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专题01 五组秒杀公式模型(解析版)
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这是一份专题01 五组秒杀公式模型(解析版)，共23页。
[例1] (1)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．eq \r(3)或eq \f(2\r(3),3) D．eq \f(2\r(3),3)或2
答案 D 解析 秒杀 ∵两条渐近线的夹角为60°，∴一条渐近线的倾斜角为30°，斜率为eq \f(\r(3),3)．∴e＝eq \r(1＋k2)＝eq \f(2\r(3),3)．或一条渐近线的倾斜角为60°，斜率为eq \r(3)．∴e＝eq \r(1＋k2)＝2．故选D．
通法 ∵两条渐近线的夹角为60°，且两条渐近线关于坐标轴对称，∴eq \f(b,a)＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)或eq \f(b,a)＝tan 60°＝eq \r(3)．由eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),3)，得eq \f(b2,a2)＝eq \f(c2－a2,a2)＝e2－1＝eq \f(1,3)，∴e＝eq \f(2\r(3),3)(舍负)；由eq \f(b,a)＝eq \r(3)，得eq \f(b2,a2)＝eq \f(c2－a2,a2)＝e2－1＝3，∴e＝2(舍负)．故选D．
(2)双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \r(7)x，则E的离心率为( )
A．2 B．eq \f(2\r(14),7) C．2eq \r(2) D．2eq \r(3)
答案 C 解析 秒杀 ∵渐近线的斜率为±eq \r(7)．∴e＝eq \r(1＋k2)＝2eq \r(2)．
通法 由题意，双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \r(7)x，即eq \f(b,a)＝eq \r(7)，所以双曲线的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝2eq \r(2)，故选．
(3)(2019·全国Ⅰ)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
A．2sin 40° B．2cs 40° C.eq \f(1,sin 50°) D.eq \f(1,cs 50°)
答案 D 解析 秒杀 由题意可得－eq \f(b,a)＝tan 130°，所以e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋tan2130°)＝eq \r(1＋\f(sin2130°,cs2130°))＝eq \f(1,|cs 130°|)＝eq \f(1,cs 50°)．故选D．
(4)(2017·全国Ⅲ)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A．eq \f(\r(6),3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(\r(2),3) D．eq \f(1,3)
答案 A 解析 秒杀 由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝eq \f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq \r(3)b，∴eq \f(b,a)＝eq \f(1,\r(3))，∴e＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3))))2)＝eq \f(\r(6),3)．故选A．
(5) (2019·全国Ⅰ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若eq \(F1A,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))，eq \(F1B,\s\up8(→))·eq \(F2B,\s\up8(→))＝0，则C的离心率为________．
答案 2 解析 秒杀 由eq \(F1A,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))，得A为F1B的中点．又∵O为F1F2的中点，∴OA∥BF2．又eq \(F1B,\s\up8(→))·eq \(F2B,\s\up8(→))＝0，∴∠F1BF2＝90°．∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B．又∵∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2为等边三角形．∴一条渐近线的倾斜角为60°，斜率为eq \r(3)．∴e＝eq \r(1＋k2)＝2．
通法一：由eq \(F1A,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))，得A为F1B的中点．又∵O为F1F2的中点，∴OA∥BF2．又eq \(F1B,\s\up8(→))·eq \(F2B,\s\up8(→))＝0，∴∠F1BF2＝90°．∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B．又∵∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2为等边三角形．如图所示，不妨设B为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，－\f(\r(3),2)c))．∵点B在直线y＝－eq \f(b,a)x上，∴eq \f(b,a)＝eq \r(3)，∴离心率e＝eq \f(c,a)＝2．
通法二：∵eq \(F1B,\s\up8(→))·eq \(F2B,\s\up8(→))＝0，∴∠F1BF2＝90°．在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴|OF2|＝|OB|＝c．如图，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得eq \f(|BH|,|OH|)＝eq \f(b,a)，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F2(c，0)．又∵eq \(F1A,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))，∴A为F1B的中点．∴OA∥F2B，∴eq \f(b,a)＝eq \f(b,c－a)，∴c＝2a，∴离心率e＝eq \f(c,a)＝2．
【对点训练】
1．已知F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F1，F2分别作x轴的垂线，交渐
近线于点M，N，且点M，N在x轴的同侧，若四边形MNF2F1为正方形，则该双曲线的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．eq \r(5)
1．答案 D 解析 秒杀 由题意，∴e＝eq \r(1＋k2)＝eq \r(5)．
通法 不妨设点M，N在x轴的上方，把x＝c代入渐近线的方程y＝eq \f(b,a)x，得y＝eq \f(bc,a)．因为四边形MNF2F1为正方形，所以eq \f(bc,a)＝2c，所以b＝2a，由此可得c＝eq \r(5)a．所以该双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)．故选D．
2．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于( )
A．eq \r(6) B．eq \f(2\r(3),3) C．eq \r(10) D．eq \r(3)
2．答案 C 解析 秒杀 由于双曲线的一条渐近线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则双曲线的渐近线方程为
y＝±3x，∴e＝eq \r(1＋k2)＝eq \r(10)．
通法 由于双曲线的一条渐近线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则双曲线的渐近线方程为y＝±3x，可得eq \f(b,a)＝3，可得b2＝9a2，即c2－a2＝9a2，亦即c2＝10a2，故离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(10)．
3．已知F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一
条渐近线上，则双曲线C的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．eq \r(5)
3．答案 C 解析 秒杀 依题意，设双曲线的渐近线y＝eq \f(b,a)x的倾斜角为θ，则由双曲线的对称性得3θ＝
π，θ＝eq \f(π,3)，∴e＝eq \r(1＋k2)＝2．选C．
通法 依题意，设双曲线的渐近线y＝eq \f(b,a)x的倾斜角为θ，则由双曲线的对称性得3θ＝π，θ＝eq \f(π,3)，eq \f(b,a)＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)，双曲线C的离心率e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝2，选C．
4．双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，
且交y轴于B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．eq \f(\r(6),2)
4．答案 A 解析 秒杀 由题易知双曲线C的一条渐近线与x轴的夹角为eq \f(π,4)，∴e＝eq \r(1＋k2)＝eq \r(2)．故选
A．
通法 由题易知双曲线C的一条渐近线与x轴的夹角为eq \f(π,4)，故双曲线C的离心率e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)))eq \s\up12(－1)＝eq \r(2)．故选A．
5．(2019·天津)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．若l与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线
分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．eq \r(5)
5．答案 D 解析 秒杀 由题设知k＝2，e＝eq \r(1＋k2)＝eq \r(5)．故选D．
通法 由已知易得，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l：x＝－1，所以|OF|＝1．又双曲线的两条渐近线的方程为y＝±eq \f(b,a)x，不妨设点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(b,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(b,a)))，所以|AB|＝eq \f(2b,a)＝4|OF|＝4，所以eq \f(b,a)＝2，即b＝2a，所以b2＝4a2．又双曲线方程中c2＝a2＋b2，所以c2＝5a2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)．
6．已知F是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，过点F作垂直于x轴的直线交该双曲线的一条渐
近线于点M，若|FM|＝2a，记该双曲线的离心率为e，则e2＝( )
A．eq \f(1＋\r(17),2) B．eq \f(1＋\r(17),4) C．eq \f(2＋\r(5),2) D．eq \f(2＋\r(5),4)
6．答案 A 解析 秒杀 由题意得，,∴e4－e2－4＝0，解得e2＝eq \f(1＋\r(17),2)，故选A．
通法 由题意得，F(－c，0)，该双曲线的一条渐近线为y＝－eq \f(b,a)x，将x＝－c代入y＝－eq \f(b,a)x得y＝eq \f(bc,a)，∴eq \f(bc,a)＝2a，即bc＝2a2，∴4a4＝b2c2＝c2(c2－a2)，∴e4－e2－4＝0，解得e2＝eq \f(1＋\r(17),2)，故选A．
7．(2017·全国Ⅱ)若双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则
C的离心率为( )
A．2 B．eq \r(3) C．eq \r(2) D．eq \f(2\r(3),3)
7．答案 A 解析 秒杀 设双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，化成一般式bx－ay＝0，圆心(2，0)到直
线的距离为eq \r(22－12)＝eq \f(|2b|,\r(a2＋b2))，解得eq \f(b,a)＝eq \r(3)，e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝2．
8．过双曲线 QUOTE x2a2 － QUOTE y2b2 =1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点
分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为( )
A． QUOTE 3 B) QUOTE 5 C． QUOTE 10 D． QUOTE 13
8．答案 C 解析 秒杀 双曲线渐近线方程为y＝± QUOTE ba x，与直线y＝－(x－a)联立．由－ QUOTE ba x＝－x＋a，
得x＝ QUOTE a2a-b ，由 QUOTE ba x＝－x＋a，得x＝ QUOTE a2a+b ．根据题意，若 QUOTE a2a-b ·a= QUOTE a2a+b2 ，得a(a－b)＝(a＋b)2，此式不可能，若 QUOTE a2a+b ·a＝ QUOTE a2a-b2 ，则a(a＋b)＝(a－b)2，解得b＝3a．双曲线的离心率e＝＝ QUOTE 10 ．故选C．
9．设F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点，点P在双曲线C的右支上且
|F1F2|＝2|OP|，△PF1F2的面积为a2，则双曲线的离心率是( )
A．eq \r(5) B．eq \r(2) C．4 D．2
9．答案 B 解析 秒杀 由|F1F2|＝2|OP|可知|OP|＝c，所以△PF1F2为直角三角形，可知a2＝b2eq \f(1,tan \f(θ,2))．∴
a2＝b2，e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(2)．
通法 由|F1F2|＝2|OP|可知|OP|＝c，所以△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2．由Seq \s\d0 (△PF1F2)＝a2可知|PF1||PF2|＝2a2，又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2．∴(|PF1|－|PF2|)2＝－2|PF1||PF2|＋|F1F2|2，即4a2＝－4a2＋4c2，∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(8,4)＝2，又e＞1，∴e＝eq \r(2)，故选B．
10．设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E(0，t)(0椭圆上，且点P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的最小值为4b，则椭圆C的离心率为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),3)
10．答案 A 解析 秒杀 △PEF2的周长为|PE|＋|PF2|＋|EF2|＝|PE|＋2a－|PF1|＋|EF2|＝2a＋|EF2|＋|PE|
－|PF1|≥2a＋|EF2|－|EF1|＝2a＝4b，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(1－\f(1,4))＝eq \f(\r(3),2)．故选A．
11．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交
l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且eq \(AF,\s\up7(―→))与eq \(FB,\s\up7(―→))反向，则该双曲线的离心率为( )
