专题12 范围问题模型(解析版)

这是一份专题12 范围问题模型(解析版)，共9页。试卷主要包含了用函数思想解决的模型，已知椭圆C，已知P是椭圆C，设A，B是椭圆C，故m的取值范围为等内容，欢迎下载使用。

解决有关范围问题的基本思路是建立目标函数或不等关系：
建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围；
建立不等关系时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系．
圆锥曲线中范围问题建立不等关系的基本方法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
1．用函数思想解决的模型
【例题选讲】
[例1] (1)若点O和点F(－2，0)分别为双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(FP,\s\up7(→))的取值范围为________．
答案 [3＋2eq \r(3)，＋∞) 解析 由题意，得22＝a2＋1，即a＝eq \r(3)，设P(x，y)，x≥eq \r(3)，eq \(FP,\s\up7(→))＝(x＋2，y)，则eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(FP,\s\up7(→))＝(x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋eq \f(x2,3)－1＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,4)))eq \s\up12(2)－eq \f(7,4)，因为x≥eq \r(3)，所以eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(FP,\s\up7(→))的取值范围为[3＋2eq \r(3)，＋∞)．
(2)已知椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，以F2为圆心作半径为1的圆F2，P为椭圆C上一点，Q为圆F2上一点，则|PF1|＋|PQ|的取值范围为________．
答案 [5，7] 解析 如图所示，|PF1|＋|PQ|＝2a－|PF2|＋|PQ|≤2a＋|QF2|＝6＋1＝7．又|PF1|＋|PQ|≥|PF1|＋|PF2|－|QF2|＝6－1＝5．∴|PF1|＋|PQ|的取值范围是[5，7]．故答案为：[5，7]．
(3)在椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有eq \(F1P,\s\up7(→))·eq \(F2P,\s\up7(→))≤1，则eq \(F1P,\s\up7(→))与eq \(F2Q,\s\up7(→))的夹角余弦值的范围为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,3))) 解析 设P(x，y)，则Q点(x，－y)，椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1的焦点坐标为(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0)，∵eq \(F1P,\s\up7(→))·eq \(F2P,\s\up7(→))≤1，∴x2－2＋y2≤1，结合eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1，可得y2∈[1,2]．故eq \(F1P,\s\up7(→))与eq \(F2Q,\s\up7(→))的夹角θ满足：cs θ＝eq \f(\(F1P,\s\up7(→))·\(F2Q,\s\up7(→)),|\(F1P,\s\up7(→))|·|\(F2Q,\s\up7(→))|)＝eq \f(x2－2－y2,\r(x2＋2＋y22－8x2))＝eq \f(2－3y2,y2＋2)＝－3＋eq \f(8,y2＋2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,3)))．
【对点训练】
1．已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|＝t|PF2|(t∈(1，
3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________．
1．答案 (0，eq \r(3)] 解析 由双曲线的定义及题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|－|PF2|＝2a，,|PF1|＝t|PF2|，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＝\f(2at,t－1)，,|PF2|＝\f(2a,t－1).))又|PF1|
＋|PF2|≥2c，∴|PF1|＋|PF2|＝eq \f(2at,t－1)＋eq \f(2a,t－1)≥2c，整理得e＝eq \f(c,a)≤eq \f(t＋1,t－1)＝1＋eq \f(2,t－1)，∵12．已知过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR
并延长交抛物线C于点S，则eq \f(|OS|,|OR|)的取值范围是( )
A．(0，2) B．[2，＋∞) C．(0，2] D．(2，＋∞)
2．答案 D 解析 由题意知，抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2，0)，直线l的斜率存在且不为0，设
直线l的方程为y＝k(x－2)．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－2），,y2＝8x))消去y整理得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x0，y0)，S(x3，y3)，则x1＋x2＝eq \f(4（k2＋2）,k2)，故x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(2（k2＋2）,k2)，y0＝k(x0－2)＝eq \f(4,k)，所以kOS＝eq \f(y0,x0)＝eq \f(2k,k2＋2)，直线OS的方程为y＝eq \f(2k,k2＋2)x，代入抛物线方程，解得x3＝eq \f(2(k2＋2)2,k2)，由条件知k2＞0．所以eq \f(|OS|,|OR|)＝eq \f(x3,x0)＝k2＋2＞2．选D．
3．已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1，P(a，0)为x轴上一动点．若存在以点P为圆心的圆O，使得椭圆C与圆O有
四个不同的公共点，则a的取值范围是________．
3．答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3,2))) 解析 因为圆O的圆心在x轴上，则由椭圆和圆的对称性得椭圆C与圆O的四个不
同的公共点两两关于x轴对称，设在x轴上方的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋b，与椭圆方程联立消去y化简得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，由Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)＞0，得b2＜4k2＋1，此时x1＋x2＝－eq \f(8kb,4k2＋1)，则y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝eq \f(2b,4k2＋1)，则AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4kb,4k2＋1)，\f(b,4k2＋1)))，线段AB的垂直平分线方程为y－eq \f(b,4k2＋1)＝－eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4kb,4k2＋1)))，令y＝0，得点P的横坐标a＝－eq \f(3kb,4k2＋1)，则a2＝eq \f(9k2b2,4k2＋12)＜eq \f(9k24k2＋1,4k2＋12)＝eq \f(9,4＋\f(1,k2))＜eq \f(9,4)，所以－eq \f(3,2)＜a＜eq \f(3,2)．
