专题02 建立f(a，b，c)＝0模型(解析版)

这是一份专题02 建立f(a，b，c)＝0模型(解析版)，共16页。试卷主要包含了f＝0型，已知双曲线E，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。

所谓明显型就是题目中有明显的等量关系，在计算离心率的大小时，根据题目中的条件，建立a，b，c之间的齐次等量关系f(a，b，c)＝0，再化归为关于离心率e的方程求解．
【例题选讲】
[例6] (27)(2016·全国Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq \f(1,4)，则该椭圆的离心率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,4)
答案 B 解析 不妨设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，右焦点F(c，0)，则直线l的方程为eq \f(x,c)＋eq \f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0．由题意eq \f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq \f(1,2)b，且a2＝b2＋c2，得b2c2＝eq \f(1,4)b2a2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)．
(28)(2018·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,4)
答案 D 解析 由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴点P坐标为(c＋2ccs 60°，2csin 60°)，即点P(2c，eq \r(3)c)．∵点P在过点A，且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，∴eq \f(\r(3)c,2c＋a)＝eq \f(\r(3),6)，解得eq \f(c,a)＝eq \f(1,4)，∴e＝eq \f(1,4)，故选D.
(29)已知双曲线Γ：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过双曲线Γ的右焦点F，且倾斜角为eq \f(π,2)的直线l与双曲线Γ交于A，B两点，O是坐标原点，若∠AOB＝∠OAB，则双曲线Γ的离心率为( )
A．eq \f(\r(3)＋\r(7),2) B．eq \f(\r(11)＋\r(33),2) C．eq \f(\r(3)＋\r(39),6) D．eq \f(1＋\r(17),4)
答案 C 解析 由题意可知AB是通径，根据双曲线的对称性和∠AOB＝∠OAB，可知△AOB为等边三角形，所以tan∠AOF＝eq \f(\f(b2,a),c)＝eq \f(\r(3),3)，整理得b2＝eq \f(\r(3),3)ac，由c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋eq \f(\r(3),3)ac，两边同时除以a2，得e2－eq \f(\r(3),3)e－1＝0，解得e＝eq \f(\r(3)＋\r(39),6)．故选C．
(30) (2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝eq \f(b,2)与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
答案 eq \f(\r(6),3) 解析 由已知条件易得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，F(c，0)，∴eq \(BF,\s\up6(→))＝c＋eq \f(\r(3),2)a，－eq \f(b,2)，eq \(CF,\s\up6(→))＝c－eq \f(\r(3),2)a，－eq \f(b,2)，由∠BFC＝90°，可得eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(\r(3),2)a))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(\r(3),2)a))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2)))2＝0，c2－eq \f(3,4)a2＋eq \f(1,4)b2＝0，即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，亦即3c2＝2a2，所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(2,3)，则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)．
(31)已知F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，直线l经过点F，若点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，则双曲线C的离心率为( )
A．eq \f(\r(3)＋1,2) B．eq \f(\r(2)＋1,2) C．eq \r(3)＋1 D．eq \r(2)＋1
答案 C 解析 由点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，可得直线l为线段AB的垂直平分线，线段AB的中点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(b,2)))，直线AB的斜率为－eq \f(b,a)，可得直线l的方程为y－eq \f(b,2)＝eq \f(a,b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)))，令y＝0，可得x＝eq \f(1,2)a－eq \f(b2,2a)，由题意可得－c＝eq \f(1,2)a－eq \f(b2,2a)，即有a(a＋2c)＝b2＝c2－a2，即c2－2ac－2a2＝0，由e＝eq \f(c,a)，可得e2－2e－2＝0，解得e＝1＋eq \r(3)(e＝1－eq \r(3)舍去)，故选C．
(32)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，|OP|＝eq \f(\r(2),4)a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则椭圆的离心率为( )
