2022-2023学年山东省济南市高一上学期期中数学试题（解析版）

 2022-2023学年山东省济南市高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出的定义域，再结合并集概念即可求解.

【详解】，所以.

故选：A

2．已知命题，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.

【详解】解：命题，为全称量词命题，

其否定为：，.

故选：B

3．下列函数中， 既是奇函数又是增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.

【详解】解：对于A：，则，故为非奇非偶函数，故A错误；

对于B：为奇函数，函数在，上单调递增，在定义域上不具有单调性，故B错误；

对于C：为奇函数，且在定义域上单调递增，故C正确；

对于D：为偶函数，故D错误；

故选：C

4．平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中的一个重要参数，其值在（0，1）间，设计师将某平板电脑的屏幕面积与整机面积同时减少相同的数量，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该新电脑“屏占比”和升级前比（    ）

A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．“屏占比”变化不确定

【答案】B

【分析】设法列出升级前后的屏占比表达式，由作差法可比较大小.

【详解】设升级前屏幕面积为a,整机面积为b,

则屏占比为，设减小面积为，则升级后屏占比为：，则，即，屏占比变小.

故选：B

5．已知a，，若，，，则下列不等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由，，，可得，再结合不等式的性质逐一判断即可.

【详解】解：因为，，，

所以，

所以，故A错误；

则，所以，故B错误；

由得，即，所以，故C正确，D错误.

故选：C.

6．不等式的解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意得，进而得，再根据二次不等式的解法即可得答案.

【详解】解：等价于

∴，即：，解得：.

所以不等式的解为

故选：B.

7．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意可得在上单调递增，再由函数为奇函数，可得在上单调递增，且，由此可求出和的解集，从而可求得结果．

【详解】因为对于任意两个实数且时，不等式恒成立，所以在上单调递增，

因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，

因为，所以，

所以当或时，；当或时，，

所以当或时，，

所以不等式的解集为．

故选：B．

8．已知表示不超过实数x的最大整数，若函数，则下列说法正确的是（    ）

A．是奇函数 B．是偶函数

C．在上单调递增 D．的值域为

【答案】D

【分析】由定义可作出函数图象，直接判断选项即可.

【详解】因为，故函数图象如图所示，易知选项ABC错误，选项D正确.

故选：D

二、多选题

9．已知集合，，请根据函数定义，下列四个对应法则能构成从到的函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据函数的概念逐一判断即可.

【详解】A，集合中在集合中没有对应元素，故A不选.

B，由函数的定义集合中的每一个元素在集合中都有唯一元素与之对应，故B可选；

C，集合中、在集合中没有对应元素，故C不选.

D，由函数的定义集合中的每一个元素在集合中都有唯一元素与之对应，故D可选；

故选：BD

10．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的对称中心为

B．的值域为

C．在区间上单调递增

D．的值为

【答案】ACD

【分析】选项A，利用函数的对称性定义验证即可；选项B，计算值域即可；选项C，根据函数的单调性运算判断单调性即可；选项D：找到，计算即可.

【详解】由题可知

选项A：由题可知，所以得，故的对称中心为，选项A正确；

选项B：因为，显然，所以的值域为，选项B错误；

选项C：当时，单调递减，所以单调递增，所以单调递增，选项C正确；

选项D：，所以，所以有，选项D正确.

故选：ACD

11．若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ）

A．最大值为 B．最小值为

C．ab最小值为 D．最小值为

【答案】ABD

【分析】对A，B，C选项，结合基本不等式进行求最值即可；D选项将等式构造变形为与相乘化成能用基本不等式的形式即可.

【详解】对A选项：由 ，，则，

当且仅当时等号成立，故A正确；

对B选项；，

当且仅当时等号成立，故B正确；

对C选项；因为，，所以

当且仅当时等号成立，故C不正确；

对D选项；因为，，

所以

当且仅当时等号成立，故D正确；

故选：ABD.

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的单调减区间为

B．若有三个不同实数根，则

C．若恒成立，则实数a的取值范围是

D．对任意的，不等式恒成立

【答案】BCD

【分析】对A：利用分段函数图象判断单调性；对B：根据题意结合图象、对称性分析运算；对C：根据图象结合图象平移分析运算；对D：先证，再根据题意分析证明.

【详解】对A：作出的图象，如图1所示，

则的单调递减区间为，A错误；

对B：不妨设，则关于直线对称，

∴，则，B正确；

对C： 当时，显然不成立，不合题意，舍去；

当时，可以通过向左平移个单位得到，如图2，显然不成立，舍去；

当时，可以通过向右平移个单位得到，如图3，以射线与相切为临界，

即，则，

∴，解得，则；

综上所述：实数a的取值范围是，C正确；

对D：对任意的，则

，当且仅当时等号成立，

即，则，

∴，

又∵，则，

∴，D正确；

故选：BCD.