A．eq \f(\r(5),2) B．eq \r(3) C．eq \r(5) D．eq \f(5,2)
11．答案 C 解析 秒杀 设实轴长为2a，虚轴长为2b，令∠AOF＝α，则由题意知tan α＝eq \f(b,a)，在△AOB
中，∠AOB＝180°－2α，tan∠AOB＝－tan2α＝eq \f(|AB|,|OA|)，∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴设|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d，∵OA⊥BF，∴(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，整理得d＝eq \f(1,4)m，∴－tan2α＝－eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(|AB|,|OA|)＝eq \f(m,\f(3,4)m)＝eq \f(4,3)，解得eq \f(b,a)＝2或eq \f(b,a)＝－eq \f(1,2)(舍去)，e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(5)．
12．已知F为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且eq \(MF,\s\up7(―→))·eq \(NF,\s\up7(―→))
＝0，△MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为________．
12．答案 eq \r(2) 解析 秒杀 因为eq \(MF,\s\up7(―→))·eq \(NF,\s\up7(―→))＝0，所以eq \(MF,\s\up7(―→))⊥eq \(NF,\s\up7(―→))．设双曲线的左焦点为F′，则由双曲线
的对称性知四边形F′MFN为矩形，则有|MF|＝|NF′|，|MN|＝2c．不妨设点N在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF′|－|NF|＝2a，所以|MF|－|NF|＝2a．因为S△MNF＝eq \f(1,2)|MF|·|NF|＝ab，所以|MF||NF|＝2ab．在Rt△MNF中，|MF|2＋|NF|2＝|MN|2，即(|MF|－|NF|)2＋2|MF||NF|＝|MN|2，所以(2a)2＋2·2ab＝(2c)2，把c2＝a2＋b2代入，并整理，得eq \f(b,a)＝1，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(2)．
第Ⅱ组秒杀公式
(1)e椭圆＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq \f(sin∠F1PF2,sin∠F1F2P＋sin∠F2F1P)．
(2)e双曲线＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|P F1|－|P F2|)＝eq \f(sin∠F1PF2,|sin∠F1F2P－sin∠F2F1P|)．
[例2] (6)设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A．eq \f(\r(3),6) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),3)
答案 D 解析 秒杀 在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2，|F1F2|＝eq \r(3)．∴e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq \f(\r(3),3)．
通法 如图，在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝eq \f(2c,cs 30°)＝eq \f(4\r(3)c,3)，
|PF2|＝2c·tan 30°＝eq \f(2\r(3)c,3)．∵|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq \f(4\r(3)c,3)＋eq \f(2\r(3)c,3)＝2a，可得eq \r(3)c＝a．∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)．
(7) (2018·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－eq \f(\r(3),2) B．2－eq \r(3) C．eq \f(\r(3)－1,2) D．eq \r(3)－1
答案 D 解析 秒杀 e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF2|＋|PF1|)＝eq \f(sin∠F1PF2,sin∠PF1F2＋sin∠PF2F1)＝eq \f(sin90°,sin30°＋sin60°)eq \r(3)－1．故选D．
通法 由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝eq \r(3)c．由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq \r(3)c＋c＝2a，所以(eq \r(3)＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1．故选D．
(8)已知F1，F2分别是双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝eq \f(1,3)，则E的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \f(3,2) C．eq \r(3) D．2
答案 A 解析 秒杀 作出示意图，如图，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|MF2|－|MF1|)＝eq \f(sin∠F1MF2,sin∠MF1F2－sin∠MF2F1)＝eq \f(\f(2\r(2),3),1－\f(1,3))＝eq \r(2)．故选A．
通法 因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝eq \f(b2,a)．又sin∠MF2F1＝eq \f(1,3)，所以eq \f(|MF1|,|MF2|)＝eq \f(1,3)，即|MF2|＝3|MF1|．由双曲线的定义，得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝eq \f(2b2,a)，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)．故选A．
(9)点P是椭圆上任意一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2的最大值是60°，则椭圆的离心率e＝________．
答案 eq \f(1,2) 解析 秒杀 e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF2|＋|PF1|)＝eq \f(1,2)
通法 如图所示，当点P与点B重合时，∠F1PF2取得最大值60°，此时|OF1|＝c，|PF1|＝|PF2|＝2c．由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4c＝2a，所以椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)．
(10)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，若F关于直线eq \r(3)x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为________．
答案 eq \r(3)－1 解析 秒杀 设F′为椭圆的右焦点，则AF⊥AF′，∠AF′F＝eq \f(π,3)，∴|AF|＝eq \r(3)|AF′|，|FF′|＝2|AF′|，因此椭圆C的离心率为eq \f(2c,2a)＝eq \f(|FF′|,|AF|＋|AF′|)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1．
(11) (2018·北京)已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，双曲线N：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
答案 eq \r(3)－1 2 解析 秒杀 双曲线N的离心率e1＝eq \r(1＋tan260°)＝2．椭圆M的离心率e2＝eq \f(sin∠FDC,sin∠DFC＋sin∠DCF)＝eq \f(sin90°,sin30°＋sin60°)＝eq \r(3)－1．
通法一：如图，∵双曲线N的渐近线方程为y＝±eq \f(n,m)x，∴eq \f(n,m)＝tan 60°＝eq \r(3)，∴双曲线N的离心率e1满足eeq \\al(2,1)＝1＋eq \f(n2,m2)＝4，∴e1＝2．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得x2＝eq \f(a2b2,3a2＋b2)．设D点的横坐标为x，由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2．∴eq \f(4a2b2,3a2＋b2)＝a2－b2，得3a4－6a2b2－b4＝0，∴3－eq \f(6b2,a2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a2)))2＝0，解得eq \f(b2,a2)＝2eq \r(3)－3．∴椭圆M的离心率eeq \\al(2,2)＝1－eq \f(b2,a2)＝4－2eq \r(3)．∴e2＝eq \r(3)－1．
通法二：∵双曲线N的渐近线方程为y＝±eq \f(n,m)x，则eq \f(n,m)＝tan 60°＝eq \r(3)．又c1＝eq \r(m2＋n2)＝2m，∴双曲线N的离心率为eq \f(c1,m)＝2．如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形边长为1，则|FC|＝2c2＝2，即c2＝1．又E为椭圆M上一点，则|EF|＋|EC|＝2a，即1＋eq \r(3)＝2a，a＝eq \f(1＋\r(3),2)．∴椭圆M的离心率为eq \f(c2,a)＝eq \f(2,1＋\r(3))＝eq \r(3)－1．
(12)如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的交点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝eq \f(π,3)，则C1与C2的离心率之和为( )
A．2eq \r(3) B．4 C．2eq \r(5) D．2eq \r(6)
答案 A 解析 秒杀 连接AF2，椭圆C1的离心率e1＝eq \f(sin∠F1AF2,sin∠AF1F2＋sin∠AF2F1)＝eq \f(sin90°,sin60°＋sin30°)＝eq \r(3)－1．双曲线C2的离心率e2＝eq \f(sin∠F1AF2,sin∠AF1F2－sin∠AF2F1)＝eq \f(sin90°,sin60°－sin30°)＝eq \r(3)＋1．∴e＋e1＝2eq \r(3)．
通法 设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由双曲线和椭圆的对称性可知，A，B关于原点对称，又AF1⊥BF1，且∠AF1O＝eq \f(π,3)，故|AF1|＝|OF1|＝|OA|＝|OB|＝c，∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(c,2)，\f(\r(3),2)c))，代入椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，结合b2＝a2－c2及e＝eq \f(c,a)，整理可得，e4－8e2＋4＝0，∵0【对点训练】
13．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则
曲线C的离心率等于________．
13．答案 eq \f(1,2)或eq \f(3,2) 解析 秒杀 不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t≠0．若该曲线为椭圆，则有
|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(3t,6t)＝eq \f(1,2)；若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(3t,2t)＝eq \f(3,2)．
14．在直角坐标系xOy中，设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，P为双曲线C的右支上一点，
且△OPF为正三角形，则双曲线C的离心率为( )
A．eq \r(3) B．eq \f(2\r(3),3) C．1＋eq \r(3) D．2＋eq \r(3)
14．答案 C 解析 秒杀 设F′为双曲线的左焦点，连接PF′，则∠F PF′＝90°，∠PFF′＝30°，∠PFF′
＝60°，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,||PF2|－|PF1||)＝eq \f(sin90°,|sin30°＋sin60°|)eq \r(3)＋1．故选C．
通法 设F′为双曲线的左焦点，|F′F|＝2c，依题意可得|PO|＝|PF|＝c，连接PF′，由双曲线的定义可得|PF′|－|PF|＝2a，故|PF′|＝2a＋c，在△PF′O中，∠POF′＝120°，由余弦定理可得cs120°＝eq \f(c2＋c2－2a＋c2,2c2)，化简可得c2－2ac－2a2＝0，即(eq \f(c,a))2－2×eq \f(c,a)－2＝0，解得eq \f(c,a)＝1＋eq \r(3)或eq \f(c,a)＝1－eq \r(3)(不合题意，舍去)，故双曲线的离心率e＝1＋eq \r(3)，故选C．
15．已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，双曲线以A，B为焦点，且经过C，
D两点，则该双曲线的离心率等于( )
A． QUOTE 2 B． QUOTE 3 C． QUOTE 5 D． QUOTE 3 +1
15．答案 D 解析 秒杀 因为AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，所以DB＝2 QUOTE 3 ，AD＝BC＝2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)
＝eq \f(|AB|,||BD|－|AD||)＝eq \f(2,\r(3)－1)＝eq \r(3)＋1．故选C．
通法 因为AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，所以DB＝2 QUOTE 3 ，AD＝BC＝2，则由双曲线的定义可得2a＝|DB|－|DA|＝2 QUOTE 3 －2，2c＝|AB|＝4，即 QUOTE 3 －1＝a，c＝2，故双曲线的离心率是e＝ QUOTE ca ＝＝ QUOTE 2(3+1)2 ＝ QUOTE 3 +1．故选D．
16．已知F是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|
＝2|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(\r(2),2)
16．答案 C 解析 秒杀 设F1是椭圆E的右焦点，连接PF1，QF1．根据对称性，线段FF1与线段PQ
在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，又|FP|＝2|PF1|，所以△FPF1是直角三角形，∠FF1P＝90°，∠FPF1＝60°，∠F1FP＝30°，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,||PF2|－|PF1||)＝eq \f(sin60°,|sin90°＋sin30°|)＝eq \f(\r(3),3)．故选C．
通法 设F1是椭圆E的右焦点，连接PF1，QF1．根据对称性，线段FF1与线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，根据椭圆的定义，|PF|＋|PF1|＝2a，又|PF|＝2|QF|，所以|PF1|＝eq \f(2,3)a，|PF|＝eq \f(4,3)a，而|F1F|＝2c，在△F1PF中，由余弦定理，得(2c)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)a))2－2×eq \f(2,3)a×eq \f(4,3)a×cs60°，得eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,3)，所以椭圆E的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)．故选C．