A．eq \f(\r(2),4) B．eq \f(\r(2),3) C．eq \f(\r(6),3) D．eq \f(\r(6),4)
答案 D 解析 设P(x，y)，则|OP|2＝x2＋y2＝eq \f(a2,8)，由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2，又∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，∴|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2＝4c2，则|PF1|2＋|PF2|2＋8c2＝4a2，∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＋8c2＝4a2，整理得x2＋y2＋5c2＝2a2，即eq \f(a2,8)＋5c2＝2a2，整理得eq \f(c2,a2)＝eq \f(3,8)，∴椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),4)．
【对点训练】
23．P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PF⊥x轴，若tan∠PAF＝eq \f(1,2)，则椭
圆的离心率e为( )
A．eq \f(\r(2),3) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(1,2)
23．答案 D 解析 不妨设点P在第一象限，因为PF⊥x轴，所以xP＝c，将xP＝c代入椭圆方程得yP
＝eq \f(b2,a)，即|PF|＝eq \f(b2,a)，则tan∠PAF＝eq \f(|PF|,|AF|)＝eq \f(\f(b2,a),a＋c)＝eq \f(1,2)，结合b2＝a2－c2，整理得2c2＋ac－a2＝0，两边同时除以a2得2e2＋e－1＝0，解得e＝eq \f(1,2)或e＝－1(舍去)．故选D．
24．已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两
个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
24．答案 2 解析 如图，由题意知|AB|＝eq \f(2b2,a)，|BC|＝2c．又2|AB|＝3|BC|，∴2×eq \f(2b2,a)＝3×2c，即2b2＝
3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．
25．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若eq \(NM,\s\up6(→))·eq \(NF,\s\up6(→))＝0，则椭圆的离心率
为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(2)－1,2) C．eq \f(\r(3)－1,2) D．eq \f(\r(5)－1,2)
25．答案 D 解析 由题意知，M(－a，0)，N(0，b)，F(c，0)，∴eq \(NM,\s\up6(→))＝(－a，－b)，eq \(NF,\s\up6(→))＝(c，－b)．∵eq \(NM,\s\up6(→))·eq \(NF,\s\up6(→))
＝0，∴－ac＋b2＝0，即b2＝ac．又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac．∴e2＋e－1＝0，解得e＝eq \f(\r(5)－1,2)或e＝eq \f(－\r(5)－1,2)(舍去)．∴椭圆的离心率为eq \f(\r(5)－1,2)，故选D．
26．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－c，0)，右顶点为A，上顶点为B，现过A点作直线F1B
的垂线，垂足为T，若直线OT(O为坐标原点)的斜率为－eq \f(3b,c)，则该椭圆的离心率为________．
26．答案 eq \f(1,2) 解析 因为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，A，B和F1点坐标分别为(a，0)，(0，b)，(－c，0)，
所以直线BF1的方程是y＝eq \f(b,c)x＋b，OT的方程是y＝－eq \f(3b,c)x．联立解得T点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(c,4)，\f(3b,4)))，直线AT的斜率为－eq \f(3b,4a＋c)．由AT⊥BF1得，－eq \f(3b,4a＋c)×eq \f(b,c)＝－1，∴3b2＝4ac＋c2，∴3(a2－c2)＝4ac＋c2，∴4e2＋4e－3＝0，又0＜e＜1，所以e＝eq \f(1,2)．
27．已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF1交y轴于点C，
若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2eq \r(2) D．2eq \r(3)
27．答案 B 解析 不妨设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由已知，取A点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，取B点
坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))，则C点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(b2,2a)))且F1(－c，0)．由AC⊥BF1知eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BF1,\s\up6(→))＝0，又eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，－\f(3b2,2a)))，eq \(BF1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2c，\f(b2,a)))，可得2c2－eq \f(3b4,2a2)＝0，又b2＝c2－a2，可得3c4－10c2a2＋3a4＝0，则有3e4－10e2＋3＝0，可得e2＝3或eq \f(1,3)，又e>1，所以e＝eq \r(3)．故选B．
28．(2018·浙江)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点F1关于直线y＝－eq \r(3)c的对称点Q在椭圆上，
则椭圆的离心率是( )
A．eq \r(3)－1 B．eq \f(\r(3)＋1,2) C．2－eq \r(3) D．eq \f(\r(3),3)
