2020-2021学年山东省聊城市高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年山东省聊城市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．若集合，则A的真子集个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】先求出集合A，再求A的真子集.

【详解】因为集合，所有集合，

所以A的真子集个数为：.

故选：C

【点睛】(1)离散型的数集用韦恩图； 连续型的数集用数轴；

(2)一个集合有n个元素，则它的子集个数为，真子集个数为，非空真子集个数为-2.

2．已知，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，；

【详解】解：因为，，所以，因为，所以，所以

故选：A

3．关于命题，，下列说法正确的是（    ）

A．， B．不能判断p的真假

C．p是假命题 D．p是真命题

【答案】D

【分析】根据基本不等式可判断命题的真假，从而可知其否定的真假.

【详解】由基本不等式可得为真命题，故BC错，D正确.

而的否定为：，，故A错误.

故选：D.

4．方程解的个数为（   ）

A．1 B．3 C．5 D．7

【答案】B

【分析】方程的解转化为函数与的交点，在同一平面直角坐标系中画出函数图象，数形结合即可得解；

【详解】解：方程解的个数，即的解得个数，即函数与的交点个数，再同一平面直角坐标系上画出与的图象如下：

由函数图象可知，与有个交点，

故选：B

5．已知，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出题设不等式的等价条件，再逐项判断各项的正误，从而可得正确的选项.

【详解】等价于，故，，故AB错误.

因为，故成立，故D正确.

取，则成立，但，故C错误.

故选：D.

6．已知定义在R上的奇函数满足，若，则（    ）

A． B． C．0 D．2

【答案】B

【分析】由条件可得是周期函数，周期为4，然后可得答案.

【详解】因为定义在R上的奇函数满足，所以

所以，所以是周期函数，周期为4

所以

故选：B

7．《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为米，一只手臂长约为米，“弓”所在圆的半径约为米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】C

【分析】利用弧长公式可求圆心角的大小，再利用解直角三角形的方法可求弦长.

【详解】

掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”即如图中的及弦，

取的中点，连接.

由题设可得的弧长为，而，

故，故的长度为，

故选：C.

8．已知函数，当时，，若在上的最大值为2，则 （    ）

A．9 B．4 C．3 D．2

【答案】A

【分析】根据的图像判断，结合对数运算求得的关系式，根据在上的最大值求得的另一个关系式，由此求得，进而求得的值.

【详解】画出图像如下，

由于时,，所以，

且由得，所以

由于，所以，所以，

所以在上的最大值为，，，所以，所以.

故选：D

二、多选题

9．下列命题正确的是（    ）

A．，函数恒过定点

B．，

C．若，则为第一象限角

D．若，则

【答案】ABD

【分析】对于A：利用指数函数、对数函数过定点验证；

对于B:存在性问题，取特殊值验证，取x=10时；

对于C: 由sinα,cosα同号，α可能为第一或第三象限角；

对于D：构造基本不等式，求最值.

【详解】对于A：恒过（1,1）,恒过（1,0）所以恒过定点，故A正确；

对于B:当x=10时，，所以，，故B正确；

对于C: 若，则sin α,cosα同号，α可能为第一或第三象限角，故C错误；

对于D：若，则

故D正确.

故选：ABD

10．为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点．若初始位置为点，秒针从（规定此时）开始沿顺时针方向转动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据题意，设y与时间t的函数关系式为,求得初相，再根据周期，即可判断选择.

【详解】设y与时间t的函数关系式为,由题意可得，初始位置为，即初相为，故可得，，则,.

又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，

所以|ω|＝，即ω＝－.

故满足题意的函数解析式为：.

故选：CD.

11．不等式的解集是，对于系数a，b，c，下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】根据一元二次不等式的解集以及韦达定理即可求解.

【详解】不等式的解集是，

可得，且的两个根为，

韦达定理，所以，故A正确,D错误；

由，则，故C正确；

二次函数开口向下，函数的零点为，

当时，，故B正确；

故选：ABC.

12．已知定义域为A的函数，若对任意的，都有，则称函数为“定义域上的优美函数”以下函数是“定义域上的优美函数”的有（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】ACD

【分析】根据“定义域上的优美函数”的定义，对A、B、C、D一一验证.

【详解】由题意：定义域为A的函数，若对任意的，都有，则称函数为“定义域上的优美函数”：

对于A：，，

.，故A正确；

对于A：，，

当，此时，

不符合，故B错误；

对于C：，

，而，

，

，即，故C正确；

对于D：，

当时，恒成立.

，

，故D正确.

故选：ACD

【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．

三、填空题

13．函数的定义域为A，函数的值域为B，则__________．

【答案】

【分析】求出后可得.

【详解】，，

故，

故答案为：.

14．已知，，则的值为__________．

【答案】1

【分析】，然后利用两角和的正切公式可得答案.

【详解】

故答案为：1

15．设函数，则满足的x的取值范围是__________．

【答案】

【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论的取值范围，进行求解即可．

【详解】解：因为

①当时，

，

，

故，

②当，即时，

，

，故，

恒成立，

故，

③当且，即时，

，

，

，

恒成立，

故，

综上所述，即

故答案为：．

【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键．

四、双空题

16．已知函数，（其中，为常数，且）有且仅有5个零点，则a的值为__________，的取值范围是__________．

【答案】1       

【分析】由条件可得函数必有一个零点为，即可求出，然后令可得，然后可建立不等式求解.

