2022-2023学年山东省德州市高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省德州市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对数的真数大于0，直接计算可得答案.

【详解】由已知得，，解得，故.

故选：B

2．若，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由充分性和必要性的定义判断即可.

【详解】由可推出，

但推不出，如，

所以p是q的充分不必要条件

故选：A.

3．已知点是角终边上的一点，且，则的值为（    ）

A．2 B． C．或2 D．或

【答案】D

【分析】根据三角函数的定义计算可得.

【详解】解：因为点是角终边上的一点，且，

所以，解得或.

故选：D

4．函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令，求出的值域，结合指数函数的性质，即可求出函数的值域.

【详解】令，由，则，所以，所以，又，所以函数的值域为.

故选：B

5．华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，求得，结合指数函数的图象与性质以及图象变换，即可求解.

【详解】由题意，根据函数的图象，可得，

根据指数函数的图象与性质，

结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合.

故选：C.

6．已知角的值点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若角的终边落在直线上，则的值等于（    ）

A．3或-3 B．或 C．3或 D．-3或

【答案】B

【分析】讨论角在第二象限或第四象限，化简代入即可得出答案.

【详解】角的终边落在直线上，所以角在第二象限或第四象限，

所以，所以，

当角在第二象限时，，所以，

当角在第四象限时，，所以，

故选：B.

7．已知幂函数在上单调递减，设，则大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据幂函数的单调性以及定义，可得其函数解析式，利用对数函数和指数函数的单调性，比较大小，结合幂函数的奇偶性和单调性，可得答案.

【详解】由题意，可得，解得，则，显然该函数为偶函数，

由函数在其定义域上单调递增，则，

由函数在其定义域上单调递增，则，

故，即，

由函数在上单调递减，则.

故选：C.

二、多选题

8．设，用表示不小于的最小整数，如．已知函数，下列叙述不正确的是（    ）

A．函数是奇函数 B．函数的值域是

C．函数是奇函数 D．函数的值域是

【答案】CD

【分析】根据定义，函数的奇偶性及函数值域的求解方法对选项逐一分析即可.

【详解】由题意得函数的定义域为关于原点对称，

因为，

所以，

且，

所以，所以为奇函数，故A正确；

令，

解得：，由，

所以，

所以函数的值域是，故B正确；

因为，函数的值域是，

所以的值域为，故D不正确；

由，

，

所以，所以不是奇函数，故C不正确；

故选：CD.

9．已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】由题意得，可得，根据的范围，可得的正负，求得的值，即可判断A的正误，联立可求得的值，即可判断B的正误，根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，平方差计算的值可判断D的正误，从而得到答案.

【详解】因为①，

所以，则，

因为，所以，

所以，所以，

所以②，故A错误；

①②联立可得，，故B正确；

所以，故C错误；

，故D正确；

故选：BD

10．下列正确的是（    ）

A． B．

C．若，则 D．若，且，则

【答案】ABD

【分析】应用指、对、幂函数的运算公式逐一计算即可得到结果.

【详解】解：A选项： ，故A正确；

B选项：，故B正确；

C选项：，，故C错误；

D选项：，则，， 同理，，则，解得，故D正确.

故选：ABD

11．已知函数，若（互不相等），则的值可以是（    ）

A．-2 B． C． D．-1

【答案】BC

【分析】作出图象，由数形结合可得的范围，由对数运算可得，即可判断结果.

【详解】图象如图所示，令，则有，

则有.

又，∴，故.

故选：BC

12．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：℃），环境温度是（单位：℃），其中、则经过t分钟后物体的温度将满足（且）．现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（    ）（参考数值）

A．若，则

B．若，则红茶下降到所需时间大约为6分钟

C．5分钟后物体的温度是，k约为0.22

D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多

【答案】AC

【分析】由题知，根据指对数运算和指数函数的性质依次讨论各选项求解．

【详解】解：由题知，

A选项：若，即，所以，则，A正确；

B选项：若，则，则，两边同时取对数得，所以，所以红茶下降到所需时间大约为7分钟，B错误；

C选项：5分钟后物体的温度是，即，则，得，所以，故C正确；

D选项：为指数型函数，如图，可得红茶温度从下降到所需的时间（）比从下降到所需的时间（）少，故D错误．

故选：AC．

三、填空题

13．计算：_________．

【答案】##

【分析】根据三角函数的诱导公式，结合特殊角三角函数，可得答案.

【详解】，

故答案为：.

14．如图，直角中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A．其中的面积与扇形OAB的面积之比为3：2，记，则____________．

【答案】##1.5

【分析】设出扇形的半径，分别计算扇形面积与三角形面积代入可得结果.

【详解】设扇形OAB的半径为r，则扇形OAB的面积为，

直角三角形POB中，，则△POB的面积为，

由题意知，，

所以

故答案为：.

15．在数学中连乘符号是“”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如：．函数，定义使为整数的数叫做企盼数，则在区间内，这样的企盼数共有_______个．

【答案】9

【分析】由对数换底化简后，根据新定义累乘后可得，再由企盼数定义可得，转化为求满足的n的个数.

【详解】令，

，

要使成为企盼数，则，

，即，

，

可取.

所以在区间内，这样的企盼数共有9个.

