2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二10月月考数学（文）试题（解析版）

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二10月月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知圆的方程为，则它的圆心坐标和半径的长分别是（    ）

A．(2，0)，5 B．(2，0)，

C．(2，0)， D．(0，2)，

【答案】B

【解析】把圆方程配方成标准方程后可得．

【详解】

由题意圆的标准方程是，圆心坐标是，半径是．

故选：B．

【点睛】

本题考查求圆心坐标和半径，解题方法把圆的一般方程配方成标准方程．

2．已知两点分别为，则所在直线的斜率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【解析】利用两点求斜率公式即可求解.

【详解】

由，

则.

故选：A

【点睛】

本题考查了两点求斜率，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

3．已知椭圆C：1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由焦点坐标确定长半轴长是，利用关系求得，再计算离心率．

【详解】

椭圆C：1的一个焦点为(2，0)，

可得a2﹣4＝4，解得a＝2，

∵c＝2，∴e．

故选：C．

【点睛】

本题考查求椭圆的离心率，掌握的关系是解题基础．

4．已知双曲线的一条渐近线倾斜角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果.

【详解】

由双曲线方程可知：，渐近线方程为：，

一条渐近线的倾斜角为，，解得：.

故选：D

【点睛】

本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于的范围的要求.

5．若直线和直线互相垂直，则(    )

A．或 B．3或1 C．或1 D．或3

【答案】C

【解析】直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可.

【详解】

因为直线和直线互相垂直，

所以，

解方程可得或，故选C.

【点睛】

本题主要考查直线与直线垂直的充要条件，属于基础题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） （）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.

6．已知是圆：上的动点，则点到直线：的距离的最小值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【解析】先利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再用此距离减去半径，即得所求.

【详解】

解：因为圆：的圆心到直线：的距离

，且圆的半径等于，

故圆上的点到直线的最小距离为

故选：

【点睛】

本题考查圆上的点到直线的距离的最值问题，属于基础题.

7．设点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】求出直线经过的定点，作出图象，利用图象求得斜率满足的条件，由此解出答案．

【详解】

解：∵直线过定点，且，，

由图可知直线与线段没有交点时，斜率满足，

解得，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查斜率的计算公式的应用，考查数形结合思想，属于基础题．

8．已知椭圆C与双曲线的焦点相同，且椭圆C上任意一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆C的离心率等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据条件求出即可.

【详解】

因为椭圆C上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以，即

因为椭圆C与双曲线的焦点相同，，即

所以

故选：C

【点睛】

本题考查的是椭圆和双曲线的基本知识，较简单.

9．圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，其方程为，即；故选A.

【点睛】本题考查圆的一般方程、两圆的相交弦问题；处理直线和圆、圆和圆的位置关系时，往往结合平面几何知识（如本题中，求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程）可减小运算量.

10．一动圆P过定点，且与已知圆相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】分两圆内切和外切两种情况进行讨论可得，结合双曲线的定义可求出其圆心的轨迹方程.

【详解】

由已知得，当两圆内切时，定圆N在动圆P的内部，有；

当两圆外切时有，故，由双曲线的定义知，

点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线，且，所以，

故圆心P的轨迹方程为.

故选：C

【点睛】

本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线轨迹方程的求解，考查了两圆相切问题，属于基础题.

11．已知双曲线在两条渐近线所构成的角中，设以实轴为角平分线的角为，若 的取值范围是则该双曲线离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题目条件得：，进而得到：，进一步得到答案.

【详解】

∵，

∴，，

∴，，，

∴，

∴．

故选：B．

【点睛】

本题考查双曲线离心率的知识点，属于常见的基础题型.

12．已知点是双曲线，的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】求出通径长，由题意可得，直角三角形中，，解不等式即可.

【详解】

∵直线过焦点且垂直于轴，

即通径长，显然，

即，，易知右顶点，

而是锐角三角形，故.

根据对称性即，

在直角三角形中，，

，解得.

故选：A.

【点睛】

本题主要目的考查的是考生应用双曲线相关知识解决问题的能力及解题过程中的逻辑推理能力和运算求解能力和综合应用知识的能力，试题以通性通法为基础，为不同能力水平的考生提供了研究空间，突出了选拔功能，属于基础题.

二、填空题

13．直线关于点对称的直线方程为____________.

【答案】

【解析】在对称的直线方程上任取一点，根据点对称性可得在直线上，代入即可求解.

【详解】

设直线关于点对称的直线方程为，

在上任取一点，

则点关于点对称的点的坐标为，

由题意可知点在直线上，

故，整理可得.

故答案为：

【点睛】

本题考查了直线关于点对称问题，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

14．已知椭圆与轴交点为，在曲线上且，则________

【答案】

【解析】设根据已知求出即得解.

【详解】

设由题得，

由余弦定理得，

两式相减得，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查椭圆的定义，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15．已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于__________.