2．用建立不等关系解决的的模型
【例题选讲】
[例2] (4)已知椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0答案 [2，2eq \r(2)) 解析 由点P(x0，y0)满足0(5)已知直线l：y＝kx＋t与圆C1：x2＋(y＋1)2＝2相交于A，B两点，且△C1AB的面积取得最大值，又直线l与抛物线C2：x2＝2y相交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是______________．
答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析 根据题意得到△C1AB的面积为eq \f(1,2)r2sin θ，当角度为直角时面积最大，此时△C1AB为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离为d＝1，根据点到直线的距离公式得到eq \f(|1＋t|,\r(1＋k2))＝1⇒1＋k2＝(1＋t)2⇒k2＝t2＋2t，直线l与抛物线C2：x2＝2y相交于不同的两点M，N，联立直线和抛物线方程得到x2－2kx－2t＝0 ，只需要此方程有两个不等根即可，Δ＝4k2＋8t＝4t2＋16t>0 ，解得t的取值范围为(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
(6)过抛物线y2＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥eq \f(π,4)，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1＋\f(\r(2),2)))
答案 D 解析 记点A的横坐标是x1，则有|AF|＝x1＋eq \f(1,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)＋|AF|cs θ))＋eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)＋|AF|cs θ，|AF|(1－cs θ)＝eq \f(1,2)，|AF|＝eq \f(1,21－cs θ)．由eq \f(π,4)≤θ<π得－1(7)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为A，其准线与x轴的交点为B，如果在直线3x＋4y＋25＝0上存在点M，使得∠AMB＝90°，则实数p的取值范围是________．
答案 [10，＋∞) 解析 由题得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))，∵M在直线3x＋4y＋25＝0上，设点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，\f(－3x－25,4)))，∴eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)，\f(－3x－25,4)))，eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(p,2)，\f(－3x－25,4)))，又∠AMB＝90°，∴eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(p,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－3x－25,4)))2＝0，即25x2＋150x＋625－4p2＝0，∴Δ≥0，即1502－4×25×(625－4p2)≥0，解得p≥10或p≤－10，又p>0，∴p的取值范围是[10，＋∞)．
(8)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则eq \(PF1,\s\up8(→))·eq \(PF2,\s\up8(→))的最小值的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(15,16)，－\f(3,4))) 解析 设P(m，n)，则eq \f(m2,a2)－eq \f(n2,b2)＝1，即m2＝a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(n2,b2)))．又F1(－1,0)，F2(1,0)，则eq \(PF1,\s\up8(→))＝(－1－m，－n)，eq \(PF2,\s\up8(→))＝(1－m，－n)，eq \(PF1,\s\up8(→))·eq \(PF2,\s\up8(→))＝n2＋m2－1＝n2＋a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(n2,b2)))－1＝n2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a2,b2)))＋a2－1≥a2－1，当且仅当n＝0时取等号，所以eq \(PF1,\s\up8(→))·eq \(PF2,\s\up8(→))的最小值为a2－1．由2≤eq \f(1,a)≤4，得eq \f(1,4)≤a≤eq \f(1,2)，故－eq \f(15,16)≤a2－1≤－eq \f(3,4)，即eq \(PF1,\s\up8(→))·eq \(PF2,\s\up8(→))的最小值的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(15,16)，－\f(3,4)))．
(9)如图，由抛物线y2＝12x与圆E：(x－3)2＋y2＝16的实线部分构成图形Ω，过点P(3，0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为( )
A．[4，5] B．[7，8] C．[6，7] D．[5，6]
答案 B 解析 由题意可知抛物线y2＝12x的焦点为F(3，0)，圆(x－3)2＋y2＝16的圆心为E(3，0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|＝4，设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|＝x0＋3，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝12x，,(x－3)2＋y2＝16))得(x－3)2＋12x＝16，整理得x2＋6x－7＝0，解得x1＝1，x2＝－7(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xC＝xD＝1，因此0≤x0≤1，又|AB|＝|AP|＋|BP|＝4＋x0＋3＝x0＋7，所以|AB|＝x0＋7∈[7，8]，故选B．
【对点训练】
4．已知P(x0，y0)是椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))<0，则x0的取值范
围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(6),3)，\f(2\r(6),3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(6),3)，\f(\r(6),3)))