17．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上第二象限内一点，
若直线y＝eq \f(b,a)x恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线C的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．eq \r(5) D．eq \r(6)
17．答案 C 解析 秒杀 由已知△F1PF2是直角三角形，∠F2PF1＝90°，sin∠PF1F2＝eq \f(b,c)，∠PF2F1＝eq \f(a,c)，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(sin90°,|sin∠PF1F2＋sin∠PF2F1|)＝eq \f(1,|eq \f(b,c)－eq \f(a,c)|)．即eq \f(b,a)＝2，所以e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(5)．故选C．
通法 如图，直线PF2的方程为y＝－eq \f(a,b)(x－c)，设直线PF2与直线y＝eq \f(b,a)x的交点为N，易知Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))．又线段PF2的中点为N，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a2－c2,c)，\f(2ab,c)))．因为点P在双曲线C上，所以eq \f((2a2－c2)2,a2c2)－eq \f(4a2b2,c2b2)＝1，即5a2＝c2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)．故选C．
18．椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线eq \r(3)x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则
椭圆C的离心率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3)－1,2) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \r(3)－1
18．答案 D 解析 秒杀 设F1是椭圆C的右焦点，连接AF1，AF．由已知△F1AF是直角三角形，∠
FAF1＝90°，∠AF1F＝60°，∠AFF1＝30°，e＝eq \f(sin∠F1AF,sin∠AF1F＋sin∠AFF1)＝eq \f(sin90°,sin60°＋sin30°)eq \r(3)－1．故选D．
通法 设F(－c，0)关于直线eq \r(3)x＋y＝0的对称点为A(m，n)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n,m＋c)·(－\r(3))＝－1，,\r(3)·\f(m－c,2)＋\f(n,2)＝0，))解得m＝eq \f(c,2)，n＝eq \f(\r(3),2)c，代入椭圆方程可得eq \f(\f(c2,4), a2 )＋eq \f(\f(3,4)c2,b2)＝1化简可得e4－8e2＋4＝0，又0＜e＜1，解得e＝eq \r(3)－1．故选D．
第Ⅲ组秒杀公式
(1)若直线y＝kx与椭圆E交于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－eq \f(b2,a2)＝e2－1．
(2)若直线y＝kx与双曲线E交于A，B两点，P为双曲线上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝eq \f(b2,a2)＝e2－1．
注：当焦点在y轴上时a，b对调．
【例题选讲】
[例3] (13)(2015·全国Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A．eq \r(5) B．2 C．eq \r(3) D．eq \r(2)
答案 D 解析 秒杀 ∵k1·k2＝e2－1．∴1＝e2－1．∴e＝eq \r(2)．故选D．
通法 不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a，\r(3)a))．∵M点在双曲线上，∴eq \f(4a2,a2)－eq \f(3a2,b2)＝1，a＝b，∴c＝eq \r(2)a，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)．故选D．
(14)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，过原点O的直线l与C交于点P，Q，且直线AP与直线AQ的斜率之积为－eq \f(1,2)，则C的离心率是( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(6),3) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(2),4)
答案 C 解析 秒杀 ∵k1·k2＝e2－1．∴－eq \f(1,2)＝e2－1．∴e＝eq \f(\r(2),2)．故选C．
通法 设P(x1，y1)，Q(－x1，－y1)，A(a，0)．所以kAP·kAQ＝eq \f(y1,x1－a)·eq \f(－y1,－x1－a)＝eq \f(yeq \\al(2,1),xeq \\al(2,1)－a2)，又因为eq \f(xeq \\al(2,1),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,1),b2)＝1⇒yeq \\al(2,1)＝eq \f(b2（a2－xeq \\al(2,1)）,a2)，所以kAP·kAQ＝－eq \f(b2,a2)，即eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，所以椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(2),2)，故选C．
(15)设A1，A2分别为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得kPA1·kPA2＞－eq \f(1,2)，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
答案 C 解析 秒杀 ∵k1·k2＝e2－1．∴e2－1＞－eq \f(1,2)．∴e＞eq \f(\r(2),2)，故选C．
通法 椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1(－a，0)，A2(a，0)，设P(x0，y0)，根据题意，kPA1·kPA2＝eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－a2)＞－eq \f(1,2)，而eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，所以eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－a2)＝－eq \f(b2,a2)，于是eq \f(b2,a2)＜eq \f(1,2)，即eq \f(a2－c2,a2)＜eq \f(1,2)，1－e2＜eq \f(1,2)，所以e＞eq \f(\r(2),2)，又e＜1，故eq \f(\r(2),2)＜e＜1．故选C．
(16)已知O为坐标原点，点A，B在双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，且关于坐标原点O对称．若双曲线C上与点A，B横坐标不相同的任意一点P满足kPA·kPB＝3，则双曲线C的离心率为( )
A．2 B．4 C．eq \r(10) D．10
答案 A 解析 秒杀 ∵k1·k2＝e2－1．∴3＝e2－1．∴e＝2．故选A．
通法 设A(x1，y1)，P(x0，y0)(|x0|≠|x1|)，则B(－x1，－y1)，则kPA·kPB＝eq \f(y0－y1,x0－x1)·eq \f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq \f(y\\al(2,0)－y\\al(2,1),x\\al(2,0)－x\\al(2,1))．因为点P，A在双曲线C上，所以b2xeq \\al(2,0)－a2yeq \\al(2,0)＝a2b2，b2xeq \\al(2,1)－a2yeq \\al(2,1)＝a2b2，两式相减可得eq \f(y\\al(2,0)－y\\al(2,1),x\\al(2,0)－x\\al(2,1))＝eq \f(b2,a2)，故eq \f(b2,a2)＝3，于是b2＝3a2．又因为c2＝a2＋b2，所以双曲线C的离心率e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝2．故选A．
(17)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，M、N为双曲线上关于原点对称的两点，P为双曲线上的点，且直线PM、PN的斜率分别为k1、k2，若k1·k2＝eq \f(5,4)，则双曲线的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \f(3,2) C．2 D．eq \f(5,2)
答案 B 解析 秒杀 ∵k1·k2＝e2－1．∴eq \f(5,4)＝e2－1．∴e＝eq \f(3,2)．故选B．
通法 设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(－x1，－y1)，∴k1·k2＝eq \f(y2－y1,x2－x1)·eq \f(y2＋y1,x2＋x1)＝eq \f(y\\al(2,2)－y\\al(2,1),x\\al(2,2)－x\\al(2,1))，由点M、N在双曲线上得eq \f(x\\al(2,1),a2)－eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，eq \f(x\\al(2,2),a2)－eq \f(y\\al(2,2),b2)＝1，两式相减可得eq \f(y\\al(2,2)－y\\al(2,1),x\\al(2,2)－x\\al(2,1))＝eq \f(b2,a2)，∵k1·k2＝eq \f(5,4)，∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(5,4)，∴b＝eq \f(\r(5),2)a，∴c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \f(3,2)a，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2)．故选B．
【对点训练】
19．设A1，A2分别为双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的上、下顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜
率kMA1·kMA2＜eq \f(1,2)，则双曲线C的离心率e的取值范围为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6),2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(6),2))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，＋∞)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
19．答案 B 解析 秒杀 k1·k2＝e2－1．∴e2－1＜eq \f(1,2)，解得1＜e＜eq \f(\r(6),2)．故选B．
通法 设M(x0，y0)，A1(0，－a)，A2(0，a)，则kM A1＝eq \f(y0＋a,x0)，kM A2＝eq \f(y0－a,x0)，所以kM A1·kM A2＝eq \f(y\\al(2,0)－a2,x\\al(2,0))＞2 (*)．又点M(x0，y0)在双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1上，所以yeq \\al(2,0)＝a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),b2)＋1))，代入(*)式化简得eq \f(a2,b2)＞2，所以eq \f(b2,a2)＜eq \f(1,2)，所以eq \f(c2－a2,a2)＝e2－1＜eq \f(1,2)，解得1＜e＜eq \f(\r(6),2)．故选B．
20．已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，若椭圆C上存在点P，使得直线PA，PB斜率的绝对值
之和为1，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
20．答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) 解析 秒杀 k1＋k2＝1，k1·k2＝e2－1．由基本不等式得，1＝k1＋k2≥2eq \r(k1·k2)＝eq \r(e2－1)，
解得eq \f(\r(3),2)≤e<1．
通法 不妨设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，P(x，y)，A(x1，y1)，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x1，－y1))，所以eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，两式相减得eq \f(x2－x\\al(2,1),a2)＝－eq \f(y2－y\\al(2,1),b2)，所以eq \f(y2－y\\al(2,1),x2－x\\al(2,1))＝－eq \f(b2,a2)，所以直线PA，PB斜率的绝对值之和为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y－y1,x－x1)))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y＋y1,x＋x1)))≥2eq \r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y2－y\\al(2,1),x2－x\\al(2,1)))))＝eq \f(2b,a)，由题意得eq \f(2b,a)≤1，所以a2≥4b2＝4a2－4c2，即3a2≤4c2，所以e2≥eq \f(3,4)，又因为0第Ⅳ组秒杀公式
(1)若直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A，B两点，P为弦AB的中点，设直线PO的斜率为k0，则k0·k＝－eq \f(b2,a2)＝e2－1．
(2)若直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与双曲线E交于A，B两点，P为弦AB的中点，设直线PO的斜率为k0，则k0·k＝eq \f(b2,a2)＝e2－1．
注：当焦点在y轴上时a，b对调．
【例题选讲】
[例4] (18)过点M(1，1)作斜率为－eq \f(1,3)的直线l与椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) 相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．
答案 eq \f(\r(6),3) 解析 秒杀 由题意得，k0·k＝e2－1．∴e＝eq \f(\r(6),3)．
通法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b2x\\al(2,1)＋a2y\\al(2,1)＝a2b2，,b2x\\al(2,2)＋a2y\\al(2,2)＝a2b2，))∴b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴2b2(x1－x2)＋2a2(y1－y2)＝0，∴b2(x1－x2)＝－a2(y1－y2)．∴eq \f(b2,a2)＝－eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(1,3)，∴a2＝3b2．∴a2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝eq \f(\r(6),3)．