28．答案 C 解析 ∵左焦点F1关于直线y＝－eq \r(3)c的对称点为Q，∴|F1Q|＝2eq \r(3)c．设椭圆的右焦点为
F2，则|F1F2|＝2c．由椭圆定义知，|F2Q|＝2a－|F1Q|＝2a－2eq \r(3)c．在Rt△F1QF2中，|F1F2|2＋|F1Q|2＝|F2Q|2，即(2c)2＋(2eq \r(3)c)2＝(2a－2eq \r(3)c)2，∴c2＋2eq \r(3)ac－a2＝0，故e2＋2eq \r(3)e－1＝0，∴e＝2－eq \r(3)(负值舍去)．故选C．
29．(2018·浙江)已知双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为M．若点
M的纵坐标为eq \f(2\r(5),5)，则双曲线的离心率是________．
29．答案 eq \r(5) 解析 ∵点M的纵坐标为eq \f(2\r(5),5)，∴点M在渐近线y＝eq \f(b,a)x上．∵双曲线方程为x2－eq \f(y2,b2)＝1，
∴a＝1，F(c，0)，渐近线方程为y＝±bx．则|FM|＝eq \f(|bc|,\r(1＋b2))，∵c2＝a2＋b2＝1＋b2，∴|FM|＝b．∵△OMF为直角三角形，∴OM＝eq \r(OF2－FM2)＝eq \r(c2－b2)＝a．∴OM×FM＝OF×yM，即cyM＝ab，∴c2yeq \\al(2,M)＝b2．∵yM＝eq \f(2\r(5),5)，∴b2＝eq \f(4,5)c2．又∵c2＝a2＋b2，∴a2＝eq \f(1,5)c2，∴e＝eq \r(5)．
30．已知直线l的倾斜角为45°，直线l与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右两支分别交于M，N两
点，且MF1，NF2都垂直于x轴(其中F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点)，则该双曲线的离心率为( )
A．eq \r(3) B．eq \r(5) C．eq \r(5)－1 D．eq \f(\r(5)＋1,2)
30．答案 D 解析 根据题意及双曲线的对称性，可知直线l过坐标原点，|MF1|＝|NF2|．设点M(－c，
y0)，则N(c，－y0)，eq \f(c2,a2)－eq \f(yeq \\al(2,0),b2)＝1，即|y0|＝eq \f(c2－a2,a)．由直线l的倾斜角为45°，且|MF1|＝|NF2|＝|y0|，得|y0|＝c，即eq \f(c2－a2,a)＝c，整理得c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，解得e＝eq \f(\r(5)＋1,2)或e＝eq \f(1－\r(5),2)(舍去)，故选D．
31．从椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，
B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．
31．答案 eq \f(\r(2),2) 解析 由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，kOP＝－eq \f(y0,c)，kAB＝－eq \f(b,a)，由于OP∥AB，所以－
eq \f(y0,c)＝－eq \f(b,a)，y0＝eq \f(bc,a)，把Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(bc,a)))代入椭圆方程得eq \f(（－c）2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bc,a)))\s\up12(2),b2)＝1，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,2)，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
32．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上第二象限内一点，
若直线y＝eq \f(b,a)x恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线C的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．eq \r(5) D．eq \r(6)
32．答案 C 解析 如图，
直线PF2的方程为y＝－eq \f(a,b)(x－c)，设直线PF2与直线y＝eq \f(b,a)x的交点为N，易知Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))．又线段PF2的中点为N，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a2－c2,c)，\f(2ab,c)))．因为点P在双曲线C上，所以eq \f((2a2－c2)2,a2c2)－eq \f(4a2b2,c2b2)＝1，即5a2＝c2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)．故选C．
33．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，若|PQ|＝a，
AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为________．
33．答案 eq \f(2\r(5),5) 解析 不妨设点P在第一象限，O为坐标原点，由对称性可得|OP|＝eq \f(|PQ|,2)＝eq \f(a,2)，因为AP
⊥PQ，所以在Rt△POA中，cs∠POA＝eq \f(|OP|,|OA|)＝eq \f(1,2)，故∠POA＝60°，易得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，\f(\r(3)a,4)))，代入椭圆方程得eq \f(1,16)＋eq \f(3a2,16b2)＝1，故a2＝5b2＝5(a2－c2)，所以椭圆C的离心率e＝eq \f(2\r(5),5)．
34．(2018·全国Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C
的一条渐近线的垂线，垂足为P．若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝eq \r(6)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OP))，则C的离心率为( )
A．eq \r(5) B．2 C．eq \r(3) D．eq \r(2)
