2020-2021学年山东省济南市高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年山东省济南市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．下列集合与集合相等的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】本题可根据集合相等的相关性质解题.

【详解】A项不是集合，B项与D项中的集合是由点坐标组成，

C项：，即，解得或，

集合即集合，

因为若两个集合相等，则这两个集合中的元素相同，

所以与集合相等的是集合，

故选：C.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】本题可根据特称命题的否定是全称命题得出结果.

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，

所以命题“，”的否定是“，”，

故选：C.

3．“是锐角”是“是第一象限角”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据锐角与象限角的概念及充分条件、必要条件求解.

【详解】因为是锐角能推出是第一象限角，

但是反之不成立，例如是第一象限角，但不是锐角，

所以“是锐角”是“是第一象限角”的充分不必要条件，

故选：A

4．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由诱导公式及两角和的正弦公式求解.

【详解】

,

故选：B

5．已知，若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】本题首先可根据将、、依次转化为、、，然后通过的单调性即可得出结果.

【详解】因为，

所以，，，

因为是单调递增函数，

所以，即，

故选：D.

6．要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】A

【分析】本题可根据三角函数的图像变换得出结果.

【详解】因为，

所以将函数向左平移个单位长度，即可得到函数的图像，

故选：A.

7．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征，如函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先根据函数的奇偶性排除2个，再根据函数的特殊值区分即可.

【详解】因为的定义域为R，关于原点对称，

且，

所以是奇函数，

故排除A,B,

当时，，故排除C,

故选：D

8．质数也叫素数，17世纪法国数学家马林·梅森曾对“”(p是素数)型素数作过较为系统而深入的研究，因此数学界将“”(p是素数)形式的素数称为梅森素数.已知第12个梅森素数为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为(参考数据：)（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】取，再两边取对数可得与最接近的数.

【详解】，取，则

，

故选:C

二、多选题

9．若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则a的取值为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】BCD

【分析】根据对称轴和区间的关系可得，结合条件可得解.

【详解】由知对称轴为，

函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以，即，

又， 所以.

故选：BCD

10．若，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】利用不等式的性质可判断ABC，取特殊值可判断D选项.

【详解】选项A：因为，所以，不等式两侧同时乘以，所以，故A正确；

选项B：因为，所以，所以，即，又，所以不等式两侧同时乘以，则，故B正确；

选项C：因为，所以，根据不等式的同向可加性知，故C正确；

选项D：当，时，此时，，故D错误.

故选：ABC

11．下列说法中正确的是（    ）

A．函数是偶函数

B．存在实数，使

C．直线是函数图象的一条对称轴

D．若，都是第一象限角，且，则

【答案】AC

【分析】A选项，根据诱导公式，以及余弦函数的奇偶性，可判断A正确；

B选项，根据二倍角公式，结合正弦函数的性质，可判断B错；

C选项，将代入解析式验证，即可判断C正确；

D选项，根据特殊值法，可判断D错.

【详解】A选项，显然是偶函数，即A正确；

B选项，因为，所以不存在实数，使，即B错；

C选项，当时，，所以直线是函数图象的一条对称轴，即C正确；

D选项，若，，满足，都是第一象限角，且，但，，故D错；

故选：AC.

12．已知定义域为R的奇函数，当时，下列说法中正确的是（    ）

A．当时，恒有

B．若当时，的最小值为，则m的取值范围为

C．不存在实数k，使函数有5个不相等的零点

D．若关于x的方程所有实数根之和为0，则

【答案】BC

【分析】根据函数的奇偶性及时的解析式作出函数的图象，结合图象可判断AB选项，联立与可判断相切时切点横坐标为1，当，时最多一个交点，可判断C，根据函数奇偶性与对称性判断D．

【详解】当时，且为R上的奇函数，

作函数f（x）的图象如图：

对于A，当时，函数f（x）不是单调递减函数，则f（x1）＞f（x2）不成立，故A不正确；

对于B，令，解得，由图象可知，当时，的最小值为，则，故B正确；

对于C，联立，得，

△＝（k+1）2﹣4＝k2+2k﹣3=0，存在，使得△=0，此时,可知最多有3个不同的交点，

∴不存在实数k，使关于x的方程f（x）＝kx有5个不相等的实数根，故C正确；

对于D，由 可得或，

∵函数f（x）是奇函数，若关于x的两个方程与所有根的和为0，

∴函数的根与根关于原点对称，则，

但x＞0时，方程有2个根，分别为，两根之和为，

若关于x的两个方程与所有根的和为0，

则的根为，此时 ，故D错误.

故选：BC

【点睛】关键点点睛：利用奇函数的对称性得出函数的图象是解决本题的关键所在，结合函数的单调性，函数值的变换，函数图象的交点，利用数形结合解决问题，属于难题.

三、填空题

13．的值为_______.

【答案】5

【分析】根据指数幂的运算法则及对数的运算法则求解.

【详解】，

故答案为：5

14．函数的部分图象如图所示，则的值为_______.

【答案】

【分析】首先根据图象的最值，求，再由图象判断函数的周期，求，最后根据最大值点求，求得函数的解析式后，再代入求值.

【详解】由图象可知函数的最大值是2，所以，

并且，解得：，

当时，，解得，,

，，

所以，.

故答案为：

15．已知函数为定义在上的奇函数，对任意都有，当时，，则的值为_______.

【答案】

【分析】本题首先可根据得出函数是周期为的周期函数，则，然后根据函数是奇函数得出，最后根据当时求出的值，即可得出结果.

【详解】因为，所以，

即，函数是周期为的周期函数，

则，，

因为函数为定义在上的奇函数，所以，

因为当时，所以，

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数周期性的判断与应用，考查函数奇偶性的应用，若函数满足，则函数是周期为的周期函数，奇函数满足，考查化归与转化思想，是中档题.

