专题02 复数（解析版）

专题02 复数

一、单选题

1．（2022·河北深州市中学高三期末）已知复数（其中i为虚数单位，）在复平面内对应的点为，则实数a的值为（       ）

A．1 B．2 C． D．0

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用复数的乘法化简，再利用复数的几何意义求解.

【详解】

因为，

又因为复数在复平面内对应的点为，

所以，

解得

故选：A

2．（2022·河北保定·高三期末）（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复数的四则运算计算即可.

【详解】

.

故选：B

3．（2022·河北张家口·高三期末）已知，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的除法化简可得结果.

【详解】

，

故选：A.

4．（2021·福建·莆田二中高三期末）复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（       ）个.

A．9 B．10 C．11 D．无数

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据复数的模为1及复数模的运算公式，求得即，接下来分与两种情况进行求解，结合，求出的个数.

【详解】

，其中，所以，即，，当时，①，，所以，，因为，所以或；②，，所以，，因为，所以，，，，或；当时，①，，即，，因为，所以，②，，即，，因为，所以，，，，，综上：，，一共有11个.

故选：C

5．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）设复数满足，则（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给定条件结合复数除法计算复数，进而计算的模作答.

【详解】

因复数满足，则，

所以.

故选：C

6．（2022·山东枣庄·高三期末）已知为虚数单位，则（       ）．

A．1 B． C．I D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由于，故可以化简为，即可得到答案.

【详解】

.

故选：B.

7．（2022·山东德州·高三期末）已知复数z满足，其中为虛数单位，则复数z在复平面内所对应的点在（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

根据复数的模长公式以及四则运算得出，最后确定复数z在复平面内所对应的点的象限.

【详解】

，

则复数z在复平面内所对应的点坐标为，在第一象限.

故选：A

8．（2022·山东淄博·高三期末）已知复数z是纯虚数，是实数，则（       ）

A．－ B． C．－2 D．2

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意设，代入中化简，使其虚部为零，可求出的值，从而可求出复数，进而可求得其共轭复数

【详解】

由题意设，

则，

因为是实数，所以，得，

所以，

所以，

故选：B

9．（2022·山东临沂·高三期末）已知复数，为虚数单位，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用复数除法运算求得，然后求得.

【详解】

，

.

故选：C

10．（2022·湖北武昌·高三期末）已知复数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先得出，由复数的乘法运算可得答案.

【详解】

复数，则

则

故选：D

11．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知复数数列满足，，，（为虚数单位），则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得的值.

【详解】

由已知可得，因此，数列是以为首项，以为公比的等比数列，

所以，，故.

故选：D.

12．（2022·湖北江岸·高三期末）已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义可得结果.

【详解】

由已知可得，因此，.

故选：C.

13．（2022·湖北襄阳·高三期末）下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（       ）

A． B．复数在复平面内对应点在直线上

C．的共轭复数为 D．的虚部为

【答案】B

【解析】

【分析】

化简复数为代数形式，然后求模，写出对应点的坐标．得其共轭复数及虚部，判断各选项即得．

【详解】

∵，

所以，A错误；

所以复数在复平面内对应点坐标为，在直线上，B正确；

所以的共轭复数为，C错误；

所以的虚部为，D错误．

故选：B．

14．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）复数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先计算，再根据共轭复数的概念即可求解.

【详解】

根据复数除法的运算法则可得 ，所以可得其共轭复数.

故选：D.

15．（2022·湖北·高三期末）已知复数，则复数的共轭复数的模为（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算得，再根据共轭复数的概念与模的公式计算即可.

【详解】

解：因为，

所以，

所以复数的共轭复数为，其模为.

故选：D

16．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）若．设，则（       ）

A．2i B．2 C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据求出，结合复数的乘法运算即可.

【详解】

由，得，

所以.

故选：B

17．（2022·湖南常德·高三期末）已知复数z满足：，则（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根据复数的除法运算求出，然后根据复数的乘法运算即可求出结果.

【详解】

因为，

所以，

因此.

故选：A.

18．（2022·湖南娄底·高三期末）复数在复平面内对应的点位于（       ）．

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

由复数乘法法则计算出，然后可得其对应点的坐标，得所在象限．

【详解】

∵，

∴z在复平面内对应的点为，位于第一象限．

故选：A．

19．（2022·湖南郴州·高三期末）已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复数的模和除法运算，即可得到答案；

【详解】

，

故选：B

20．（2022·广东揭阳·高三期末）复数满足为虚数单位，则的模为（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【解析】

【分析】

先做除法运算求出复数，再根据复数模的计算公式求其模.

【详解】

由得，从而

21．（2022·广东潮州·高三期末）已知i为虚数单位，复数，则z的虚部为（       ）

A．0 B．－1 C．－i D．1

【答案】B

【解析】

【分析】

化简复数， z的虚部为前面的系数，即可得到答案.

【详解】

.则z的虚部为－1.

故选：B.

22．（2022·广东罗湖·高三期末）已知复数（为虚数单位），则z的共轭复数（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

求出复数，进而可得其共轭复数.

【详解】

，

则

故选：D.

23．（2022·广东清远·高三期末）已知i为虚数单位，复数z的共轭复数满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

结合复数除法运算求出，进而得出.