【答案】6

【解析】利用双曲线的性质，得到，代入所求式子，结合两点距离直线最短原理，计算最小值，即可．

【详解】

结合题意，绘制图像：

根据双曲线的性质可知，得到，所以

，而，所以

，所以最小值为6.

【点睛】

本道题考查了双曲线的性质，考查了两点距离公式，难度中等．

16．已知为双曲线：上一点，为坐标原点，，为曲线左右焦点.若，且满足，则双曲线的离心率为___.

【答案】

【解析】由知为外接圆的圆心，即有，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到.

【详解】

，

为外接圆的圆心，

，

又，

，

由双曲线定义可知，

解得，

由

即

即有

所以

故答案为：

【点睛】

本题主要考查双曲线的定义和性质，考查勾股定理的运用，运用平面几何中直径所对的圆周角为直角是解题的关键，属于难题.

三、解答题

17．已知两直线和.

（1）求与交点坐标；

（2）求此交点关于直线的点坐标.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）联立两条直线的方程可得：，解得，．

（2）根据对称点连线垂直对称直线、对称点连线中点在对称直线上列方程组，解得结果．

【详解】

解：（1）联立两条直线的方程可得：

解得，

所以与交点坐标是．

（2）设关于直线的点坐标为

即关于直线的点坐标为．

【点睛】

解决此类问题的方法是联立两条直线的方程进行计算，列方程组解对称点坐标．属于基础题．

18．已知圆心为的圆经过点三个点.

（1）求的面积；

（2）求圆的方程.

【答案】（1）3；（2）.

【解析】（1）求出，写出直线方程，求出到直线的距离，可得面积；

（2）设圆的一般方程为，代入三点为坐标，求出，得圆一般方程，可配方得标准方程．

【详解】

（1）由已知，

直线方程为，即，到直线的距离为，

∴；

（2）设圆的一般方程为，

∵圆过三个点.，

∴，解得，

∴圆方程为，即．

【点睛】

本题考查求三角形面积，求过三点的圆的方程．求过三点圆方程，一般可设圆的一般方程，代入三点坐标后解方程组即可，本题也可先证明，得圆心是中点，再求得半径即可得圆方程．

19．已知是椭圆上的一动点.

（1）定点，求的最小值；

（2）求到直线距离的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设，直接求出，然后由函数知识得最小值．

（2）设，求出点到直线的距离，结合三角函数的辅助角公式可得最大值．

【详解】

（1）设，在椭圆上，∴，．

∴，

∴时，；

（2）在椭圆上，设，

则到直线距离为，其中，取锐角．

∴当时，．

【点睛】

本题考查考查求椭圆上点到定点的距离的最值，及到定直线的距离的最值，设出点的坐标，求出距离，再由函数知识知识求解即可．

20．已知椭圆C：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.

（1）椭圆C的方程；

（2）设直线l：交椭圆C于A，B两点，且，求m的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离可知，进而利用离心率的值计算即得结论；

（2）设，联立直线与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出.

【详解】

解：（1）由题意可得，

解得：，，

椭圆C的方程为；

（2）设，

联立，

得，

，，

，

解得.

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程及其性质､韦达定理､弦长公式，属于中档题.

21．设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为,到直线的距离为.

（1）求椭圆的焦距；

（2）如果，求椭圆的方程.

【答案】（1）4；（2）.

【解析】（1）由题意可设直线的方程为，再利用点到直线的距离公式即可求解.

（2）由（1）可得，联立方程消，求出两交点的纵坐标，再由得出两交点纵坐标的关系即可求解.

【详解】

（1）由题意可得：直线的方程为，

到直线的距离为，

，解得，

椭圆的焦距.

（2）由（1）可得，

设，，，，

联立，整理可得

，

解得，，

因为，所以，

即，解得，

又，故，

故椭圆的方程为.

【点睛】

本题考查了椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系，此题要求有较高的计算求解能力，属于中档题.

22．已知椭圆的离心率为，，，，的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过右焦点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，，两点，若直线，的斜率分别为，，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

【答案】（1）；（2）为定值，理由见解析

【解析】（1）结合椭圆离心率、的面积、列方程组，解方程组求得，由此求得椭圆的标准方程.

（2）当直线斜率不存在时，求得两点的坐标，由此求得直线的方程，进而求得两点的坐标，由此求得，，求得.当直线斜率存在时，设直线方程为，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，求得直线的方程，进而求得两点的坐标，由此求得，，结合韦达定理计算.由此证得为定值.

【详解】

（1）由题意得，

解得，

所以椭圆的方程为.

（2）由（1）知，，

①当直线斜率不存在时，直线方程为，

联立，得，

不防设，，

则直线方程为，

令，得，则，

此时，，

同理，

所以，

②当直线斜率存在时，设直线方程为，

联立，得，

设，，

则，，

直线方程为，

令，得，则，

同理，

所以，，

所以

综上所述，为定值.

【点睛】

本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系数关系，考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.