16．设函数的定义城为D，如果存在正实数k，使对任意的，都有，且恒成立，则称函数为D上的“k型增函数”.已知是定义在R上的奇函数，且当时，，若为R上的“2021型增函数”，则实数a的取值范围是________.

【答案】

【分析】分与，先做出函数在的图象，再根据函数为奇函数由对称性得到的图象，利用与图象的关系求解.

【详解】若，则当时，，由函数为奇函数，故的图像如图所示：

此时的图像始终在图像的上方，故满足.

若，时，，时，，

由函数为奇函数，则的图像如图所示：

若恒成立，

由图象可知，

所以.

综上， .

故答案为：

【点睛】根据分类讨论，去绝对值号得函数解析式，做出函数在时的图象，再由对称性得到函数在定义域上的图象，根据图象之间的平移关系，数形结合求解，属于难题.

四、解答题

17．已知集合.

（1）求，；

（2）若，求实数m的取值范围.

【答案】（1），（2）

【分析】（1）化简集合B，根据集合的并集、交集、补集运算即可；

（2）由建立不等式求解即可.

【详解】（1）因为或，，

所以，，

（2），且，

或，

或

故实数m的取值范围.

18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题.

已知，_______，求.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】

【分析】①②③任选一个条件，均可求出，求出，利用，结合两角差的余弦公式，即可求解.

【详解】若选条件①

因为，所以，即.

因为，

所以

因为，由平方关系，

解得.

因为，所以，

所以，

所以

.

若选条件②

因为，所以.

由平方关系，得.

因为，所以

以下同①的解法.

若选条件③

因为，所以.

由平方关系，

解得 或

因为，所以.

以下同①的解法.

【点睛】关键点点睛：本题根据不同的条件，利用三角恒等变换、同角三角函数的基本关系求出，，再利用求出，根据角的变换求解是关键，属于中档题.

19．设函数.

（1）求的最小正周期和单调递增区间；

（2）当时，求函数的最大值和最小值.

【答案】（1），单调递增区间为；（2）最大值为，最小值为.

【分析】（1）本题首先可通过三角恒等变换将函数解析式转化为，然后通过周期计算公式即可求出最小正周期，通过正弦函数的单调性即可求出单调递增区间；

（2）本题可根据得出，然后根据正弦函数的性质即可求出最值.

【详解】（1）

，

即，则最小正周期，

当，

即，函数单调递增，

函数的单调递增区间为.

（2），

因为，所以，

由正弦函数的性质易知，

当，即时，函数取最小值，最小值为；

当，即时，函数取最大值，最大值为.

【点睛】关键点点睛：本题考查结合三角恒等变换判断三角函数性质，能否根据三角恒等变换将函数转化为是解决本题的关键，考查三角函数周期性、单调性以及最值的求法，是中档题.

20．2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品､让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，成为国际采购､投资促进､人文交流､开放合作的四大平台，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本150万元，每生产一台需另投入380元.设该企业一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入万元，且

（1）写出年利润S(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润=销售收入-成本)

（2）当年产量为多少万时，该企业获得的利润最大，并求出最大利润.

【答案】（1）；（2）当年产量为万台时，该公司获得的利润最大为万元.

【分析】（1）利用利润=销售收入-成本，即，求函数的解析式；（2）分段计算函数的最大值，再比较，求最大利润.

【详解】（1）年利润 ，

（2）当时，

函数的对称轴是，是函数的增区间，当时，函数取得最大值,

当时，，

当时，即时，等号成立，此时的最大值是，

，

当年产量为万台时，该公司获得的利润最大为万元.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的应用，关键是读懂题意，并能正确利用公式，利润=销售收入-成本，即，求函数的解析式.

21．已知函数是奇函数.

（1）求a，b的值；

（2）证明：是区间上的减函数；

（3）若，求实数m的取值范围.

【答案】（1），（2）证明见解析（3）

【分析】（1）由于函数是奇函数，且有意义，则，定义域关于原点对称，列出方程，即可得到，；

（2）运用单调性的定义，注意作差、变形，同时运用指数函数的单调性，即可判断符号，得到结论成立；

（3）运用奇函数的定义和函数是区间上的减函数，得到不等式组，注意定义域的运用，解出它们即可得到范围．

【详解】（1）∵函数，是奇函数，

∴，且，

即，.

（2）证明：由（1）得，，

设任意且，

∴ ，

∵，

∴，

∴，

又∵，，

∴，∴.

∴是区间上的减函数．

（3）∵，

∴，

∵奇函数，

∴，

∵是区间上的减函数，

∴，即有，

∴，

则实数的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：利用奇函数的性质及函数的单调性解决满足的实数m的取值范围问题，要特别注意定义域，考防止遗漏，造成求解的错误，属于中档题．

22．已知函数.

（1）若的定义域为R，求实数m的取值范围；

（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）分类讨论，当参数时，恒成立，符合题意；当参数时，满足，解不等式组即可；

（2）将不等式等价转化为在上恒成立，令，不等式组化为，，再采用分离参数法，通过求关于的函数最值，进而求解参数范围.

【详解】（1）函数的定义域为，即在上恒成立，

当时，恒成立，符合题意，

当时，必有，

解得,

综上的取值范围是.

（2）

，对任意总成立，

等价于在总成立,

即：在上恒成立,

设，因为，所以，

不等式组化为

时，（当且仅当时取等号）

时，不等式组显然成立

当时，恒成立，

而，即，

在上递减，所以的最小值为，故，

综上所述，的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于由对任意的恒成立转化，分离参数并换元，分类讨论，利用函数的最值求解恒成立问题，属于难题.