2021届黑龙江省大庆实验中学高三月考（二）数学（文）试题（含解析）

2021届黑龙江省大庆实验中学高三月考（二）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，若，则

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由可知，进而可求得集合，即可求得.

【详解】集合，，，

则，所以，

则，

故选：C.

【点睛】本题考查了元素与集合关系，根据交集运算结果得集合，集合并集的简单运算，属于基础题.

2．复数z的共轭复数满足，则z＝（    ）

A．2+i B．2﹣i C．l+2i D．1﹣2i

【答案】A

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得，再由共轭复数的概念得答案.

【详解】由5，得，

∴z＝2+i.

故选：A.

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，是基础题.

3．在等差数列{an}中，前n项和Sn满足S8﹣S3＝45，则a6的值是（    ）

A．3 B．5 C．7 D．9

【答案】D

【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解.

【详解】因为S8﹣S3＝a4+a5+a6+a7+a8＝45，

由等差数列的性质可得，5a6＝45，

则a6＝9.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题.

4．已知函数，，若，，，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先根据函数的奇偶性，判断函数为偶函数，再根据偶函数的性质及单调性，即可得答案；

【详解】解：依题意，有，

则为奇函数，且在上单调递增，

所以为偶函数．

当时，有，

任取，则，

由不等式的性质可得，

即，

所以函数在上递增，

因此，．

∴ ，

故选：C.

【点睛】本题考查偶函数的性质及利用函数的单调性比较大小，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由两角差的正弦公式展开，利用平方的方法化简已知条件，由此求得的值．

【详解】由，得，

两边平方并化简得，，解得

故选：C

【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题．

6．已知正的边长为4，点为边的中点，点满足，那么的值为（　　）

A． B． C．1 D．3

【答案】B

【分析】由二倍角公式得求得tan∠BED，即可求得cos∠BEC，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．

【详解】

由已知可得：EB=EC= ，

又

所以

所以

故选B．

【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．

7．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（　　）

A．32 B．40 C． D．

【答案】C

【分析】将三视图还原，即可求组合体体积

【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得

故选C

【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题

8．函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】研究函数的定义域和奇偶性，用排除法求解．

【详解】函数的定义域是，排除BD，

又，即函数为奇函数．排除A．

故选：C.

【点睛】本题考查由函数解析式选取函数图象．这类问题可研究函数的性质，求定义域，值域，研究奇偶性，单调性，对称性等，研究特殊值，特殊点（如顶点，与坐标轴交点），函数值的正负，变化趋势等，采取排除法．

9．将不超过实数的最大整数记为，函数为上的奇函数，当时，，则（    ）

A．2 B．1 C．-2 D．-1

【答案】C

【分析】因为，所以，再取整即可得解.

【详解】因为，所以根据奇函数性质可得：

，

所以，

故选C

【点睛】本题考查了奇偶性及对数的运算，考查了高斯函数，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.

10．已知，现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若两函数与图象的对称中心完全相同，则满足题意的的个数为（    ）

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】B

【分析】首先化简，可得：，因为为奇函数，若要两函数与图象的对称中心完全相同，则为奇函数，又因为的周期为，故周期为，从这两方面即可得解.

【详解】依题化简得：，根据正余弦曲线与正切曲线的图象性质，欲使得两函数图象对称中心一致，须为奇函数，且只能为，有如图的两类情况．

【点睛】本题考查了三角函数的化简和平移，考查了考查了正、余弦函数及正切函数的中心对称，考查三角函数的图像与性质，属于较难题.

11．已知双曲线的两顶点分别为，，为双曲线的一个焦点，为虚轴的一个端点，若在线段（不含端点）上存在两点，，使得，则双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，先求得直线的方程，由在线段（不含端点）上存在两点，，使得可得线段与以为直径的圆相交，即可求得；再根据即可得双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围.

【详解】双曲线，为双曲线的一个焦点，为虚轴的一个端点，

不妨设，

则直线的方程为，

因为在线段（不含端点）上存在两点，，使得，

所以线段与以为直径的圆相交，即，

化简可得，

双曲线中满足，代入上述不等式可得，

则，

由在线段（不含端点）上存在两点，，使得可知，

所以，即双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围为，

故选：A.

【点睛】本题考查了双曲线几何性质的简单应用，渐近线斜率取值范围的应用，直线与圆位置关系的判断及应用，属于中档题.

12．设函数在内有意义，对于给定的正数，已知函数，取函数，若对任意的，恒有，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的新定义建立函数与之间的关系，根据二者相等得出实数满足的条件，对函数求导，判断单调性求解最值，从而得的取值范围.