(19)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M(1，eq \f(1,2))，则椭圆的离心率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(1,4) D．eq \f(\r(3),2)
答案 B 解析 秒杀 由题意得，k0·k＝e2－1．即，∴e＝eq \f(\r(2),2)．故选B．
通法 因为FP的斜率为－eq \f(b,c)，FP∥l，所以直线l的斜率为－eq \f(b,c)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),a2)＋\f(yeq \\al(2,1),b2)＝1,\f(xeq \\al(2,2),a2)＋\f(yeq \\al(2,2),b2)＝1))得eq \f(yeq \\al(2,1),b2)－eq \f(yeq \\al(2,2),b2)＝－(eq \f(xeq \\al(2,1),a2)－eq \f(xeq \\al(2,2),a2))，即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2(x1＋x2),a2(y1＋y2))．因为AB的中点为M(1，eq \f(1,2))，所以－eq \f(b,c)＝－eq \f(2b2,a2)，所以a2＝2bc，所以b2＋c2＝2bc，所以b＝c，所以a＝eq \r(2)c，所以椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2)，故选B．
(20)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(5),5)
答案 C 解析 秒杀 由题意得，k0·k＝e2－1．∴e＝eq \f(\r(3),2)．故选C．
通法一 设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),a2)＋\f(yeq \\al(2,1),b2)＝1，,\f(xeq \\al(2,2),a2)＋\f(yeq \\al(2,2),b2)＝1，))两式相减得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2).因为kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝1，且x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(3),2)，故选C．
通法二 将直线方程x－y＋5＝0代入eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，得(a2＋b2)x2＋10a2x＋25a2－a2b2＝0，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq \f(10a2,a2＋b2)，又由中点坐标公式知x1＋x2＝－8，所以eq \f(10a2,a2＋b2)＝8，解得a＝2b，又c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(3)b，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)．故选C．
(21)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过点P(3，6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则双曲线C的离心率为( )
A．2 B．eq \f(3,2) C．eq \f(3\r(5),5) D．eq \f(\r(5),2)
答案 B 解析 秒杀 由题意得，k0·k＝e2－1．∴e＝eq \f(3,2)．故选B．
通法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB的中点为N(12,15)，则x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)－\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)－\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))两式相减得，eq \f(x1＋x2x1－x2,a2)＝eq \f(y1＋y2y1－y2,b2)，则eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝eq \f(4b2,5a2)，由直线AB的斜率k＝eq \f(15－6,12－3)＝1，所以eq \f(4b2,5a2)＝1，则eq \f(b2,a2)＝eq \f(5,4)，双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \f(3,2)，所以双曲线C的离心率为eq \f(3,2)．故选B．
第Ⅴ组秒杀公式
过椭圆或双曲线的焦点F作倾斜角为θ直线与椭圆或双曲线相交A、B两点，且eq \(AF,\s\up6(→))＝λeq \(FB,\s\up6(→))，则有．(其中θ为直线的倾斜角，F在线段AB上)
[例5] (22)倾斜角为eq \f(π,4)的直线经过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，则该椭圆的离心率为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(2),3) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),3)
答案 B 解析 秒杀 由题可知，，所以e＝eq \f(\r(2),3)，故选B．
通法 由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1,y＝x－c))，所以(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有两个交点，则Δ>0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝\f(－2b2c,a2＋b2),y1y2＝\f(－b4,a2＋b2)))，又eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，所以(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，所以－y1＝2y2，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－y2＝\f(－2b2c,a2＋b2),－2yeq \\al(2,2)＝\f(－b4,a2＋b2)))，所以eq \f(1,2)＝eq \f(4c2,a2＋b2)，所以e＝eq \f(\r(2),3)，故选B．
(23)已知F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，若F为过AF的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)
答案 B 解析 秒杀 由题可知，，即，所以e＝eq \f(\r(3),3)，故选B．
通法 延长AF交椭圆于点B，设椭圆左焦点为F′，连接AF′，BF′．根据题意|AF|＝eq \r(b2＋c2)＝a，|AF|＝2|FB|，所以|FB|＝eq \f(a,2)．根据椭圆定义|BF′|＋|BF|＝2a，所以|BF′|＝eq \f(3a,2)．在△AFF′中，由余弦定理得cs∠F′AF＝eq \f(|F′A|2＋|FA|2－|F′F|2,2|F′A|·|FA|)＝eq \f(2a2－4c2,2a2)．在△AF′B中，由余弦定理得cs∠F′AB＝eq \f(|F′A|2＋|AB|2－|BF′|2,2|F′A|·|AB|)＝eq \f(1,3)，所以eq \f(2a2－4c2,2a2)＝eq \f(1,3)，解得a＝eq \r(3)c，所以椭圆离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)．故选B．
(24)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l与双曲线的右支交于不同两点A，B，若eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，则该双曲线的离心率为( )
A．eq \f(\r(5),2) B．eq \f(\r(6),2) C．eq \f(2\r(3),3) D．eq \r(3)
答案 A 解析 秒杀 由题可知，，即，即所以e＝＝eq \f(\r(5),2)，故选B．
通法 由题意得直线l的方程为x＝eq \f(b,a)y＋c，不妨取a＝1，则x＝by＋c，且b2＝c2－1．将x＝by＋c代入x2－eq \f(y2,b2)＝1，(b＞0)，得(b4－1)y2＋2b3cy＋b4＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－eq \f(2b3c,b4－1)，y1y2＝eq \f(b4,b4－1)．由eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，得y1＝－3y2，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2y2＝－\f(2b3c,b4－1),－3y\\al(2,2)＝\f(b4,b4－1)))，得3b2c2＝1－b4，解得b2＝eq \f(1,4)，所以c＝eq \r(b2＋1)＝eq \r(\f(5,4))＝eq \f(\r(5),2)，故该双曲线的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2)，故选A．
(25)设F1，F2分别是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若△AF1F2的面积是△BF1F2面积的三倍，cs∠AF2B＝eq \f(3,5)，则椭圆E的离心率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(2,3) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(2),2)
答案 D 解析 秒杀 设|F1B|＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k>0))，依题意可得|AF1|＝3k，|AB|＝4k，∴|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k．∵cs∠AF2B＝eq \f(3,5)，在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cs∠AF2B，∴(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－eq \f(6,5)(2a－3k)(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a－3k＝0，a＝3k，∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，，即，所以e＝eq \f(\r(2),3)，故选D．
通法 设|F1B|＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k>0))，依题意可得|AF1|＝3k，|AB|＝4k，∴|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k．∵cs∠AF2B＝eq \f(3,5)，在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cs∠AF2B，∴(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－eq \f(6,5)(2a－3k)(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a－3k＝0，a＝3k，∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，∴|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形．∴c＝eq \f(\r(2),2)a，椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)．
(26)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为点C，若S△ABC＝3S△BCF2，则椭圆的离心率为 ．
答案 eq \f(\r(5),5) 解析 秒杀 如图所示，因为S△ABC＝3S△BCF2，所以|AF2|＝2|F2C|．tan∠F1F2A＝eq \f(b2,2ac)，则cs2∠F1F2A＝eq \f(4a2c2,b4＋4a2c2)．，即，化为：a2＝5c2，解得e＝eq \f(\r(5),5)．
通法 如图所示，因为S△ABC＝3S△BCF2，所以|AF2|＝2|F2C|．A(－c，eq \f(b2,a))，直线AF2的方程为：y－0＝eq \f(\f(b2,a)－0,－c－c)(x－c)，化为：y＝eq \f(－b2,2ac)(x－c)，代入椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，可得：(4c2＋b2)x2－2cb2x＋b2c2－4a2c2＝0，所以xC·(－c)＝eq \f(b2c2－4a2c2,4c2＋b2)，解得xC＝eq \f(4a2c－b2c,4c2＋b2)．因为eq \(AF2,\s\up6(→))＝2eq \(F2C,\s\up6(→))，所以c－(－c)＝2(eq \f(4a2c－b2c,4c2＋b2)－c)，化为：a2＝5c2，解得e＝eq \f(\r(5),5)．
【对点训练】
21．已知F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，若F为过AF的椭圆的弦的三等
分点，则椭圆的离心率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)
21．答案 B 解析 秒杀 由题可知，，即，所以e＝eq \f(\r(3),3)，故选B．
通法 延长AF交椭圆于点B，设椭圆左焦点为F′，连接AF′，BF′．根据题意|AF|＝eq \r(b2＋c2)＝a，|AF|＝2|FB|，所以|FB|＝eq \f(a,2)．根据椭圆定义|BF′|＋|BF|＝2a，所以|BF′|＝eq \f(3a,2)．在△AFF′中，由余弦定理得cs∠F′AF＝eq \f(|F′A|2＋|FA|2－|F′F|2,2|F′A|·|FA|)＝eq \f(2a2－4c2,2a2)．在△AF′B中，由余弦定理得cs∠F′AB＝eq \f(|F′A|2＋|AB|2－|BF′|2,2|F′A|·|AB|)＝eq \f(1,3)，所以eq \f(2a2－4c2,2a2)＝eq \f(1,3)，解得a＝eq \r(3)c，所以椭圆离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)．故选B．
22．已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦点，B是短轴的一个端点，线段BF2的延长线交椭
圆C于点D，若△F1BD为等腰三角形，则椭圆C的离心率为________．
22．答案 eq \f(\r(3),3) 解析 秒杀 如图，不妨设点B是椭圆短轴的上端点，则点D在第四象限内，设点D(x，
y)．由题意得△F1BD为等腰三角形，且|DF1|＝|DB|．由椭圆的定义得|DF1|＋|DF2|＝2a，|BF1|＝|BF2|＝a，又|DF1|＝|DB|＝|DF2|＋|BF2|＝|DF2|＋a，∴(|DF2|＋a)＋|DF2|＝2a，解得|DF2|＝eq \f(a,2)．由题可知，，即，所以e＝eq \f(\r(3),3)．
通法 如图，不妨设点B是椭圆短轴的上端点，则点D在第四象限内，设点D(x，y)．由题意得△F1BD为等腰三角形，且|DF1|＝|DB|．
由椭圆的定义得|DF1|＋|DF2|＝2a，|BF1|＝|BF2|＝a，又|DF1|＝|DB|＝|DF2|＋|BF2|＝|DF2|＋a，∴(|DF2|＋a)＋|DF2|＝2a，解得|DF2|＝eq \f(a,2)．作DE⊥x轴于E，则有|DE|＝|DF2|sin∠DF2E＝|DF2|sin∠BF2O＝eq \f(a,2)×eq \f(b,a)＝eq \f(b,2)，|F2E|＝|DF2|cs∠DF2E＝|DF2|cs∠BF2O＝eq \f(a,2)×eq \f(c,a)＝eq \f(c,2)，∴|OE|＝|OF2|＋|F2E|＝c＋eq \f(c,2)＝eq \f(3c,2)，∴点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)，－\f(b,2)))．又点D在椭圆上，∴eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)))2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2)))2,b2)＝1，整理得3c2＝a2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)．