34．答案 C 解析 方法一：设渐近线的方程为bx－ay＝0，则直线PF2的方程为ax＋by－ac＝0，由
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋by－ac＝0，,bx－ay＝0，))可得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))，由F1(－c，0)及|PF1|＝eq \r(6)|OP|，得eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)＋c))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ab,c)))2)＝eq \r(6)×eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ab,c)))2)，化简可得3a2＝c2，即e＝eq \r(3)．
方法二：因为|PF2|＝b，|OF2|＝c，∴|PO|＝a，在Rt△POF2中，设∠PF2O＝θ，则有csθ＝eq \f(|PF2|,|OF2|)＝eq \f(b,c)；∵在△PF1F2中，csθ＝eq \f(|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|2,2·|PF2|·|F1F2|)＝eq \f(b,c)，∴eq \f(b2＋4c2－\r(6)a2,2b·2c)＝eq \f(b,c)⇒b2＋4c2－6a2＝4b2⇒4c2－6a2＝3c2－3a2⇒c2＝3a2⇒e＝eq \r(3)．
35．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，
交另一条渐近线于N，若2eq \(MF,\s\up8(→))＝eq \(FN,\s\up8(→))，则双曲线的离心率为________．
35．答案 eq \f(2\r(3),3) 解析 设右焦点F(c，0)，渐近线OM，ON的方程分别为y＝eq \f(b,a)x，y＝－eq \f(b,a)x．不失一般性，
设过F的垂线为x＝－eq \f(b,a)y＋c．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(b,a)x，,x＝－\f(b,a)y＋c))得yN＝eq \f(－\f(bc,a),1－\f(b2,a2))．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(b,a)x，,x＝－\f(b,a)y＋c))得yM＝eq \f(\f(bc,a),1＋\f(b2,a2))．因为2eq \(MF,\s\up8(→))＝eq \(FN,\s\up8(→))，所以－2yM＝yN，即eq \f(－2\f(bc,a),1＋\f(b2,a2))＝eq \f(－\f(bc,a),1－\f(b2,a2))，易解得eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，所以e＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋\f(1,3))＝eq \f(2\r(3),3)．
36．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2(1，0)且斜率为1的直线交椭圆于
A，B，若三角形F1AB的面积等于eq \r(2)b2，则该椭圆的离心率为________．
36．答案 eq \r(3)－1 解析 设椭圆的焦距为2c，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得直线AB的方程为y＝x－1，
与椭圆方程联立，消去x化简得(a2＋b2)y2＋2b2y＋b2－a2b2＝0，由根与系数的关系得，y1＋y2＝eq \f(－2b2,a2＋b2)，y1·y2＝eq \f(b2－a2b2,a2＋b2)，则△F1AB的面积为eq \f(1,2)×2c|y1－y2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2b2,a2＋b2)))2－\f(4b2－a2b2,a2＋b2))＝eq \r(2)b2，化简得－2a2＋2a4＋2a2b2＝b2(a2＋b2)2，又因为b2＝a2－1，所以4a4－8a2＋1＝0，解得a＝eq \f(1＋\r(3),2)，则椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1．
2．f(a，b，c)＝0型(隐含)
所谓隐含型就是题目中没有明显的等量关系，在计算离心率的大小时，根据题目中的条件，利用图形中存在的几何特征掘几何关系，运用点在曲线上或垂直关系或用余弦定理等，建立a，b，c之间的齐次等量关系f(a，b，c)＝0，再化归为关于离心率e的方程求解．
【例题选讲】
[例7 (33)过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)左焦点F的直线l与C交于M，N两点，且eq \(FN,\s\up8(→))＝3eq \(FM,\s\up8(→))，若OM⊥FN，则C的离心率为( )
A．2 B．eq \r(7) C．3 D．eq \r(10)
答案 B 解析 设双曲线的右焦点为F′，取MN的中点P，连接F′P，F′M，F′N，如图所示，由eq \(FN,\s\up8(→))＝3eq \(FM,\s\up8(→))，可知|MF|＝|MP|＝|NP|．又O为FF′的中点，可知OM∥PF′．∵OM⊥FN，∴PF′⊥FN．∴PF′为线段MN的垂直平分线．∴|NF′|＝|MF′|．设|MF|＝t，由双曲线定义可知|NF′|＝3t－2a，|MF′|＝2a＋t，则3t－2a＝2a＋t，解得t＝2a．在Rt△MF′P中，|PF′|＝eq \r(|MF′|2－|MP|2)＝eq \r(16a2－4a2)＝2eq \r(3)a，∴|OM|＝eq \f(1,2)|PF′|＝eq \r(3)a．在Rt△MFO中，|MF|2＋|OM|2＝|OF|2，∴4a2＋3a2＝c2⇒e＝eq \r(7)．故选B．
(34)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，若F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为________．
答案 eq \f(\r(3),3) 解析 如图，∵F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，∴P，F2，M三点共线，