【详解】由题意知函数，对任意，恒有，所以，因为，令，得；令，得；所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得最大值，且，所以.

故选：B.

【点睛】导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．

二、填空题

13．在半径为2的圆上有，两点，且，在该圆上任取一点，则使得为锐角三角形的概率为________.

【答案】

【分析】如图，当点P在劣弧CD上运动时，为锐角三角形.求出劣弧CD的长，再利用几何概型的概率公式求解.

【详解】

如图，四边形ABCD是矩形，当点P在劣弧CD上运动时，为锐角三角形.

由于OD=OC=CD=2，所以,

所以劣弧CD的长为，

由几何概型的概率公式得.

故答案为：

【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14．在数列中，，且，则___________.

【答案】

【分析】由，，得到且，得出数列构成以为首项，以为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.

【详解】由，可得，

又由，可得，所以，

所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列，

所以.

故答案为：.

15．如图，三棱锥，，，两两垂直，，，，点为三棱锥外接球的球心，则与所成角的大小为______．

【答案】

【分析】根据题意可将三棱锥补全为一个长方体，通过平移可将两一面置于一个三角形内，解三角形，即可得解.

【详解】如图，将三棱锥补为长方体，易知其外接球的球心在长方体体对角线的中点，与所成角即为，在中，易求，，，则与所成角的大小为．

【点睛】本题考查了异面直线所成角问题，考查了割补法，考查了空间想象能力和转化思想，属于较难题.

16．设，分别为椭圆：的左、右焦点，为内一点，为上任意一点.现有四个结论：

①的焦距为2；

②的长轴长可能为；

③的最大值为；

④若的最小值为3，则.

其中所有正确结论的编号是__________.

【答案】①③④

【分析】利用椭圆的定义和几何性质及点与椭圆的位置关系进行逐项判断即可.

【详解】对于选项①：因为,所以椭圆的焦距为2，故选项①正确；

对于选项②：若椭圆的长轴长为，则，所以椭圆的方程为，

则，从而点在的外部，这与在内矛盾，所以选项②不正确.

对于选项③：因为，为上任意一点，由椭圆的几何性质可知，的最大值为，故选项③正确；

对于选项④：由椭圆定义可知，，

因为，所以，

所以，此时，故选项④正确；

故答案为：①③④

【点睛】本题考查椭圆的定义和几何性质及点与椭圆的位置关系；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握椭圆的定义和几何性质是求解本题的关键；属于中档题.

三、解答题

17．已知等差数列中，公差，其前项和为，，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式及前项和；

（2）令，，求的最大值．

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）由等差数列的通项公式，列方程组，即可求出结果.

（2）代入可得，利用基本不等式，找到取最小值的n即可，即可求出结果

【详解】（1）已知等差数列中，公差，其前项和为，

，则：①，

由于：，，成等比数列．所以：②，

由①②得：，，所以：，．

（2）已知：，则：，

，

由于：，所以当时，取最小值，

函数的最大值为：．

18．如图所示的五面体中，四边形是正方形，平面平面，，.

（1）证明：平面面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理可证明平面，可得，结合，可证明平面，再利用面面垂直的判断定理即可证明；

（2）由（1）知平面，可证明平面，再证明平面，

可得即可求解.

【详解】

（1）取的中点，连接.

因为，，所以是等边三角形，

又因为平面平面，且平面平面，平面，

所以平面，所以.

因为四边形是正方形，所以，

所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）由（1）知平面.

又，所以平面，

因为平面，平面，可得平面，

因为平面平面，平面，所以

又因为平面，平面，所以平面，

所以，

所以，

所以三棱锥的体积为.

【点睛】方法点睛：证明面面垂直的方法

（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可；

（2）利用性质：（客观题常用）；

（3）面面垂直的定义（不常用）；

（4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于.

19．某企业销售部门为了解员工的销售能力，设计了关于销售的问卷调查表，从该部门现有员工中性别(男生占45%)分层抽取n名进行问卷调查，得分分为1，2，3，4，5五个档次，各档次中参与问卷调查的员工的人数如条形图所示，已知第5档员工的人数占总人数的.

（1）（i）求n与a的值；

（ii）若将某员工得分所在的档次作为该员工的销售能力基数(记销售能力基数为能力基数高，其他均为能力基数不高).在销售能力基数为5的员工中，女生与男生的比例为7∶3，以抽的n名员工为研究对象，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为销售能力基数高不高与性别有关.

