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数学选修2-3第一章 计数原理综合与测试免费精练
展开专题强化练3 形如“(a+b)n·(c+d)m”及“(a+b+c)n”的问题
一、选择题
1.(2019吉林长春高二期末,★★☆)的展开式中含x5项的系数为( )
A.160 B.210 C.120 D.252
2.(2019河北枣强中学高二期末,★★☆)(1+2x)8·的展开式中x2y2的系数是( )
A.58 B.62 C.52 D.42
3.(2019辽宁营口第一高级中学高二下学期期末,★★☆)(x2-x-1)(x+2)5的展开式中x4的系数为( )
A.25 B.30 C.35 D.40
4.(2019湖南师范大学附属中学高三上学期期末,★★☆)(x+3y)(x-2y)5的展开式中x2y4的系数为( )
A.-320 B.-160 C.160 D.320
5.(2019河北省级示范性高中联合体联考,★★☆)(1+x)5的展开式中x2的系数为( )
A.1 B.-9 C.31 D.-19
6.(2019四川宜宾第三中学高三月考,★★☆)(x2+2)·的展开式中的常数项是( )
A.3 B.-2 C.2 D.-3
7.(2019山西永济中学高二期末,★★☆)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A.-80 B.-40 C.40 D.80
8.(2019江西新余高二期末,★★☆)在(x-2)5的展开式中,x的系数为( )
A.-32 B.-8 C.8 D.48
二、填空题
9.(2019江西九江第一次高考模拟,★★☆)若(x+2)·的展开式中常数项等于80,则a= .
10.(2019河南洛阳高三第一次统一考试,★★☆)(3x+2y)2(x-y)7的展开式中含有x5y4的项的系数为 .
11.(2019福建泉州高二期末,★★☆)(x+1)展开式中的常数项是 (用数字作答).
答案全解全析
一、选择题
1.D =,的展开式的通项为Tr+1=·(x2)10-r=x20-3r(r=0,1,2,…,10),当r= 5时,T6=x5=252x5.故选D.
2.D (1+2x)8的展开式中x2y2的系数是·22··=42.故选D.
3.B 因为(x+2)5的展开式的通项为Tk+1=x5-k2k(k=0,1,2,3,4,5),所以(x2-x-1)×(x+2)5的展开式中含x4的项为x2×23x2,-x×22x3和-1×2x4,因为23-22-2=30,所以x4的系数为30,故选B.
4.B 由题意得,(x-2y)5的展开式中第(r+1)项为Tr+1=·x5-r·(-2y)r(r=0,1,2,3,4,5),
令5-r=1,得r=4;令5-r=2,得r=3.故在(x+3y)(x-2y)5的展开式中,x2y4的系数为×(-2)4+3××(-2)3=-160.故选B.
5.B 由题意得,(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=xr(r=0,1,2,3,4,5),其中x2的系数、常数项、x3的系数分别为,,,故(1+x)5的展开式中x2的系数为+-2=-9.故选B.
6.A 第一个因式取x2,第二个因式取,可得1××(-1)4=5;
第一个因式取2,第二个因式取(-1)5,可得2×(-1)5=-2,
故(x2+2)的展开式中的常数项是5+(-2)=3,故选A.
7.C 要求(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数,需x+y中的x与(2x-y)5展开式中的x2y3相乘,x+y中的y与(2x-y)5展开式中的x3y2相乘,而(2x-y)5的展开式中,含x2y3的项为(2x)2(-y)3=-40x2y3,含x3y2的项为(2x)3·(-y)2=80x3y2,所以(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为-40+80=40,故选C.
8.C (x-2)5的展开式的通项为Tr+1=x5-r·(-2)r(r=0,1,2,3,4,5),其与x相乘可得x·x5-r·(-2)r=(-2)rx6-r,当r=5时,得(-2)5·x=-32x;其与相乘可得·x5-r(-2)r=(-2)rx3-r,当r=2时,得·(-2)2x=40x,故x的系数为-32+40=8.故选C.
二、填空题
9.答案 2
解析 因为的展开式的通项为Tr+1=·(-1)r·a5-r·x2r-5(r=0,1,2,3,4,5),显然2r-5为奇数,所以若求(x+2)·展开式中的常数项,需令2r-5=-1,所以r=2,
故(x+2)的展开式中的常数项为·a3=80,解得a=2.
10.答案 -21
解析 原式可化为(9x2+12xy+4y2)·(x-y)7,根据乘法的分配律,x5y4的来源有三个:9x2与x3y4的乘积,12xy与x4y3的乘积,4y2与x5y2的乘积,即9·(-1)4+12·(-1)3+4·(-1)2=-21.
11.答案 -80
解析 ∵(x+1)=x+,∴x的展开式的通项为Tr+1=x·x5-r·=·x6-2r·(-2)r,的展开式的通项为Tk+1=·x5-k·=·x5-2k·(-2)k,其中r,k∈{0,1,2,3,4,5},
令解得r=3,k不存在,
∴(x+1)展开式中的常数项是·(-2)3=-80,故答案为-80.
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