）设交于，然后得出，进而得到∥，最后根据线面平行的判定定理得到答案；

（2）以为原点，OA，OB，OP分别为，，轴，建立空间直角坐标系，进而利用空间向量夹角公式求出二面角的余弦值.

【详解】（1）设交于，连结，因为，分别是，中点，则G为的重心，所以，易知O为AC的中点 ，所以．又因为，所以，所以∥，又因为平面，平面，所以∥平面．

（2）如图，以为原点，OA，OB，OP分别为，，轴，建立空间直角坐标系．

设．在菱形中，因为，所以是等边三角形，故．

又因为，平面，所以．

所以，，，，

所以，，，

设平面（即平面）的一个法向量为，由，取，则.

设平面PAB（即平面FAB）的一个法向量为，由，

取a=1，则.

所以．

由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．

19. 北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事．北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核．为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩得到的统计图表如下所示．

女志愿者考核成绩频率分布表

男志愿者考核成绩频率分布直方图

若参加这次考核的志愿者考核成绩在[90，100]内，则考核等级为优秀．

（1）分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；

（2）若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到女志愿者的人数为X，求X的分布列及期望．

【答案】（1）5；7；（2）分布列见解析；期望为．

【解析】

【分析】（1）根据频率分布表与直方图，即可得到结果；

（2）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3．求出相应的概率，得到分布列，从而得到期望.

【详解】解：（1）由女志愿者考核成绩的频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为．

因为，所以

所以这次培训考核等级为优秀的女志愿者人数为．

因为被抽取的志愿者人数是80，所以被抽取的男志愿者人数是．

由男志愿者考核成绩频率分布直方图可知男志愿者这次培训考核等级为优秀的频率为，

则这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为；

（2）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3．

，，

，

X的分布列为

故．

20. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且满足．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）存在；．

【解析】

【分析】（1）根据离心率和椭圆定义求出，则椭圆方程可得；

（2）假设存在点满足条件，设直线的方程为：，设，联立直线和椭圆方程 ，求出，代入计算即可.

【详解】解：（1）由已知得

得

所以椭圆的方程为；

（2）假设存在点满足条件，

设直线的方程为：，

当时，必有，可取任意值，

当时，设

联立：得

显然，，

因为，所以，即

即，解得

综上所述：存在点满足题意．

21. 已知函数，，且曲线和在原点处有相同的切线．

（1）求实数的值，并证明：当时，；

（2）令，且，证明：．

【答案】（1）；证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）求导可得，，因为曲线和在原点处有相同的切线，所以，解得，要证，即证，构造函数，求导利用单调性即可得证；

（2）要证故只需证，

构造函数，利用导数即可得证；

【详解】（1）由条件可得，且，．

因为曲线和在原点处有相同的切线，

所以，解得．     

要证，即证．

令，则，

再令，则，

所以在上单调递减， 

所以，

所以在上单调递减，         

故．

所以．

即成立．  

（2）由（1）可得当时，，

所以，即，

两边同除以，得，即．

要证，只需证，

又因为，

故只需证．

设，

则，

由于函数在区间上单调递增，

所以函数在区间上单调递减，而，

所以当时，恒成立，

所以在区间上单调递减． 

所以当时，，

故当且时，．

又，

所以当时，．

即，

所以，即成立．

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考差了不等式的证明，要求较高的逻辑推理能力和计算能力，属于难题.本题的关键点有：

（1）掌握导数研究函数的基本应用；

（2）通过对不等式的转化，构造函数，使得复杂的问题简单化.

22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于，两点．

（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；；（2）．

【解析】

【分析】（1）由公式化极坐标方程为直角坐标方程，用消参法化参数方程为普通方程；

（2）把直线的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，利用韦达定理及参数方程中的参数的几何意义求解．

【详解】（1）由得：，

∴曲线的直角坐标方程为：，

由消去得：，

∴直线的普通方程为：．

（2）直线的参数方程为（为参数），

代入，得到，

设，对应的参数分别为，，则，是方程的两个解，

由韦达定理得：，，

因为，所以，

解得．