【详解】

因为，所以．

故选：B

24．（2022·广东汕尾·高三期末）若复数z满足其中（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

化简可得，根据共轭复数的概念，即可得答案.

【详解】

因为，

所以，

故选：D．

25．（2022·江苏通州·高三期末）（       ）

A．1 B．i C．－1 D．－i

【答案】C

【解析】

【分析】

由复数的除法和复数的乘方运算计算．

【详解】

，

所以．

故选：C．

26．（2022·江苏宿迁·高三期末）已知复数满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.

【详解】

由已知可得，因此，.

故选：C.

27．（2022·江苏扬州·高三期末）若复数z＝（为虚数单位），则它在复平面上对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

化简复数z＝，得到其对应点的坐标即可解决.

【详解】

z，

则z在复平面上对应的点为，位于第四象限.

故选：D

28．（2022·江苏海安·高三期末）已知复数z满足(1－i)z＝2＋3i（i为虚数单位），则z＝（       ）

A．－＋i B．＋i

C．－i D．－－i

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的运算法则求解.

【详解】

∵(1－i)z＝2＋3i,

∴.

故选：A.

29．（2022·江苏如东·高三期末）已知复数z满足，则z＝（       ）

A．4＋3i B．4－3i C．3＋4i D．3－4i

【答案】C

【解析】

【分析】

将中的 ，根据 化简，即可得答案.

【详解】

因为，

故由可得：，即，

故选：C.

30．（2022·江苏苏州·高三期末）设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

用复数的乘法法则及纯虚数的定义即可.

【详解】

为纯虚数，

，，

故选:A．

31．（2022·江苏无锡·高三期末）已知（为虚数单位，）为纯虚数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

先利用复数除法法则进行化简，结合纯虚数条件列出方程，求出的值.

【详解】

为纯虚数，

，，

故选：C.

二、多选题

32．（2022·河北唐山·高三期末）已知复数（且），是z的共扼复数，则下列命题中的真命题是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】

【分析】

由题知，进而根据复数的加减乘除运算依次讨论各选项即可得答案.

【详解】

解：对于A选项，，，所以，故正确；

对于B选项，，，，故错误；

对于C选项，，，，故正确；

对于D选项，，，，

所以当时，，当时，，故错误.

故选：AC

33．（2022·山东莱西·高三期末）已知复数，为虚数单位，，则下列正确的为（       ）

A．若z是实数，则 B．复平面内表示复数z的点位于一条抛物线上

C． D．若，则

【答案】BC

【解析】

【分析】

以实数定义求出参数a判断选项A；以复数z对应点的坐标判断选项B；求出复数z的模判断选项C；以复数相等求出参数a判断选项D.

【详解】

选项A：由复数是实数可知，解之得.选项A判断错误；

选项B：复数在复平面内对应点，其坐标满足方程，即点位于抛物线上. 判断正确；

选项C：由，可得

.判断正确；

选项D： 即

可得，解之得.选项D判断错误.

故选：BC

34．（2022·广东东莞·高三期末）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】

若 ，则， ，利用复数代数运算，可以判断AB；利用复数的三角运算，可以判断C；利用数形结合，可以判断D.

【详解】

对于A：

若 ，则，故，

所以A正确；

对于B：

若，则，

所以B正确；

对于C：

设 ，

则 ，故 ，

所以C正确；

对于D：

如下图所示，若 ，，则，，故 ，

所以D错误.

故选：ABC

35．（2022·江苏如皋·高三期末）关于复数 (i为虚数单位)，下列说法正确的是（       ）

A．|z|＝1 B．z＋z2＝－1 C．z3＝－1 D．(z＋1)3＝i

【答案】AB

【解析】

【分析】

根据复数模的计算公式求得复数的模，可判断A;根据复数的乘方运算可判断B,C,D.

【详解】

由复数,可得 ，故A正确；

，故B正确；

，故C错误；

，故D错误，

故选：AB.

36．（2022·江苏苏州·高三期末）下列命题正确的是（       ）

A．若为复数，则

B．若为向量，则

C．若为复数，且，则

D．若为向量，且，则

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据复数运算、向量运算的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】

令，，，

，

，，

，A对；

，不一定成立，B错；

，，

，，

，C错．

将两边平方并化简得，D对.

故选：AD

三、填空题

37．（2021·福建·莆田二中高三期末）设，记为不大于的最大整数，为不小于的最小整数．设集合,，则在复平面内对应的点的图形面积是______

【答案】

【解析】

【分析】

依题意表示出集合，，从求出，再根据复数的几何意义求出复数的轨迹，即可得解；

【详解】

解：依题意由，所以，由，所以，所以，，所以

设，由，所以，所以，所以复数再复平面内对应的点为在复平面内到坐标原点的距离大于等于且小于等于的圆环部分，

所以圆环的面积

故答案为：

38．（2022·广东佛山·高三期末）在复平面内，复数z对应的点的坐标是.则___________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.

【详解】

在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则，

所以.

故答案为：

39．（2022·江苏常州·高三期末）是虚数单位，已知复数满足等式，则的模________．

【答案】

【解析】

【分析】

以复数运算规则和复数模的运算性质对已知条件进行变形整理，是本题的简洁方法.

【详解】

由，可得

则有，即，故有

故答案为：