[例1] (1)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．eq \r(3)或eq \f(2\r(3),3) D．eq \f(2\r(3),3)或2
答案 D 解析 秒杀 ∵两条渐近线的夹角为60°，∴一条渐近线的倾斜角为30°，斜率为eq \f(\r(3),3)．∴e＝eq \r(1＋k2)＝eq \f(2\r(3),3)．或一条渐近线的倾斜角为60°，斜率为eq \r(3)．∴e＝eq \r(1＋k2)＝2．故选D．
通法 ∵两条渐近线的夹角为60°，且两条渐近线关于坐标轴对称，∴eq \f(b,a)＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)或eq \f(b,a)＝tan 60°＝eq \r(3)．由eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),3)，得eq \f(b2,a2)＝eq \f(c2－a2,a2)＝e2－1＝eq \f(1,3)，∴e＝eq \f(2\r(3),3)(舍负)；由eq \f(b,a)＝eq \r(3)，得eq \f(b2,a2)＝eq \f(c2－a2,a2)＝e2－1＝3，∴e＝2(舍负)．故选D．
(2)双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \r(7)x，则E的离心率为( )
A．2 B．eq \f(2\r(14),7) C．2eq \r(2) D．2eq \r(3)
答案 C 解析 秒杀 ∵渐近线的斜率为±eq \r(7)．∴e＝eq \r(1＋k2)＝2eq \r(2)．
通法 由题意，双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \r(7)x，即eq \f(b,a)＝eq \r(7)，所以双曲线的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝2eq \r(2)，故选．
(3)(2019·全国Ⅰ)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
A．2sin 40° B．2cs 40° C.eq \f(1,sin 50°) D.eq \f(1,cs 50°)
答案 D 解析 秒杀 由题意可得－eq \f(b,a)＝tan 130°，所以e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋tan2130°)＝eq \r(1＋\f(sin2130°,cs2130°))＝eq \f(1,|cs 130°|)＝eq \f(1,cs 50°)．故选D．
(4)(2017·全国Ⅲ)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A．eq \f(\r(6),3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(\r(2),3) D．eq \f(1,3)
答案 A 解析 秒杀 由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝eq \f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq \r(3)b，∴eq \f(b,a)＝eq \f(1,\r(3))，∴e＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3))))2)＝eq \f(\r(6),3)．故选A．
(5) (2019·全国Ⅰ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若eq \(F1A,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))，eq \(F1B,\s\up8(→))·eq \(F2B,\s\up8(→))＝0，则C的离心率为________．
答案 2 解析 秒杀 由eq \(F1A,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))，得A为F1B的中点．又∵O为F1F2的中点，∴OA∥BF2．又eq \(F1B,\s\up8(→))·eq \(F2B,\s\up8(→))＝0，∴∠F1BF2＝90°．∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B．又∵∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2为等边三角形．∴一条渐近线的倾斜角为60°，斜率为eq \r(3)．∴e＝eq \r(1＋k2)＝2．
通法一：由eq \(F1A,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))，得A为F1B的中点．又∵O为F1F2的中点，∴OA∥BF2．又eq \(F1B,\s\up8(→))·eq \(F2B,\s\up8(→))＝0，∴∠F1BF2＝90°．∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B．又∵∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2为等边三角形．如图所示，不妨设B为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，－\f(\r(3),2)c))．∵点B在直线y＝－eq \f(b,a)x上，∴eq \f(b,a)＝eq \r(3)，∴离心率e＝eq \f(c,a)＝2．
通法二：∵eq \(F1B,\s\up8(→))·eq \(F2B,\s\up8(→))＝0，∴∠F1BF2＝90°．在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴|OF2|＝|OB|＝c．如图，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得eq \f(|BH|,|OH|)＝eq \f(b,a)，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F2(c，0)．又∵eq \(F1A,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))，∴A为F1B的中点．∴OA∥F2B，∴eq \f(b,a)＝eq \f(b,c－a)，∴c＝2a，∴离心率e＝eq \f(c,a)＝2．
【对点训练】
1．已知F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F1，F2分别作x轴的垂线，交渐
近线于点M，N，且点M，N在x轴的同侧，若四边形MNF2F1为正方形，则该双曲线的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．eq \r(5)
1．答案 D 解析 秒杀 由题意，∴e＝eq \r(1＋k2)＝eq \r(5)．
通法 不妨设点M，N在x轴的上方，把x＝c代入渐近线的方程y＝eq \f(b,a)x，得y＝eq \f(bc,a)．因为四边形MNF2F1为正方形，所以eq \f(bc,a)＝2c，所以b＝2a，由此可得c＝eq \r(5)a．所以该双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)．故选D．
2．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于( )
A．eq \r(6) B．eq \f(2\r(3),3) C．eq \r(10) D．eq \r(3)
2．答案 C 解析 秒杀 由于双曲线的一条渐近线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则双曲线的渐近线方程为
y＝±3x，∴e＝eq \r(1＋k2)＝eq \r(10)．
通法 由于双曲线的一条渐近线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则双曲线的渐近线方程为y＝±3x，可得eq \f(b,a)＝3，可得b2＝9a2，即c2－a2＝9a2，亦即c2＝10a2，故离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(10)．
3．已知F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一
条渐近线上，则双曲线C的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．eq \r(5)
3．答案 C 解析 秒杀 依题意，设双曲线的渐近线y＝eq \f(b,a)x的倾斜角为θ，则由双曲线的对称性得3θ＝
π，θ＝eq \f(π,3)，∴e＝eq \r(1＋k2)＝2．选C．
通法 依题意，设双曲线的渐近线y＝eq \f(b,a)x的倾斜角为θ，则由双曲线的对称性得3θ＝π，θ＝eq \f(π,3)，eq \f(b,a)＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)，双曲线C的离心率e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝2，选C．
4．双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，
且交y轴于B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．eq \f(\r(6),2)
4．答案 A 解析 秒杀 由题易知双曲线C的一条渐近线与x轴的夹角为eq \f(π,4)，∴e＝eq \r(1＋k2)＝eq \r(2)．故选
A．
通法 由题易知双曲线C的一条渐近线与x轴的夹角为eq \f(π,4)，故双曲线C的离心率e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)))eq \s\up12(－1)＝eq \r(2)．故选A．
5．(2019·天津)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．若l与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线
分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．eq \r(5)
5．答案 D 解析 秒杀 由题设知k＝2，e＝eq \r(1＋k2)＝eq \r(5)．故选D．
通法 由已知易得，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l：x＝－1，所以|OF|＝1．又双曲线的两条渐近线的方程为y＝±eq \f(b,a)x，不妨设点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(b,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(b,a)))，所以|AB|＝eq \f(2b,a)＝4|OF|＝4，所以eq \f(b,a)＝2，即b＝2a，所以b2＝4a2．又双曲线方程中c2＝a2＋b2，所以c2＝5a2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)．
6．已知F是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，过点F作垂直于x轴的直线交该双曲线的一条渐
近线于点M，若|FM|＝2a，记该双曲线的离心率为e，则e2＝( )
A．eq \f(1＋\r(17),2) B．eq \f(1＋\r(17),4) C．eq \f(2＋\r(5),2) D．eq \f(2＋\r(5),4)
6．答案 A 解析 秒杀 由题意得，,∴e4－e2－4＝0，解得e2＝eq \f(1＋\r(17),2)，故选A．
通法 由题意得，F(－c，0)，该双曲线的一条渐近线为y＝－eq \f(b,a)x，将x＝－c代入y＝－eq \f(b,a)x得y＝eq \f(bc,a)，∴eq \f(bc,a)＝2a，即bc＝2a2，∴4a4＝b2c2＝c2(c2－a2)，∴e4－e2－4＝0，解得e2＝eq \f(1＋\r(17),2)，故选A．
7．(2017·全国Ⅱ)若双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则
C的离心率为( )
A．2 B．eq \r(3) C．eq \r(2) D．eq \f(2\r(3),3)
7．答案 A 解析 秒杀 设双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，化成一般式bx－ay＝0，圆心(2，0)到直
线的距离为eq \r(22－12)＝eq \f(|2b|,\r(a2＋b2))，解得eq \f(b,a)＝eq \r(3)，e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝2．
8．过双曲线 QUOTE x2a2 － QUOTE y2b2 =1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点
分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为( )
A． QUOTE 3 B) QUOTE 5 C． QUOTE 10 D． QUOTE 13
8．答案 C 解析 秒杀 双曲线渐近线方程为y＝± QUOTE ba x，与直线y＝－(x－a)联立．由－ QUOTE ba x＝－x＋a，
得x＝ QUOTE a2a-b ，由 QUOTE ba x＝－x＋a，得x＝ QUOTE a2a+b ．根据题意，若 QUOTE a2a-b ·a= QUOTE a2a+b2 ，得a(a－b)＝(a＋b)2，此式不可能，若 QUOTE a2a+b ·a＝ QUOTE a2a-b2 ，则a(a＋b)＝(a－b)2，解得b＝3a．双曲线的离心率e＝＝ QUOTE 10 ．故选C．
9．设F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点，点P在双曲线C的右支上且
|F1F2|＝2|OP|，△PF1F2的面积为a2，则双曲线的离心率是( )
A．eq \r(5) B．eq \r(2) C．4 D．2
9．答案 B 解析 秒杀 由|F1F2|＝2|OP|可知|OP|＝c，所以△PF1F2为直角三角形，可知a2＝b2eq \f(1,tan \f(θ,2))．∴
a2＝b2，e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(2)．
通法 由|F1F2|＝2|OP|可知|OP|＝c，所以△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2．由Seq \s\d0 (△PF1F2)＝a2可知|PF1||PF2|＝2a2，又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2．∴(|PF1|－|PF2|)2＝－2|PF1||PF2|＋|F1F2|2，即4a2＝－4a2＋4c2，∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(8,4)＝2，又e＞1，∴e＝eq \r(2)，故选B．
10．设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E(0，t)(0
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),3)
10．答案 A 解析 秒杀 △PEF2的周长为|PE|＋|PF2|＋|EF2|＝|PE|＋2a－|PF1|＋|EF2|＝2a＋|EF2|＋|PE|
－|PF1|≥2a＋|EF2|－|EF1|＝2a＝4b，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(1－\f(1,4))＝eq \f(\r(3),2)．故选A．
11．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交
l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且eq \(AF,\s\up7(―→))与eq \(FB,\s\up7(―→))反向，则该双曲线的离心率为( )
A．eq \f(\r(5),2) B．eq \r(3) C．eq \r(5) D．eq \f(5,2)
11．答案 C 解析 秒杀 设实轴长为2a，虚轴长为2b，令∠AOF＝α，则由题意知tan α＝eq \f(b,a)，在△AOB