设|PF1|＝m，则|PM|＝m，|MF1|＝m．又|PF1|＋|PM|＋|MF1|＝4a＝3m．∵|PF1|＝eq \f(4,3)a，|PF2|＝eq \f(2,3)a．由余弦定理可得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs eq \f(π,3)＝|F1F2|2，∴a2＝3c2，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)．
(35)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点．P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于M，N．若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为________．
答案 eq \r(3) 解析 由题意，|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a，可得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1O|＝|F2O|，|PO|＝|MO|，得四边形PF1MF2为平行四边形，又∠MF2N＝60°，可得∠F1PF2＝60°，在△PF1F2中，由余弦定理可得，4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cs 60°，即4c2＝20a2－8a2，c2＝3a2，可得c＝eq \r(3)a，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)．
(36)已知F1，F2是双曲线 QUOTE x2a2 － QUOTE y2b2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且 QUOTE AF2→ ＝ QUOTE 13F2B→ ，则该双曲线的离心率为( )
A． QUOTE 62 B． QUOTE 52 C． QUOTE 3 D．2
答案 A 解析 由F2(c，0)到渐近线y＝ QUOTE ba x的距离为d＝ QUOTE bca2+b2 ＝b，即有| QUOTE AF2→ |＝b，则| QUOTE BF2→ |＝3b，在△AF2O中，| QUOTE OA→ |＝a，| QUOTE OF2→ |＝c，tan∠F2OA＝ QUOTE ba ，又有∠AOB＝2∠F2OA，则tan∠AOB= QUOTE 4ba = QUOTE 2×ba1-(ba) 2 ，化简可得a2＝2b2，即有c2＝a2＋b2＝ QUOTE 32 a2，即有e＝ QUOTE ca ＝ QUOTE 62 ．故选A．
(37)设椭圆：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,5)
答案 B 解析 如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且eq \f(|OF|,|FA|)＝eq \f(|OM|,|AB|)＝eq \f(1,2)，即eq \f(c,a－c)＝eq \f(1,2)，解得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,3)．故选B．
(38)已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是双曲线E右支上一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与AF2相切于点Q．若|AQ|＝eq \r(3)，则双曲线E的离心率是( )
A．2eq \r(3) B．eq \r(5) C．eq \r(3) D．eq \r(2)
答案 C 解析 如图，设△PAF2的内切圆与PF2相切于点M．依题意知，|AF1|＝|AF2|，根据双曲线的定义，以及P是双曲线E右支上一点，得2a＝|PF1|－|PF2|，根据三角形内切圆的性质，得|PF1|＝|AF1|＋|PA|＝|AF1|＋(|PM|＋|AQ|)，|PF2|＝|PM|＋|MF2|＝|PM|＋|QF2|＝|PM|＋(|AF2|－|AQ|)．所以2a＝2|AO|＝2eq \r(3)，即a＝eq \r(3)．因为|F1F2|＝6，所以c＝3，所以双曲线E的离心率是e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3)，故选C．
(39)已知F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝eq \f(b,a)x交椭圆于A，B两点，若cs∠AFB＝eq \f(1,3)，则椭圆的离心率是________．
答案 eq \f(2\r(5),5) 解析 令A在第三象限，B在第一象限，将直线方程代入椭圆方程，求得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)a，－\f(\r(2),2)b))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)b))，故|AB|＝eq \r(2)a·eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)．在△ABF中运用面积公式得eq \f(1,2)·|AF|·|BF|·sin∠AFB＝eq \f(1,2)·|OF|·|yA－yB|，①．再运用余弦定理得|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF|·|BF|·cs∠AFB，②．联立①②解得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(5),5)．
(40)在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足eq \f(|PA|,|PB|)＝λ，当λ＞0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足eq \f(|PA|,|PB|)＝2，△PAB的面积最大值为eq \f(16,3)，△PCD面积的最小值为eq \f(2,3)，则椭圆的离心率为________．
答案 eq \f(\r(3),2) 解析 依题意A(－a，0)，B(a，0)，设P(x，y)，依题意得|PA|＝2|PB|，eq \r((x＋a)2＋y2)＝2eq \r((x－a)2＋y2)，两边平方化简得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,3)a))2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)a))2，故圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5a,3)，0))，半径r＝eq \f(4a,3)．所以△PAB的最大面积为eq \f(1,2)·2a·eq \f(4,3)a＝eq \f(16,3)，解得a＝2，△PCD的最小面积为eq \f(1,2)·2b·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5a,3)－\f(4a,3)))＝b·eq \f(a,3)＝eq \f(2,3)，解得b＝1．故椭圆的离心率为e＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(1－\f(1,4))＝eq \f(\r(3),2)．
