2021省大庆实验中学高二10月月考数学（理）试题含答案

大庆实验中学2020—2021学年度高二上学期10月月考

                         数学（理科）试题

一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）

1. 设命题 ，则为（   ）

2．下面四个条件中，使成立的充分不必要条件是（   ）

3. 某班有学生人，现将所有学生按随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本（等距抽样），已知编号为号学生在样本中，则（   ）

4. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为 ，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（    ）

5. 连续抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之积为6的概率是（   ）

6. 关于曲线，给出下列五个命题：

①曲线关于轴对称；②曲线关于轴对称；③曲线关于对称；

④曲线关于原点对称；⑤曲线所围成的区域面积大于

其中正确的命题个数为（   ）    

7. 某学校随机抽查了本校20个学生，调查他们平均每天进行体育锻炼的时间（单位：min），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[0，5），[5，10），…，[35，40]，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是(    )

8. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为:“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（   ）

甲地：总体平均值为3，中位数为4    乙地：总体平均值为1，总体方差大于0

丙地：中位数为2，众数为3           丁地：总体均值为2，总体方差为2

9. 定义 ，在区域 内任取一点 ，则点满足 的概率为（   ）

10．已知点，，若圆上存在点M满足 ，则实数的值不可以为（    ）     

11. 若椭圆或双曲线上存在点 ,使得点到两个焦点 的距离之比为 ，且存在 ,则称此椭圆或双曲线存在 ，下列曲线中存在的是（   ）

12.设点为椭圆 上的动点（除左右顶点外），椭圆的焦点为，离心率为，为的内心，则直线和直线的斜率之积为（   ）

二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）

13.是两个平面，是三条直线，有下列四个命题：

①若 ，则 .   ②若 则 .

③若 ，则 ④若 则与所成的角和与所成的角相等.    其中正确的命题有

14．已知双曲线 ,则其渐近线方程为

15.如图，在梯形中，已知 , ,双曲线过三点，且以 为焦点，则双曲线的离心率为_____________.

16.已知椭圆 内一点 ,过点的两条直线 分别与椭圆交于和 两点，且满足 （其中 ）,若变化时直线的斜率总为， 则椭圆的离心率为__________.

三、解答题（共6道题，第17题10分，其余5道题各12分，共70分）

17.设 已知命题 函数 有零点；命题 ， .若为真命题，求实数的取值范围.

18．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，算出，

附：线性回归方程，，，其中为样本平均值.

（1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程 ；

（2）若该居民区某家庭月收入为9千元，预测该家庭的月储蓄.

19.为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法知识竞赛.统计局调查队随机抽取了甲、乙两单位中各5名职工的成绩，成绩如下表所示：

（1）根据表中的数据，分别求出甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断对法律知识的掌握哪个单位更为稳定？

（2）用简单随机抽样的方法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的分数差值至少是4分的概率.

20.已知椭圆 的半焦距为，原点到经过两点 的直线的距离为,椭圆的长轴长为

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于 两点，线段的中点为，求弦长

21.已知椭圆 的左右焦点分别是 ， ,点为椭圆短轴的端点，且的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）点 是椭圆上的一点，是椭圆上的两动点，且直线关于

直线对称，试证明：直线的斜率为定值.

22.设曲线 过 两点.为坐标原点.

（1）求曲线的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与曲线恒有两个交点，且 ？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围.若不存在，说明理由.

大庆实验中学2020—2021学年度高二上学期10月月考

                             数学试题

一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）

1.设命题 ，则 为（ A ）

2．下面四个条件中，使成立的充分不必要条件是（ D  ）

3.某班有学生人，现将所有学生按 随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本（等距抽样），已知编号为号学生在样本中，则（ C ）  

4.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为 ，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为 ，面积为 ，则椭圆的的标准方程为（ A   ）

5.连续抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之积为6的概率是（A  ）

6.关于曲线，给出下列五个命题：

①曲线关于轴对称；②曲线关于轴对称；③曲线关于对称；

④曲线关于原点对称；⑤曲线所围成的区域面积大于

其中正确的个数为（ C  ）

7. 某学校随机抽查了本校20个学生，调查他们平均每天进行体育锻炼的时间（单位：min），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[0，5），[5，10），…，[35，40]，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是( B  )