中，∠AOB＝180°－2α，tan∠AOB＝－tan2α＝eq \f(|AB|,|OA|)，∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴设|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d，∵OA⊥BF，∴(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，整理得d＝eq \f(1,4)m，∴－tan2α＝－eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(|AB|,|OA|)＝eq \f(m,\f(3,4)m)＝eq \f(4,3)，解得eq \f(b,a)＝2或eq \f(b,a)＝－eq \f(1,2)(舍去)，e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(5)．
12．已知F为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且eq \(MF,\s\up7(―→))·eq \(NF,\s\up7(―→))
＝0，△MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为________．
12．答案 eq \r(2) 解析 秒杀 因为eq \(MF,\s\up7(―→))·eq \(NF,\s\up7(―→))＝0，所以eq \(MF,\s\up7(―→))⊥eq \(NF,\s\up7(―→))．设双曲线的左焦点为F′，则由双曲线
的对称性知四边形F′MFN为矩形，则有|MF|＝|NF′|，|MN|＝2c．不妨设点N在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF′|－|NF|＝2a，所以|MF|－|NF|＝2a．因为S△MNF＝eq \f(1,2)|MF|·|NF|＝ab，所以|MF||NF|＝2ab．在Rt△MNF中，|MF|2＋|NF|2＝|MN|2，即(|MF|－|NF|)2＋2|MF||NF|＝|MN|2，所以(2a)2＋2·2ab＝(2c)2，把c2＝a2＋b2代入，并整理，得eq \f(b,a)＝1，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(2)．
第Ⅱ组秒杀公式
(1)e椭圆＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq \f(sin∠F1PF2,sin∠F1F2P＋sin∠F2F1P)．
(2)e双曲线＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|P F1|－|P F2|)＝eq \f(sin∠F1PF2,|sin∠F1F2P－sin∠F2F1P|)．
[例2] (6)设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A．eq \f(\r(3),6) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),3)
答案 D 解析 秒杀 在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2，|F1F2|＝eq \r(3)．∴e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq \f(\r(3),3)．
通法 如图，在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝eq \f(2c,cs 30°)＝eq \f(4\r(3)c,3)，
|PF2|＝2c·tan 30°＝eq \f(2\r(3)c,3)．∵|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq \f(4\r(3)c,3)＋eq \f(2\r(3)c,3)＝2a，可得eq \r(3)c＝a．∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)．
(7) (2018·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－eq \f(\r(3),2) B．2－eq \r(3) C．eq \f(\r(3)－1,2) D．eq \r(3)－1
答案 D 解析 秒杀 e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF2|＋|PF1|)＝eq \f(sin∠F1PF2,sin∠PF1F2＋sin∠PF2F1)＝eq \f(sin90°,sin30°＋sin60°)eq \r(3)－1．故选D．
通法 由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝eq \r(3)c．由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq \r(3)c＋c＝2a，所以(eq \r(3)＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1．故选D．
(8)已知F1，F2分别是双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝eq \f(1,3)，则E的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \f(3,2) C．eq \r(3) D．2
答案 A 解析 秒杀 作出示意图，如图，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|MF2|－|MF1|)＝eq \f(sin∠F1MF2,sin∠MF1F2－sin∠MF2F1)＝eq \f(\f(2\r(2),3),1－\f(1,3))＝eq \r(2)．故选A．
通法 因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝eq \f(b2,a)．又sin∠MF2F1＝eq \f(1,3)，所以eq \f(|MF1|,|MF2|)＝eq \f(1,3)，即|MF2|＝3|MF1|．由双曲线的定义，得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝eq \f(2b2,a)，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)．故选A．
(9)点P是椭圆上任意一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2的最大值是60°，则椭圆的离心率e＝________．
答案 eq \f(1,2) 解析 秒杀 e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF2|＋|PF1|)＝eq \f(1,2)
通法 如图所示，当点P与点B重合时，∠F1PF2取得最大值60°，此时|OF1|＝c，|PF1|＝|PF2|＝2c．由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4c＝2a，所以椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)．
(10)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，若F关于直线eq \r(3)x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为________．
答案 eq \r(3)－1 解析 秒杀 设F′为椭圆的右焦点，则AF⊥AF′，∠AF′F＝eq \f(π,3)，∴|AF|＝eq \r(3)|AF′|，|FF′|＝2|AF′|，因此椭圆C的离心率为eq \f(2c,2a)＝eq \f(|FF′|,|AF|＋|AF′|)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1．
(11) (2018·北京)已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，双曲线N：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
答案 eq \r(3)－1 2 解析 秒杀 双曲线N的离心率e1＝eq \r(1＋tan260°)＝2．椭圆M的离心率e2＝eq \f(sin∠FDC,sin∠DFC＋sin∠DCF)＝eq \f(sin90°,sin30°＋sin60°)＝eq \r(3)－1．
通法一：如图，∵双曲线N的渐近线方程为y＝±eq \f(n,m)x，∴eq \f(n,m)＝tan 60°＝eq \r(3)，∴双曲线N的离心率e1满足eeq \\al(2,1)＝1＋eq \f(n2,m2)＝4，∴e1＝2．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得x2＝eq \f(a2b2,3a2＋b2)．设D点的横坐标为x，由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2．∴eq \f(4a2b2,3a2＋b2)＝a2－b2，得3a4－6a2b2－b4＝0，∴3－eq \f(6b2,a2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a2)))2＝0，解得eq \f(b2,a2)＝2eq \r(3)－3．∴椭圆M的离心率eeq \\al(2,2)＝1－eq \f(b2,a2)＝4－2eq \r(3)．∴e2＝eq \r(3)－1．
通法二：∵双曲线N的渐近线方程为y＝±eq \f(n,m)x，则eq \f(n,m)＝tan 60°＝eq \r(3)．又c1＝eq \r(m2＋n2)＝2m，∴双曲线N的离心率为eq \f(c1,m)＝2．如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形边长为1，则|FC|＝2c2＝2，即c2＝1．又E为椭圆M上一点，则|EF|＋|EC|＝2a，即1＋eq \r(3)＝2a，a＝eq \f(1＋\r(3),2)．∴椭圆M的离心率为eq \f(c2,a)＝eq \f(2,1＋\r(3))＝eq \r(3)－1．
(12)如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的交点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝eq \f(π,3)，则C1与C2的离心率之和为( )
A．2eq \r(3) B．4 C．2eq \r(5) D．2eq \r(6)
答案 A 解析 秒杀 连接AF2，椭圆C1的离心率e1＝eq \f(sin∠F1AF2,sin∠AF1F2＋sin∠AF2F1)＝eq \f(sin90°,sin60°＋sin30°)＝eq \r(3)－1．双曲线C2的离心率e2＝eq \f(sin∠F1AF2,sin∠AF1F2－sin∠AF2F1)＝eq \f(sin90°,sin60°－sin30°)＝eq \r(3)＋1．∴e＋e1＝2eq \r(3)．
通法 设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由双曲线和椭圆的对称性可知，A，B关于原点对称，又AF1⊥BF1，且∠AF1O＝eq \f(π,3)，故|AF1|＝|OF1|＝|OA|＝|OB|＝c，∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(c,2)，\f(\r(3),2)c))，代入椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，结合b2＝a2－c2及e＝eq \f(c,a)，整理可得，e4－8e2＋4＝0，∵0
13．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则
曲线C的离心率等于________．
13．答案 eq \f(1,2)或eq \f(3,2) 解析 秒杀 不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t≠0．若该曲线为椭圆，则有
|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(3t,6t)＝eq \f(1,2)；若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(3t,2t)＝eq \f(3,2)．
14．在直角坐标系xOy中，设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，P为双曲线C的右支上一点，
且△OPF为正三角形，则双曲线C的离心率为( )
A．eq \r(3) B．eq \f(2\r(3),3) C．1＋eq \r(3) D．2＋eq \r(3)
14．答案 C 解析 秒杀 设F′为双曲线的左焦点，连接PF′，则∠F PF′＝90°，∠PFF′＝30°，∠PFF′
＝60°，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,||PF2|－|PF1||)＝eq \f(sin90°,|sin30°＋sin60°|)eq \r(3)＋1．故选C．
通法 设F′为双曲线的左焦点，|F′F|＝2c，依题意可得|PO|＝|PF|＝c，连接PF′，由双曲线的定义可得|PF′|－|PF|＝2a，故|PF′|＝2a＋c，在△PF′O中，∠POF′＝120°，由余弦定理可得cs120°＝eq \f(c2＋c2－2a＋c2,2c2)，化简可得c2－2ac－2a2＝0，即(eq \f(c,a))2－2×eq \f(c,a)－2＝0，解得eq \f(c,a)＝1＋eq \r(3)或eq \f(c,a)＝1－eq \r(3)(不合题意，舍去)，故双曲线的离心率e＝1＋eq \r(3)，故选C．
15．已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，双曲线以A，B为焦点，且经过C，
D两点，则该双曲线的离心率等于( )
A． QUOTE 2 B． QUOTE 3 C． QUOTE 5 D． QUOTE 3 +1
15．答案 D 解析 秒杀 因为AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，所以DB＝2 QUOTE 3 ，AD＝BC＝2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)
＝eq \f(|AB|,||BD|－|AD||)＝eq \f(2,\r(3)－1)＝eq \r(3)＋1．故选C．
通法 因为AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，所以DB＝2 QUOTE 3 ，AD＝BC＝2，则由双曲线的定义可得2a＝|DB|－|DA|＝2 QUOTE 3 －2，2c＝|AB|＝4，即 QUOTE 3 －1＝a，c＝2，故双曲线的离心率是e＝ QUOTE ca ＝＝ QUOTE 2(3+1)2 ＝ QUOTE 3 +1．故选D．
16．已知F是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|
＝2|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(\r(2),2)
16．答案 C 解析 秒杀 设F1是椭圆E的右焦点，连接PF1，QF1．根据对称性，线段FF1与线段PQ
在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，又|FP|＝2|PF1|，所以△FPF1是直角三角形，∠FF1P＝90°，∠FPF1＝60°，∠F1FP＝30°，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,||PF2|－|PF1||)＝eq \f(sin60°,|sin90°＋sin30°|)＝eq \f(\r(3),3)．故选C．
通法 设F1是椭圆E的右焦点，连接PF1，QF1．根据对称性，线段FF1与线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，根据椭圆的定义，|PF|＋|PF1|＝2a，又|PF|＝2|QF|，所以|PF1|＝eq \f(2,3)a，|PF|＝eq \f(4,3)a，而|F1F|＝2c，在△F1PF中，由余弦定理，得(2c)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)a))2－2×eq \f(2,3)a×eq \f(4,3)a×cs60°，得eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,3)，所以椭圆E的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)．故选C．