4．答案 A 解析 由题意可知，F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，则eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝(x0＋eq \r(3))(x0－eq \r(3))＋yeq \\al(2,0)＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－
3<0，点P在椭圆上，则yeq \\al(2,0)＝1－eq \f(x\\al(2,0),4)，故xeq \\al(2,0)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),4)))－3<0，解得－eq \f(2\r(6),3)5．已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的
取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C．(－3，0) D．(－2，0)
5．答案 A 解析 因为直线与圆相切，所以eq \f(|t＋1|,\r(1＋k2))＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整
理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，解得t>0或t<－3．故选A．
6．(2017·全国Ⅰ)设A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则
m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，eq \r(3)]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，eq \r(3)]∪[4，＋∞)
6．答案 A 解析 当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则eq \f(a,b)≥tan 60°
＝eq \r(3)，即eq \f(\r(3),\r(m))≥eq \r(3)，解得0＜m≤1.当m＞3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则eq \f(a,b)≥tan 60°＝eq \r(3)，即eq \f(\r(m),\r(3))≥eq \r(3)，解得m≥9．故m的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞)．
7．如图，抛物线E：x2＝4y与M：x2＋(y－1)2＝16交于A，B两点，点P为劣弧eq \(AB,\s\up8(︵))上不同于A，B的一
个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N，则△PMN的周长的取值范围是( )
A．(6，12) B．(8，10) C．(6，10) D．(8，12)
7．答案 B 解析 由题意可得，抛物线E的焦点为(0，1)，圆M的圆心为(0，1)，半径为4，所以圆心
M(0，1)为抛物线的焦点，故|NM|等于点N到准线y＝－1的距离，又PN∥y轴，故|PN|＋|NM|等于点P到准线y＝－1的距离，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝4y,x2＋(y－1)2＝16))，得y＝3，又点P为劣弧eq \(AB,\s\up8(︵))上不同于A，B的一个动点，所以点P到准线y＝－1的距离的取值范围是(4，6)，又|PM|＝4，所以△PMN的周长的取值范围是(8，10)，选B．
8．已知点P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，
O为坐标原点，若点M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是________．
8．答案 (0，4) 解析 解法一：由椭圆的对称性，只需研究动点P在第一象限内的情况，当点P趋近
于椭圆的上顶点时，点M趋近于点O，此时|OM|趋近于0；当点P趋近于椭圆的右顶点时，点M趋近于点F1，此时|OM|趋近于eq \r(25－9)＝4，所以|OM|的取值范围为(0，4)．
解法二：如图，延长PF2，F1M，交于点N，∵PM是∠F1PF2的角平分线，且F1M⊥MP，
∴|PN|＝|PF1|，M为F1N的中点，又O为F1F2的中点，∴|OM|＝eq \f(1,2)|F2N|＝eq \f(1,2)||PN|－|PF2||＝eq \f(1,2)(|PF1|－|PF2|)，又|PF1|＋|PF2|＝10，∴|OM|＝eq \f(1,2)．|2|PF1|－10|＝|PF1－5|，又|PF1|∈(1，5)∪(5，9)，∴|OM|∈(0，4)，故|OM|的取值范围是(0，4)．
9．已知斜率为eq \f(1,2)的直线l与抛物线y2＝2px(p>0)交于位于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜
率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围是 ．
9．答案 (2，＋∞) 解析 设直线l：x＝2y＋t，联立抛物线方程消去x得y2＝2p(2y＋t)⇒y2－4py－2pt
＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝16p2＋8pt>0⇒t>－2p，y1＋y2＝4p，y1y2＝－2pt>0⇒t<0，即－2p2，即k1＋k2的取值范围是(2，＋∞)．
10．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3))，\f(1,\r(2))))，直线y＝－x＋1交椭圆于点M，N，
O是坐标原点，且OM⊥ON，则椭圆长轴长的取值范围是( )
A．[eq \r(7)，eq \r(8) ] B．[eq \r(6)，eq \r(7) ] C．[eq \r(5)，eq \r(6) ] D．[eq \r(8)，eq \r(9) ]
10．答案 C 解析 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－x＋1，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))消去y，得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，设M(x1，y1)，N(x2，
y2)，则x1＋x2＝eq \f(2a2,a2＋b2)，x1x2＝eq \f(a21－b2,a2＋b2)，由OM⊥ON，得x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(1－x1)(1－x2)＝0，化简得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，∴eq \f(2a21－b2,a2＋b2)－eq \f(2a2,a2＋b2)＋1＝0，化简得b2＝eq \f(a2,2a2－1)，∵e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))，∴e2＝1－eq \f(b2,a2)，∵e∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3))，\f(1,\r(2))))，∴e2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))，∴1－eq \f(b2,a2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))，∴eq \f(1,2)≤eq \f(b2,a2)≤eq \f(2,3)，∴eq \f(1,2)≤eq \f(1,2a2－1)≤eq \f(2,3)，∴eq \f(5,4)≤a2≤eq \f(3,2)，∴eq \f(\r(5),2)≤a≤eq \f(\r(6),2)，∴eq \r(5)≤2a≤eq \r(6)，即椭圆的长轴长的取值范围为[eq \r(5)，eq \r(6) ]，故选C．