【对点训练】
37．已知F1，F2分别为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P是椭圆上位于第二象限内的点，延长PF1
交椭圆于点Q，若PF2⊥PQ，且|PF2|＝|PQ|，则椭圆的离心率为( )
A．eq \r(6)－eq \r(3) B．eq \r(2)－1 C．eq \r(3)－eq \r(2) D．2－eq \r(2)
37．答案 A 解析 PF2⊥PQ且|PF2|＝|PQ|，可得△PQF2为等腰直角三角形，设|PF2|＝t，则|QF2|＝eq \r(2)t，
由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－t，2t＋eq \r(2)t＝4a，则t＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\r(2)))a，在直角三角形PF1F2中，可得t2＋(2a－t)2＝4c2,4(6－4eq \r(2))a2＋(12－8eq \r(2))a2＝4c2，化为c2＝(9－6eq \r(2))a2，可得e＝eq \f(c,a)＝eq \r(6)－eq \r(3)．故选A．
38．已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交
于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A．eq \r(7) B．4 C．eq \f(2\r(3),3) D．eq \r(3)
38．答案 A 解析 因为△ABF2为等边三角形，所以不妨设|AB|＝|BF2|＝|AF2|＝m，
因为A为双曲线右支上一点，所以|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a，因为B为双曲线左支上一点，所以|BF2|－|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，由∠ABF2＝60°，得∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中，由余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－2·2a·4a·cs 120°，得c2＝7a2，则e2＝7，又e>1，所以e＝eq \r(7)．故选A．
39．已知F是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|
＝2|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(\r(2),2)
39．答案 C 解析 解法一：设F1是椭圆E的右焦点，如图，连接PF1，QF1.根据对称性，线段FF1与
线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，根据椭圆的定义，|PF|＋|PF1|＝2a，又|PF|＝2|QF|，所以|PF1|＝eq \f(2,3)a，|PF|＝eq \f(4,3)a，而|F1F|＝2c，在△F1PF中，由余弦定理，得(2c)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)a))2－2×eq \f(2,3)a×eq \f(4,3)a×cs60°，得eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,3)，所以椭圆E的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)．故选C．
解法二：设F1是椭圆E的右焦点，连接PF1，QF1.根据对称性，线段FF1与线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，又|FP|＝2|PF1|，所以△FPF1是直角三角形，∠FF1P＝90°，不妨设|PF1|＝1，则|FP|＝2，|FF1|＝2c＝eq \r(|PF|2－|PF1|2)＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，根据椭圆的定义，2a＝|PF|＋|PF1|＝1＋2＝3，所以椭圆E的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)．故选C．
40．已知F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，若F为过AF的椭圆的弦的三等
分点，则椭圆的离心率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)
40．答案 B 解析 延长AF交椭圆于点B，设椭圆左焦点为F′，连接AF′，BF′．根据题意|AF|＝eq \r(b2＋c2)
＝a，|AF|＝2|FB|，所以|FB|＝eq \f(a,2)．根据椭圆定义|BF′|＋|BF|＝2a，所以|BF′|＝eq \f(3a,2)．在△AFF′中，由余弦定理得cs∠F′AF＝eq \f(|F′A|2＋|FA|2－|F′F|2,2|F′A|·|FA|)＝eq \f(2a2－4c2,2a2)．在△AF′B中，由余弦定理得cs∠F′AB＝eq \f(|F′A|2＋|AB|2－|BF′|2,2|F′A|·|AB|)＝eq \f(1,3)，所以eq \f(2a2－4c2,2a2)＝eq \f(1,3)，解得a＝eq \r(3)c，所以椭圆离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)．故选B．
41．设F1，F2分别是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若
△AF1F2的面积是△BF1F2面积的三倍，cs∠AF2B＝eq \f(3,5)，则椭圆E的离心率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(2,3) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(2),2)