三、填空题

13．的值为______．

【答案】7

【分析】根据指数幂的运算法则求解即可.

【详解】

故答案为：7

14．若“”是“”的必要不充分条件，则实数k的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据集合之间的包含关系，列出不等式，即可求得结果.

【详解】根据题意，是的真子集，故可得，即.

故答案为：.

15．已知，，且，则的最小值为______．

【答案】6

【分析】利用不等式，结合已知条件，即可求得的最小值.

【详解】因为，

故可得：，

即，

解得：或.

因为，故（当且仅当时取得最小值）

故答案为：.

四、双空题

16．已知函数．①若，则a的值为______．

②若不等式对任意都成立，则实数a的取值范围是______．

【答案】         

【分析】对①：根据题意，分类讨论当和时，代入分段函数，分别解方程即可；对②：根据题意可得函数的最小值为，结合分段函数单调性分析运算.

【详解】对①：当时，则，则；

当时，则，则（舍去）；

综上所述：；

对②：∵不等式对任意都成立，则函数的最小值为，

∴，解得，

故实数a的取值范围是；

故答案为：①；②.

五、解答题

17．已知集合，，为实数集．

(1)求；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简集合，由交集运算即可求解；

（2）先求的补集，再求交集即可.

【详解】（1）或，则；

（2），，则.

18．已知函数．

(1)当，时，求的值域；

(2)若不等式的解集中的整数解恰好有三个，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，由函数的单调性，求出函数在区间上的最值，得函数值域；

（2）由的单调性及函数图象的对称性可知，若的解集中整数解恰有三个，必为-2，-1，0，列出不等式组，解得a的取值范围.

【详解】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，

又因为，，所以的最大值为20，函数值域为.

（2）在上单调递减，在 上单调递增，

根据图象的对称轴性，若的解集中整数解恰有三个，这三个整数必为-2，-1，0，

则，解得.

19．已知函数是定义在上的增函数，满足，且对任意的都有．

(1)求的值；

(2)求不等式的解集．

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）令可直接求解；

（2）易得，结合定义域与增函数性质去“”建立不等式即可求解.

【详解】（1）令，则，即；

（2）因为，所以等价于，因为是定义在上的增函数，

所以，解得，

故不等式的解集为.

20．济南高新区一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地租赁费为万元，仓库到车站的距离为km，每月库存管理费为万元，其中与成反比，与x成正比，若在距离车站9km处建仓库，则，．

(1)分别求出，关于x的函数解析式；

(2)该公司把仓库建在距离车站多远处，能使这两项费用之和最少，并求出最少费用（万元）．

【答案】(1)

(2)该公司把仓库建在距离车站处，能使这两项费用之和最少，为万元

【分析】（1）设，利用待定系数法求解即可；

（2）根据两项费用之和为结合基本不等式即可得解.

【详解】（1）解：设，

则，所以，

所以；

（2）解：两项费用之和

，

当且仅当，即时，取等号，

所以该公司把仓库建在距离车站处，能使这两项费用之和最少，为万元.

21．定义两种新的运算：，，已知函数．

(1)求的值；

(2)求函数的定义域；

(3)判断函数的奇偶性，并用函数奇偶性的定义证明．

【答案】(1)

(2)

(3)为奇函数，证明见解析

【分析】（1）根据所给定义求出的解析式，再代入计算可得；

（2）根据分母不为零及偶次方根的被开方数大于等于得到不等式组，解得即可；

（3）根据函数的定义域将函数解析式化简，再根据奇偶性的定义判断即可.

【详解】（1）解：因为，，

所以，

所以；

（2）解：因为，则且，

解得且，

则函数的定义域为.

（3）解：函数为奇函数，

证明：由（2）可知函数的定义域为，定义域关于原点对称，

当时，，所以，

又，所以函数为奇函数.

22．若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“和谐区间”．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．

(1)当时，求的解析式；

(2)求函数在内的“和谐区间”；

(3)若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图象作为函数的图像，是否存在实数t，使集合恰含有2个元素．若存在，求出满足条件的所有实数t所构成的集合；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）结合奇函数定义直接求解；

（2）由“和谐区间”定义解方程直接求解；

（3）由“和谐区间”定义可求另一区间为，求出，令，分类讨论和时与0的关系，即可求解.

【详解】（1）当时，，，又，

即，所以当时，；

（2）当时，，函数为单减函数，，，

解得，所以在内的“和谐区间”为；

（3）由“和谐区间”定义可知，当，，则同号，

当时，，解得，故，

若两交点全落在对应图像上，必满足在有两解，

的对称轴为，故不可能有两解，

要使与恰有两交点，则一交点必落在对应图象上，

另一交点必落在对应图像上，令，

当时，，

必满足，解得；

当时，，必满足，

解得；

综上，则只有一个实数满足，故实数构成的集合为.