8.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（  D ）

甲地：总体平均值为3，中位数为4

乙地：总体平均值为1，总体方差大于0

丙地：中位数为2，众数为3

丁地：总体均值为2，总体方差为2

9.定义 ，在区域 内任取一点 ，则点满足 的概率为（ B  ）

10．已知点，，若圆上存在点M满足 ，则实数的值不可以为（  D  ）

11. 若椭圆或双曲线上存在点 ,使得点到两个焦点 的距离之比为 ，且存在 ,则称此椭圆或双曲线存在 ，下列曲线中存在的是（ C  ）

12.设点为椭圆 上的动点（除左右顶点外），为椭圆的焦点为，离心率为，为的内心，则直线和直线的斜率之积为（ B ）

二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）

13.是两个平面，是三条直线，有下列四个命题：

①若 ，则 ；

②若 则

③若 ，则

④若 则与所成的角和与所成的角相等.

其中正确的命题有 ①④

14．已知双曲线 ,则其渐近线方程为：

15.如图，在梯形中，已知 , ,双曲线过三点，且以 为焦点，则双曲线的离心率为_____________.

16.已知椭圆 内一点 ,过点的两条直线 分别与椭圆交于和 两点，且满足 （其中 ）,若变化时直线的斜率总为， 则椭圆的离心率为__________.

三、解答题（共6道题，第17题10分，其余5道题各12分，共70分）

17.设 已知命题 函数 有零点；命题 ， .若为真命题，求实数的取值范围.

解： ，解得

令 ，则 ，当时取等号.则 .

因为 为真命题，所以 均为真命题

即 得

所以的取值范围为

18．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄，（单位：千元）的数据资料，算出，附：线性回归方程，其中为样本平均值.

（1）求家庭的月储蓄 对月收入的线性回归方程 ；

（2）若该居民区某家庭月收入为9千元，预测该家庭的月储蓄.

解：（1）由题意知， ，

∴

由.

故所求回归方程为

（2）将 代入回归方程

可以预测该家庭的月储蓄为 （千元）.

19.为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法知识竞赛.统计局调查队随机抽取了甲、乙两单位中各5名职工的成绩，成绩如下表所示：

（1）根据表中的数据，分别求出甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断对法律知识的掌握哪个单位更为稳定？

（2）用简单随机抽样的方法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的分数差值至少是4分的概率.

解：（1） ，  

因为 ，所以甲单位更为稳定.

（2）从5名职工中任取2人，所有的取法有：

共10种

设抽取的2名职工的分数差值至少是4分为时间 ,则中包含的基本结果有：

共6种

所以

即抽取的2名职工的分数差值至少是4分的概率为

20.已知椭圆 的半焦距为，原点到经过两点 的直线的距离为,椭圆的长轴长为

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于 两点，线段的中点为，求弦长

解：（1）经过两点 的直线为： 即 .

由已知：原点到直线的距离 即

因为 ，所以

所以椭圆的标准方程为：

（2）当直线斜率不存在时，线段的中点在轴上 ，不合题意.所以直线的斜率存在，设为，则直线 即为：

设

联立  得：

显然

则 ，解得

则

所以

（注：用点差法求斜率也可）

21.已知椭圆 的左右焦点分别是 ， ,点为椭圆短轴的端点，且的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）点 是椭圆上的一点，是椭圆上的两动点，且直线关于直线对称，试证明：直线的斜率为定值.

解：（1）由已知得 ，又 ,所以

所以椭圆的标准方程为 .

（2）已知点 ,当直线斜率不存在时显然不满足题意，所以直线斜率存在.

设直线 : ，即 ，

由于直线关于直线对称，则直线

设 ，

联立： 得

则 ，同理

则

所以直线的斜率为定值.

22.设曲线 过 两点.为坐标原点.

（1）求曲线的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与曲线恒有两个交点，且 ？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围.若不存在，说明理由.

解：（1）由已知得： 解得  .所以曲线方程为 .

（2）当切线斜率存在时，设切线方程为

联立 得

，得

设

则

因为

所以

即

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离

即 

所以圆的方程为：

特别地，当圆的切线斜率不存在时，也满足，所以这样的圆存在，方程为.

此时

所以

将 代入 得：

①当时，

②当 时， 当时取等号

又 ,所以

③当斜率不存在时，

综上可知： ,所以弦的取值范围是 .