17．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上第二象限内一点，
若直线y＝eq \f(b,a)x恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线C的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．eq \r(5) D．eq \r(6)
17．答案 C 解析 秒杀 由已知△F1PF2是直角三角形，∠F2PF1＝90°，sin∠PF1F2＝eq \f(b,c)，∠PF2F1＝eq \f(a,c)，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(sin90°,|sin∠PF1F2＋sin∠PF2F1|)＝eq \f(1,|eq \f(b,c)－eq \f(a,c)|)．即eq \f(b,a)＝2，所以e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(5)．故选C．
通法 如图，直线PF2的方程为y＝－eq \f(a,b)(x－c)，设直线PF2与直线y＝eq \f(b,a)x的交点为N，易知Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))．又线段PF2的中点为N，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a2－c2,c)，\f(2ab,c)))．因为点P在双曲线C上，所以eq \f((2a2－c2)2,a2c2)－eq \f(4a2b2,c2b2)＝1，即5a2＝c2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)．故选C．
18．椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线eq \r(3)x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则
椭圆C的离心率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3)－1,2) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \r(3)－1
18．答案 D 解析 秒杀 设F1是椭圆C的右焦点，连接AF1，AF．由已知△F1AF是直角三角形，∠
FAF1＝90°，∠AF1F＝60°，∠AFF1＝30°，e＝eq \f(sin∠F1AF,sin∠AF1F＋sin∠AFF1)＝eq \f(sin90°,sin60°＋sin30°)eq \r(3)－1．故选D．
通法 设F(－c，0)关于直线eq \r(3)x＋y＝0的对称点为A(m，n)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n,m＋c)·(－\r(3))＝－1，,\r(3)·\f(m－c,2)＋\f(n,2)＝0，))解得m＝eq \f(c,2)，n＝eq \f(\r(3),2)c，代入椭圆方程可得eq \f(\f(c2,4), a2 )＋eq \f(\f(3,4)c2,b2)＝1化简可得e4－8e2＋4＝0，又0＜e＜1，解得e＝eq \r(3)－1．故选D．
第Ⅲ组秒杀公式
(1)若直线y＝kx与椭圆E交于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－eq \f(b2,a2)＝e2－1．
(2)若直线y＝kx与双曲线E交于A，B两点，P为双曲线上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝eq \f(b2,a2)＝e2－1．
注：当焦点在y轴上时a，b对调．
【例题选讲】
[例3] (13)(2015·全国Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A．eq \r(5) B．2 C．eq \r(3) D．eq \r(2)
答案 D 解析 秒杀 ∵k1·k2＝e2－1．∴1＝e2－1．∴e＝eq \r(2)．故选D．
通法 不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a，\r(3)a))．∵M点在双曲线上，∴eq \f(4a2,a2)－eq \f(3a2,b2)＝1，a＝b，∴c＝eq \r(2)a，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)．故选D．
(14)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，过原点O的直线l与C交于点P，Q，且直线AP与直线AQ的斜率之积为－eq \f(1,2)，则C的离心率是( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(6),3) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(2),4)
答案 C 解析 秒杀 ∵k1·k2＝e2－1．∴－eq \f(1,2)＝e2－1．∴e＝eq \f(\r(2),2)．故选C．
通法 设P(x1，y1)，Q(－x1，－y1)，A(a，0)．所以kAP·kAQ＝eq \f(y1,x1－a)·eq \f(－y1,－x1－a)＝eq \f(yeq \\al(2,1),xeq \\al(2,1)－a2)，又因为eq \f(xeq \\al(2,1),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,1),b2)＝1⇒yeq \\al(2,1)＝eq \f(b2（a2－xeq \\al(2,1)）,a2)，所以kAP·kAQ＝－eq \f(b2,a2)，即eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，所以椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(2),2)，故选C．
(15)设A1，A2分别为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得kPA1·kPA2＞－eq \f(1,2)，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
答案 C 解析 秒杀 ∵k1·k2＝e2－1．∴e2－1＞－eq \f(1,2)．∴e＞eq \f(\r(2),2)，故选C．
通法 椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1(－a，0)，A2(a，0)，设P(x0，y0)，根据题意，kPA1·kPA2＝eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－a2)＞－eq \f(1,2)，而eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，所以eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－a2)＝－eq \f(b2,a2)，于是eq \f(b2,a2)＜eq \f(1,2)，即eq \f(a2－c2,a2)＜eq \f(1,2)，1－e2＜eq \f(1,2)，所以e＞eq \f(\r(2),2)，又e＜1，故eq \f(\r(2),2)＜e＜1．故选C．
(16)已知O为坐标原点，点A，B在双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，且关于坐标原点O对称．若双曲线C上与点A，B横坐标不相同的任意一点P满足kPA·kPB＝3，则双曲线C的离心率为( )
A．2 B．4 C．eq \r(10) D．10
答案 A 解析 秒杀 ∵k1·k2＝e2－1．∴3＝e2－1．∴e＝2．故选A．
通法 设A(x1，y1)，P(x0，y0)(|x0|≠|x1|)，则B(－x1，－y1)，则kPA·kPB＝eq \f(y0－y1,x0－x1)·eq \f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq \f(y\\al(2,0)－y\\al(2,1),x\\al(2,0)－x\\al(2,1))．因为点P，A在双曲线C上，所以b2xeq \\al(2,0)－a2yeq \\al(2,0)＝a2b2，b2xeq \\al(2,1)－a2yeq \\al(2,1)＝a2b2，两式相减可得eq \f(y\\al(2,0)－y\\al(2,1),x\\al(2,0)－x\\al(2,1))＝eq \f(b2,a2)，故eq \f(b2,a2)＝3，于是b2＝3a2．又因为c2＝a2＋b2，所以双曲线C的离心率e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝2．故选A．
(17)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，M、N为双曲线上关于原点对称的两点，P为双曲线上的点，且直线PM、PN的斜率分别为k1、k2，若k1·k2＝eq \f(5,4)，则双曲线的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \f(3,2) C．2 D．eq \f(5,2)
答案 B 解析 秒杀 ∵k1·k2＝e2－1．∴eq \f(5,4)＝e2－1．∴e＝eq \f(3,2)．故选B．
通法 设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(－x1，－y1)，∴k1·k2＝eq \f(y2－y1,x2－x1)·eq \f(y2＋y1,x2＋x1)＝eq \f(y\\al(2,2)－y\\al(2,1),x\\al(2,2)－x\\al(2,1))，由点M、N在双曲线上得eq \f(x\\al(2,1),a2)－eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，eq \f(x\\al(2,2),a2)－eq \f(y\\al(2,2),b2)＝1，两式相减可得eq \f(y\\al(2,2)－y\\al(2,1),x\\al(2,2)－x\\al(2,1))＝eq \f(b2,a2)，∵k1·k2＝eq \f(5,4)，∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(5,4)，∴b＝eq \f(\r(5),2)a，∴c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \f(3,2)a，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2)．故选B．
【对点训练】
19．设A1，A2分别为双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的上、下顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜
率kMA1·kMA2＜eq \f(1,2)，则双曲线C的离心率e的取值范围为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6),2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(6),2))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，＋∞)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
19．答案 B 解析 秒杀 k1·k2＝e2－1．∴e2－1＜eq \f(1,2)，解得1＜e＜eq \f(\r(6),2)．故选B．
通法 设M(x0，y0)，A1(0，－a)，A2(0，a)，则kM A1＝eq \f(y0＋a,x0)，kM A2＝eq \f(y0－a,x0)，所以kM A1·kM A2＝eq \f(y\\al(2,0)－a2,x\\al(2,0))＞2 (*)．又点M(x0，y0)在双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1上，所以yeq \\al(2,0)＝a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),b2)＋1))，代入(*)式化简得eq \f(a2,b2)＞2，所以eq \f(b2,a2)＜eq \f(1,2)，所以eq \f(c2－a2,a2)＝e2－1＜eq \f(1,2)，解得1＜e＜eq \f(\r(6),2)．故选B．
20．已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，若椭圆C上存在点P，使得直线PA，PB斜率的绝对值
之和为1，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
20．答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) 解析 秒杀 k1＋k2＝1，k1·k2＝e2－1．由基本不等式得，1＝k1＋k2≥2eq \r(k1·k2)＝eq \r(e2－1)，
解得eq \f(\r(3),2)≤e<1．
通法 不妨设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，P(x，y)，A(x1，y1)，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x1，－y1))，所以eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，两式相减得eq \f(x2－x\\al(2,1),a2)＝－eq \f(y2－y\\al(2,1),b2)，所以eq \f(y2－y\\al(2,1),x2－x\\al(2,1))＝－eq \f(b2,a2)，所以直线PA，PB斜率的绝对值之和为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y－y1,x－x1)))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y＋y1,x＋x1)))≥2eq \r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y2－y\\al(2,1),x2－x\\al(2,1)))))＝eq \f(2b,a)，由题意得eq \f(2b,a)≤1，所以a2≥4b2＝4a2－4c2，即3a2≤4c2，所以e2≥eq \f(3,4)，又因为0
(1)若直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A，B两点，P为弦AB的中点，设直线PO的斜率为k0，则k0·k＝－eq \f(b2,a2)＝e2－1．
(2)若直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与双曲线E交于A，B两点，P为弦AB的中点，设直线PO的斜率为k0，则k0·k＝eq \f(b2,a2)＝e2－1．
注：当焦点在y轴上时a，b对调．
【例题选讲】
[例4] (18)过点M(1，1)作斜率为－eq \f(1,3)的直线l与椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) 相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．
答案 eq \f(\r(6),3) 解析 秒杀 由题意得，k0·k＝e2－1．∴e＝eq \f(\r(6),3)．
通法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b2x\\al(2,1)＋a2y\\al(2,1)＝a2b2，,b2x\\al(2,2)＋a2y\\al(2,2)＝a2b2，))∴b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴2b2(x1－x2)＋2a2(y1－y2)＝0，∴b2(x1－x2)＝－a2(y1－y2)．∴eq \f(b2,a2)＝－eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(1,3)，∴a2＝3b2．∴a2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝eq \f(\r(6),3)．
(19)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M(1，eq \f(1,2))，则椭圆的离心率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(1,4) D．eq \f(\r(3),2)
答案 B 解析 秒杀 由题意得，k0·k＝e2－1．即，∴e＝eq \f(\r(2),2)．故选B．