故答案为：9

16．设是定义在R上的偶函数，且当时，．若对任意的，均有，则实数b的最大值是__________．

【答案】

【分析】利用指数的运算性质易得时，进而根据偶函数的性质和函数在上的单调性，

将不等式恒成立问题转化对任意的恒成立，再分类讨论求解，

【详解】当时，

若对任意的，均有即为，

由于,当时，为单调递增函数，

又∵函数为偶函数，

∴等价于，即（∵）,

由区间的定义可知,若，于是,即，

由于的最大值为，故显然不可能恒成立；

，则，即，∴，即，

故的最大值为，

故答案为：.

【点睛】本题考查不等式恒成立问题，涉及指数函数，函数的奇偶性，分类讨论思想，关键是时，化归为，再利用偶函数和单调性转化为对任意的恒成立，注意对的符号的分类讨论.

四、解答题

17．在平面直角坐标系xOy中，单位圆与x轴的正半轴及负半轴分别交于点A、B，角的始边为OA，终边与单位圆交于x轴下方一点P．

(1)如图，若，求点Р的坐标；

(2)若点P的横坐标为，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由条件可知的旋转角为，利用三角函数定义求，的值即可写出点的坐标；

（2）由点P的横坐标为，可知，结合等腰三角形的性质可知，，代入计算即可求出结果.

【详解】（1）设点的坐标为，且，所以，，所以的坐标为.

（2）因为点P的横坐标为，所以，且，所以，，则

18．已知函数．

(1)化简；

(2)若锐角满足，求的值：

(3)若，且，求的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）依据诱导公式化简即可；

（2）由第（1）问化简结果可知的值，结合为锐角，求出的值代入所求即可求出结果；

（3）由条件可知，求的值再根据角的范围判断正负可得出结果.

【详解】（1）解：

（2）因为，所以，且为锐角，所以，则

（3），即，，因为，所以，

则

19．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中是自然对数的底，…．

(1)当时，求函数的解析式；

(2)求不等式的解集．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用函数为奇函数，结合时，的解析式求出当时的解析式即可；

（2）利用函数的奇偶性及单调性等价出不等式组解出不等式组即可.

【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，

所以，，

当时，则，

由时，函数，

所以，

即，

所以当时，

（2）当时，不等式化为：

成立，

当时，由，

所以时，由在上单调递增，

故在上单调递增，

由函数为奇函数，

所以当时，由在上单调递增，

所以在上单调递增，

故有：，

综上所述：不等式的解集为：.

20．已知函数为奇函数，且，

(1)求函数的解析式；

(2)若（且）在区间上为增函数，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据幂函数的性质，求出，即可求函数的解析式；

（2）根据复合函数单调性之间的关系，然后再利用分类讨论，即可求出结果．

【详解】（1）由条件幂函数，在上为增函数，

得到 ，解得 ，

又因为，所以或

又因为是奇函数，

当时，，满足为奇函数；

当时，，不满足为奇函数；

所以

（2）由（1）知：且在区间上为增函数．

令，；

①当时，为增函数，只需在区间上为增函数．

即：，解得：，所以；

②当时，为减函数，只需在区间上为减函数．

即：，解得：，此时无解；

综上可知：的取值范围为：．

21．某医药研究所研发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药1小时后血液中含药量达到峰值，7小时后血液中含药量为，服药后每毫升血液中的含药量与服药后的时间之间，近似满足如图所示的连续曲线，其中曲线段OA是函数的图象，曲线段AB是函数（，k为吸收常数，为常数，e为自然对数的底）的图象．

(1)写出服药后每毫升血液中含药量C关于时间t的函数关系式；

(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上8点，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？

(3)若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少？（精确到）

【答案】(1)

(2)第二次服药最迟是当天下午13：00服药

(3)

【分析】（1）根据函数图象求解函数解析式；

（2）根据题意列出不等式，求解出答案；

（3）分别求解出第每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果.

【详解】（1）当时，，把代入可得，

解得：，所以当时，，

当时，把代入（k，a是常数），

得，解得，所以

故，

（2）设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则，解得：，

即第一次服药后后服第二次药，也即下午13：00服药；

（3）第二次服药后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：

每毫升血液中含第二次服药后剩余量为：

所以此时两次服药剩余的量为

故该病人每毫升血液中的含药量为

22．已知函数是偶函数，且当时，函数的图像与函数（且）的图像都恒过同一个定点．

(1)求和的值；

(2)设函数，若方程有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先找出恒过的点，代入当时中，求出，然后，利用函数奇偶性建立方程求解；

（2）由题意方程有且只有一个实数解等价出关于的方程有且只有一个实数解，令，则问题转化为关于方程只有一个正实数解，对最高次系数进行讨论分析即可.

【详解】（1）因为函数（且）的图像恒过定点，

当时，函数图像与图像过同一定点，

所以，

又函数为偶函数，

所以，

即，

即

所以，对恒成立，

所以，

故.

（2）由题意方程有且只有一个实数解等价于：

即方程有且只有一个实数解，

化简得：有唯一的实数解，

令，则问题转化为方程：只有一个正实数解，

则：

①当时，方程化为不合题意，

②当时，为一元二次方程，

（i）若两正根相等则：，

解得：或，

当时，代入方程得：

不满足题意，

当时，代入方程得：

满足题意，

（ii）若方程有一正根一负根时，由韦达定理有两根之积小于0：

即满足题意，

综上所述，实数的取值范围是：.