（2）为提高员工的销售能力，部门组织员工参加各种形式的培训讲座，经过培训，每位员工的营销能力指数y与销售能力基数以及参加培训的次数t满足函数关系式.如果员工甲的销售能力基数为4，员工乙的销售能力基数为2，则在甲不参加培训的情况下，乙至少需要参加多少次培训，其营销能力指数才能超过甲？

参考数据及参考公式：，

附：，其中.

【答案】（1）（i）；（ii）列联表答案见解析，没有90%的把握认为销售能力基数高不高与性别有关；（2）乙至少需要参加17次培训，其营销能力指数才能超过甲.

【分析】（1）（i）根据题意，列方程求出n、a的值；
（ii）根据题意，填写列联表，计算出K2，对照临界值表即可得出结论；
（2）计算员工甲的学习能力以及员工乙在参加了t次学习方法课程后的学习能力，建立不等式即可求解．

【详解】解：（1）（i）由题意，可得，所以；

（ii）列联表如表所示：

∴，

所以没有90%的把握认为销售能力基数高不高与性别有关；

（2）员工甲不参加培训的营销能力指数，

员工乙参加t次培训后的营销能力指数，

由已知得，则，

所以乙至少需要参加17次培训，其营销能力指数才能超过甲.

20．已知椭圆的一个焦点为，且离心率为．

(1)求椭圆方程；

(2)斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于A,B两点，P为直线x=3上的一点，

若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．

【答案】(1) .

(2) 或.

【详解】分析：（1）列方程组求出a和b即得椭圆的方程.(2) 设直线的方程为，根据△ABP为等边三角形求出k的值，即得直线的方程.

详解：（1）由已知 ，，可得，，

所以椭圆的方程为 .

（2）设直线的方程为，直线与椭圆交点坐标为，,

整理为,

所以

所以.

设AB的中点可得，则直线MP的斜率为，

所以，

因为△ABP为等边三角形，

，所以.

解为，，

所以直线的方程为或.

点睛：（1）本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力、分析推理能力和计算能力.(2)解答本题的关键是求k,本题是根据等边三角形得到找到k的方程的，当然先要求出|AB|和|MP|.计算量比较大.

21．已知函数，，.

（1）若，证明：当时，；

（2）讨论在上零点的个数.

【答案】（1）证明见解析；（2）当时，在上有1个零点；当时，在上有2个零点.

【分析】（1）作差，令，利用导数证明当，有即可；

（2）对于，求出，对a讨论，利用零点存在定理讨论零点个数.

【详解】解：（1）令，所以

当时，，，所以.

所以在上单调递增.

当，有，

∴在上恒成立.

（2）.所以，

设，，

①当时，因为，所以，而，

所以，即恒成立，所以零点个数为1个.

②当时，，所以在上递增，而，所以，所以在上递增，

因为，所以是唯一零点，此时零点个数为1个.

③当时，，所以在上递增，而，，所以存在，有，

所以当时，单调递减，当时，单调递增，

所以当时，取得最小值，而，，

又因为图象是连续不间断的，由零点存在性定理知，

在上有唯一零点，又因为也是零点，

所以在上有2个零点.

综上：当时，在上有1个零点；

当时，在上有2个零点.

【点睛】（1）利用导数证明不等式的解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，解题关键是如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数；

（2）研究函数零点(方程有根) 的常用方法：

①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

③数形结合法：研究单调性，利用零点存在定理判断．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）直接写出曲线的普通方程；

（2）设是曲线上的动点，是曲线上的动点，求的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）利用互化公式即可将曲线的极坐标方程化成普通方程；

（2）消去参数，求出曲线的普通方程为，从而得出的参数方程，由题可知，，设，利用两点间的距离公式求出，运用二次函数的性质求出，从而得出的最大值．

【详解】解：（1）曲线的普通方程为

（2）由曲线的参数方程为（为参数），

得曲线的普通方程为，

它是一个以为圆心，半径等于的圆，

曲线的极坐标方程为．

，可得

则曲线的参数方程为：（为参数），

是曲线上的点，是曲线上的点，

设，则，

当时，，

【点睛】思路点睛：利用消参法将参数方程化为普通方程，运用曲线的参数方程表示点坐标，以及结合两点间的距离和二次函数的性质，求出距离最值．

23．已知函数.

（1）若，求不等式的解集；

（2）已知，若对任意，都存在，，使得，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题意可得，分类讨论当， ，时的情况，进而可得结果.

（2）由含有绝对值不等式的性质可得，由基本不等式可得

即，时等号成立，进而可得结果.

【详解】（1）当时，不等式即为①

当时，①化为无解，

当时，①化为，从而

当时，①化为无解

∴原不等式的解集为

（2）

当且仅当，即，时等号成立

∴，

∴或，

∴的取值范围为