通法 因为FP的斜率为－eq \f(b,c)，FP∥l，所以直线l的斜率为－eq \f(b,c)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),a2)＋\f(yeq \\al(2,1),b2)＝1,\f(xeq \\al(2,2),a2)＋\f(yeq \\al(2,2),b2)＝1))得eq \f(yeq \\al(2,1),b2)－eq \f(yeq \\al(2,2),b2)＝－(eq \f(xeq \\al(2,1),a2)－eq \f(xeq \\al(2,2),a2))，即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2(x1＋x2),a2(y1＋y2))．因为AB的中点为M(1，eq \f(1,2))，所以－eq \f(b,c)＝－eq \f(2b2,a2)，所以a2＝2bc，所以b2＋c2＝2bc，所以b＝c，所以a＝eq \r(2)c，所以椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2)，故选B．
(20)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(5),5)
答案 C 解析 秒杀 由题意得，k0·k＝e2－1．∴e＝eq \f(\r(3),2)．故选C．
通法一 设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),a2)＋\f(yeq \\al(2,1),b2)＝1，,\f(xeq \\al(2,2),a2)＋\f(yeq \\al(2,2),b2)＝1，))两式相减得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2).因为kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝1，且x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(3),2)，故选C．
通法二 将直线方程x－y＋5＝0代入eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，得(a2＋b2)x2＋10a2x＋25a2－a2b2＝0，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq \f(10a2,a2＋b2)，又由中点坐标公式知x1＋x2＝－8，所以eq \f(10a2,a2＋b2)＝8，解得a＝2b，又c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(3)b，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)．故选C．
(21)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过点P(3，6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则双曲线C的离心率为( )
A．2 B．eq \f(3,2) C．eq \f(3\r(5),5) D．eq \f(\r(5),2)
答案 B 解析 秒杀 由题意得，k0·k＝e2－1．∴e＝eq \f(3,2)．故选B．
通法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB的中点为N(12,15)，则x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)－\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)－\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))两式相减得，eq \f(x1＋x2x1－x2,a2)＝eq \f(y1＋y2y1－y2,b2)，则eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝eq \f(4b2,5a2)，由直线AB的斜率k＝eq \f(15－6,12－3)＝1，所以eq \f(4b2,5a2)＝1，则eq \f(b2,a2)＝eq \f(5,4)，双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \f(3,2)，所以双曲线C的离心率为eq \f(3,2)．故选B．
第Ⅴ组秒杀公式
过椭圆或双曲线的焦点F作倾斜角为θ直线与椭圆或双曲线相交A、B两点，且eq \(AF,\s\up6(→))＝λeq \(FB,\s\up6(→))，则有．(其中θ为直线的倾斜角，F在线段AB上)
[例5] (22)倾斜角为eq \f(π,4)的直线经过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，则该椭圆的离心率为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(2),3) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),3)
答案 B 解析 秒杀 由题可知，，所以e＝eq \f(\r(2),3)，故选B．
通法 由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1,y＝x－c))，所以(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有两个交点，则Δ>0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝\f(－2b2c,a2＋b2),y1y2＝\f(－b4,a2＋b2)))，又eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，所以(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，所以－y1＝2y2，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－y2＝\f(－2b2c,a2＋b2),－2yeq \\al(2,2)＝\f(－b4,a2＋b2)))，所以eq \f(1,2)＝eq \f(4c2,a2＋b2)，所以e＝eq \f(\r(2),3)，故选B．
(23)已知F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，若F为过AF的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)
答案 B 解析 秒杀 由题可知，，即，所以e＝eq \f(\r(3),3)，故选B．
通法 延长AF交椭圆于点B，设椭圆左焦点为F′，连接AF′，BF′．根据题意|AF|＝eq \r(b2＋c2)＝a，|AF|＝2|FB|，所以|FB|＝eq \f(a,2)．根据椭圆定义|BF′|＋|BF|＝2a，所以|BF′|＝eq \f(3a,2)．在△AFF′中，由余弦定理得cs∠F′AF＝eq \f(|F′A|2＋|FA|2－|F′F|2,2|F′A|·|FA|)＝eq \f(2a2－4c2,2a2)．在△AF′B中，由余弦定理得cs∠F′AB＝eq \f(|F′A|2＋|AB|2－|BF′|2,2|F′A|·|AB|)＝eq \f(1,3)，所以eq \f(2a2－4c2,2a2)＝eq \f(1,3)，解得a＝eq \r(3)c，所以椭圆离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)．故选B．
(24)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l与双曲线的右支交于不同两点A，B，若eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，则该双曲线的离心率为( )
A．eq \f(\r(5),2) B．eq \f(\r(6),2) C．eq \f(2\r(3),3) D．eq \r(3)
答案 A 解析 秒杀 由题可知，，即，即所以e＝＝eq \f(\r(5),2)，故选B．
通法 由题意得直线l的方程为x＝eq \f(b,a)y＋c，不妨取a＝1，则x＝by＋c，且b2＝c2－1．将x＝by＋c代入x2－eq \f(y2,b2)＝1，(b＞0)，得(b4－1)y2＋2b3cy＋b4＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－eq \f(2b3c,b4－1)，y1y2＝eq \f(b4,b4－1)．由eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，得y1＝－3y2，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2y2＝－\f(2b3c,b4－1),－3y\\al(2,2)＝\f(b4,b4－1)))，得3b2c2＝1－b4，解得b2＝eq \f(1,4)，所以c＝eq \r(b2＋1)＝eq \r(\f(5,4))＝eq \f(\r(5),2)，故该双曲线的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2)，故选A．
(25)设F1，F2分别是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若△AF1F2的面积是△BF1F2面积的三倍，cs∠AF2B＝eq \f(3,5)，则椭圆E的离心率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(2,3) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(2),2)
答案 D 解析 秒杀 设|F1B|＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k>0))，依题意可得|AF1|＝3k，|AB|＝4k，∴|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k．∵cs∠AF2B＝eq \f(3,5)，在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cs∠AF2B，∴(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－eq \f(6,5)(2a－3k)(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a－3k＝0，a＝3k，∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，，即，所以e＝eq \f(\r(2),3)，故选D．
通法 设|F1B|＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k>0))，依题意可得|AF1|＝3k，|AB|＝4k，∴|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k．∵cs∠AF2B＝eq \f(3,5)，在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cs∠AF2B，∴(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－eq \f(6,5)(2a－3k)(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a－3k＝0，a＝3k，∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，∴|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形．∴c＝eq \f(\r(2),2)a，椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)．
(26)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为点C，若S△ABC＝3S△BCF2，则椭圆的离心率为 ．
答案 eq \f(\r(5),5) 解析 秒杀 如图所示，因为S△ABC＝3S△BCF2，所以|AF2|＝2|F2C|．tan∠F1F2A＝eq \f(b2,2ac)，则cs2∠F1F2A＝eq \f(4a2c2,b4＋4a2c2)．，即，化为：a2＝5c2，解得e＝eq \f(\r(5),5)．
通法 如图所示，因为S△ABC＝3S△BCF2，所以|AF2|＝2|F2C|．A(－c，eq \f(b2,a))，直线AF2的方程为：y－0＝eq \f(\f(b2,a)－0,－c－c)(x－c)，化为：y＝eq \f(－b2,2ac)(x－c)，代入椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，可得：(4c2＋b2)x2－2cb2x＋b2c2－4a2c2＝0，所以xC·(－c)＝eq \f(b2c2－4a2c2,4c2＋b2)，解得xC＝eq \f(4a2c－b2c,4c2＋b2)．因为eq \(AF2,\s\up6(→))＝2eq \(F2C,\s\up6(→))，所以c－(－c)＝2(eq \f(4a2c－b2c,4c2＋b2)－c)，化为：a2＝5c2，解得e＝eq \f(\r(5),5)．
【对点训练】
21．已知F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，若F为过AF的椭圆的弦的三等
分点，则椭圆的离心率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)
21．答案 B 解析 秒杀 由题可知，，即，所以e＝eq \f(\r(3),3)，故选B．
通法 延长AF交椭圆于点B，设椭圆左焦点为F′，连接AF′，BF′．根据题意|AF|＝eq \r(b2＋c2)＝a，|AF|＝2|FB|，所以|FB|＝eq \f(a,2)．根据椭圆定义|BF′|＋|BF|＝2a，所以|BF′|＝eq \f(3a,2)．在△AFF′中，由余弦定理得cs∠F′AF＝eq \f(|F′A|2＋|FA|2－|F′F|2,2|F′A|·|FA|)＝eq \f(2a2－4c2,2a2)．在△AF′B中，由余弦定理得cs∠F′AB＝eq \f(|F′A|2＋|AB|2－|BF′|2,2|F′A|·|AB|)＝eq \f(1,3)，所以eq \f(2a2－4c2,2a2)＝eq \f(1,3)，解得a＝eq \r(3)c，所以椭圆离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)．故选B．
22．已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦点，B是短轴的一个端点，线段BF2的延长线交椭
圆C于点D，若△F1BD为等腰三角形，则椭圆C的离心率为________．
22．答案 eq \f(\r(3),3) 解析 秒杀 如图，不妨设点B是椭圆短轴的上端点，则点D在第四象限内，设点D(x，
y)．由题意得△F1BD为等腰三角形，且|DF1|＝|DB|．由椭圆的定义得|DF1|＋|DF2|＝2a，|BF1|＝|BF2|＝a，又|DF1|＝|DB|＝|DF2|＋|BF2|＝|DF2|＋a，∴(|DF2|＋a)＋|DF2|＝2a，解得|DF2|＝eq \f(a,2)．由题可知，，即，所以e＝eq \f(\r(3),3)．
通法 如图，不妨设点B是椭圆短轴的上端点，则点D在第四象限内，设点D(x，y)．由题意得△F1BD为等腰三角形，且|DF1|＝|DB|．
由椭圆的定义得|DF1|＋|DF2|＝2a，|BF1|＝|BF2|＝a，又|DF1|＝|DB|＝|DF2|＋|BF2|＝|DF2|＋a，∴(|DF2|＋a)＋|DF2|＝2a，解得|DF2|＝eq \f(a,2)．作DE⊥x轴于E，则有|DE|＝|DF2|sin∠DF2E＝|DF2|sin∠BF2O＝eq \f(a,2)×eq \f(b,a)＝eq \f(b,2)，|F2E|＝|DF2|cs∠DF2E＝|DF2|cs∠BF2O＝eq \f(a,2)×eq \f(c,a)＝eq \f(c,2)，∴|OE|＝|OF2|＋|F2E|＝c＋eq \f(c,2)＝eq \f(3c,2)，∴点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)，－\f(b,2)))．又点D在椭圆上，∴eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)))2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2)))2,b2)＝1，整理得3c2＝a2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)．
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