【详解】因为函数，为偶函数，有且仅有5个零点

所以必有一个零点为，所以，即

令，可得，即，即

因为有且仅有5个零点，所以，解得

故答案为：1；

五、解答题

17．已知集合，集合，其中．

（1）当时，求；

（2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）首先求出集合，，再根据交集的定义计算可得；

（2）首先求出集合，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】解：（1）由，得，所以；

当时，由，得，

所以．

所以．

（2）由及，得．即

因为是的必要不充分条件，所以

所以，且等号不同时成立，解得．

又，所以实数m的取值范围是．

【点睛】本题考查必要不充分条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

18．如图，以x轴非负半轴为始边，角的终边与单位圆相交于点，将角的终边绕着原点O顺时针旋转得到角．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）1；（2）.

【分析】（1）先利用三角函数的定义分别求出，，，用诱导公式先化简，再求值；

（2）由题意得，得，用二倍角公式即可求解.

【详解】解：（1）由题得，，．

．

（2）由题意得，得，

所以

．

【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P（x,y）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论．

(2)根据题意把角进行合理转化，还要注意角的范围.

19．若为上的奇函数，且时，．

（1）求在上的解析式；

（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；

（3）解关于x的不等式．

【答案】（1）；（2）在上单调递减，证明见解析；（3）答案见解析.

【分析】（1）根据奇函数性质得当时，，故，再结合奇函数的性质即可得答案；

（2）根据函数单调性的定义证明即可；

（3）根据奇函数性质得，再结合函数单调性解不等式即可；

【详解】解：（1）因为当时，，

所以当时，，，

因为为上的奇函数,所以，

则．

所以在上的解析式为．

（2）函数在上单调递减．

证明：设，且，

，

因为，且，

所以，，则，

所以在上单调递减．

（3）因为为上的奇函数，且在上单调递减，

所以在上单调递减．

因为，

所以，，即，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

【点睛】本题考查利用奇函数的性质求函数解析式，解不等式等，考查运算求解能力，其中第三问解题的关键在于由奇偶性与单调性得时，分当，，时三种情况讨论求解.

20．已知函数为偶函数，且图象的相邻两个最高点的距离为．

（1）当时，求的单调递增区间；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来（纵坐标不变），得到函数的图象．求函数在区间上的最大值和最小值．

【答案】（1）单调递增区间为和；（2）最大值为2，最小值.

【分析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式对化简，再利用偶函数求出的值，再利用求出的值，即可得的解析式，再利用余弦函数的单调递增区间即可求解；

（2）利用三角函数图象变换的规律求出的解析式，再利用余弦函数的性质即可求值域.

【详解】（1）由题意函数

，

因为函数图象的相邻两个最高点的距离为，

所以，可得．

又由函数为偶函数可得，

所以，，则，．

因为，所以，所以函数，

令，，解得，，

当时，；当时，，又，

可得函数的单调递增区间为和．

（2）将函数的图象向右平移个单位长度可得的图象，再把各点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，

当时，．

当，即时，

函数取得最小值，最小值为；

当，即时，

函数取得最大值，最大值为2．

所以函数在区间上的最大值是，最小值是.

【点睛】方法点睛：已知三角函数的解析式求单调区间

先将解析式化为或的形式，然后将看成一个整体，根据与的单调区间列不等式求解.

21．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，聊城市环保部门近年来利用水生植物（例如浮萍、蒲草、芦苇等），对国家级湿地公园—东昌湖进行进一步净化和绿化．为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例，对水生植物的生长进行了科学管控，并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查，测得该水域二月底浮萍覆盖面积为，四月底浮萍覆盖面积为，八月底浮萍覆盖面积为．若浮萍覆盖面积y（单位：）与月份（2020年1月底记，2021年1月底记）的关系有两个函数模型与可供选择．

（1）你认为选择哪个模型更符合实际？并解释理由；

（2）利用你选择的函数模型，试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到？

（可能用到的数据：，，）

【答案】（1）选函数模型，理由见解析；（2）16个月.

【分析】（1）三组数据中选择两组数据，利用待定系数法可求两个函数模型的参数，再利用余下一组数据检验可得哪个模型更符合实际.

（2）根据（1）中所得的函数的模型可估算浮萍覆盖面积.

【详解】解：（1）若选择数据和，

由，解得．

则．

当时，，与实际情况相符．

下面仅考虑函数模型.

若选择数据和，

由，解得，则．

当时，，与实际情况差别较大．

若选择数据和，

由，解得，

则．

当时，，

与实际情况80差别较大．

若选择数据和，

由，解得，则．

当时，实际情况45差别较大．

故选函数模型．

（2）因为，．

而，

所以至少经过16个月该承域的浮萍覆盖面积能达到．

【点睛】方法点睛：对于函数模型的拟合问题，注意对所得模型是否符合要求进行验证，一般是根据预测值与实际值的误差的大小来判断，有时也可根据题设中的要求来判断.

22．已知函数（，且）的图象经过点．

（1）若函数在区间内存在零点，求实数m的取值范围；

（2）若函数，其中为奇函数，为偶函数，若时，恒成立，求实数t的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由指数函数过点，代入即可求出的值，从而求出的解析式，设，依题意函数在区间内有零点．则，即可求出参数的取值范围；

（2）依题意可得，即可求出、的解析式，

由，参变分离可得．设，则，利用基本不等式求出最小值，即可得解；

【详解】解：（1）因为的图象经过点，

则，所以，故

因为，所以，

设，则

函数在区间内存在零点，

即函数在区间内有零点．

所以，即，解得．

所以实数m的取值范围是．

（2）由题意，函数，其中为奇函数，为偶函数，

可得，即，

解得．

因为，

所以．

设，因为，为增函数，

所以．

所以．

因为当且仅当，即时等号成立．

所以，即t的取值范围为．

【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．