41．答案 D 解析 设|F1B|＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k>0))，依题意可得|AF1|＝3k，|AB|＝4k，∴|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－
k．∵cs∠AF2B＝eq \f(3,5)，在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cs∠AF2B，∴(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－eq \f(6,5)(2a－3k)(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a－3k＝0，a＝3k，∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，∴|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形．∴c＝eq \f(\r(2),2)a，椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)．
42．在直角坐标系xOy中，设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，P为双曲线C的右支上一点，
且△OPF为正三角形，则双曲线C的离心率为( )
A．eq \r(3) B．eq \f(2\r(3),3) C．1＋eq \r(3) D．2＋eq \r(3)
42．答案 C 解析 设F′为双曲线的左焦点，|F′F|＝2c，依题意可得|PO|＝|PF|＝c，连接PF′，由双曲线
的定义可得|PF′|－|PF|＝2a，故|PF′|＝2a＋c，在△PF′O中，∠POF′＝120°，由余弦定理可得cs120°＝eq \f(c2＋c2－2a＋c2,2c2)，化简可得c2－2ac－2a2＝0，即(eq \f(c,a))2－2×eq \f(c,a)－2＝0，解得eq \f(c,a)＝1＋eq \r(3)或eq \f(c,a)＝1－eq \r(3)(不合题意，舍去)，故双曲线的离心率e＝1＋eq \r(3)，故选C．
43．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为半径的圆交C的
右支于P，Q两点，△APQ的一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．
43．答案 eq \f(4,3) 解析 设左焦点为F1，由于双曲线和圆都关于x轴对称，又△APQ的一个内角为60°，∴
∠PAF＝30°，∠PFA＝120°，|AF|＝|PF|＝c＋a，∴|PF1|＝3a＋c，在△PFF1中，由余弦定理得，|PF1|2＝|PF|2＋|F1F|2－2|PF||F1F|cs∠F1FP，即3c2－ac－4a2＝0，即3e2－e－4＝0，∴e＝eq \f(4,3)(舍负)．
44．已知O为坐标原点，F是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C
上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,4)
44．答案 A 解析 解法一：设E(0，m)，则直线AE的方程为－eq \f(x,a)＋eq \f(y,m)＝1，由题意可知M(－c，m－eq \f(mc,a))，
(0，eq \f(m,2))和B(a，0)三点共线，则eq \f(m－\f(mc,a)－\f(m,2),－c)＝eq \f(\f(m,2),－a)，化简得a＝3c，则C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,3)．
解法二：如图所示，由题意得A(－a，0)，B(a，0)，F(－c，0)．
由PF⊥x轴得P(－c，eq \f(b2,a))．设E(0，m)，又PF∥OE，得eq \f(|MF|,|OE|)＝eq \f(|AF|,|AO|)，则|MF|＝eq \f(ma－c,a)，①．又由OE∥MF，得eq \f(\f(1,2)|OE|,|MF|)＝eq \f(|BO|,|BF|)，则|MF|＝eq \f(ma＋c,2a)，②．由①②得a－c＝eq \f(1,2)(a＋c)，即a＝3c，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,3)，故选A．
45．已知椭圆的短轴长为8，点F1，F2为其两个焦点，点P为椭圆上任意一点，△PF1F2的内切圆面积的
最大值为eq \f(9π,4)，则椭圆的离心率为( )
A．eq \f(4,5) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(3,5) D．eq \f(2\r(2),3)
45．答案 C 解析 不妨设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则2b＝8，即b＝4，设△PF1F2内切圆
的半径为r，则有S△PF1F2＝eq \f(1,2)(2a＋2c)r＝eq \f(1,2)×2c|yP|，即r＝eq \f(c|yP|,a＋c)，当点P运动到椭圆短轴的端点时，r有最大值eq \f(3,2)，此时|yP|＝b，于是有eq \f(4c,a＋c)＝eq \f(3,2)，即3a＝5c，故椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,5)．
46．椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使得△PF1F2的内心I与重心
G满足IG∥F1F2，则椭圆的离心率为( )
A．eq \f(\r(2),2) B．eq \f(2,3) C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,2)
46．答案 D 解析 设P(x0，y0)，又F1(－c，0)，F2(c，0)，则△PF1F2的重心Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0,3)，\f(y0,3)))．因为IG∥F1F2，
所以△PF1F2的内心I的纵坐标为eq \f(y0,3)．即△PF1F2的内切圆半径为eq \f(|y0|,3)．由△PF1F2的面积S＝eq \f(1,2)(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)r，S＝eq \f(1,2)|F1F2||y0|及椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a，得eq \f(1,2)(2a＋2c)eq \f(|y0|,3)＝eq \f(1,2)×2c|y0|，解得e＝eq \f(1,2)．故选D．