


浙江省温州市鹿城区七校联考2021-2022学年九年级上学期第二次月考数学【试卷+答案】
展开浙江省温州市鹿城区七校联考2021-2022学年九年级上册第二次月考数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,共 40 分)
1、 若xy=23 ,则x-yy 的值为( )
A.-12
B.-13
C.12
D.13
2、 已知⊙O的半径为6cm,点P在⊙O内,则OP的长( )
A.小于6cm
B.大于6cm
C.等于6cm
D.等于12cm
3、 抛物线y=x2-4与y轴的交点坐标是( )
A.(2,0)
B.(0,2)
C.(-4,0)
D.(0,-4)
4、 一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球,其中4个白球,2个红球,1个黄球.从布袋里任意摸出1个球,是红球的概率为( )
A.47
B.37
C.27
D.17
5、 如图,在⊙O中,OC⊥AB于点C.若⊙O的半径为10,AB=16,则OC的长为( )
A.4
B.5
C.6
D.8
6、 如图,△ABC内接于⊙O,AD是直径,若∠B=60°,AC=3 ,则直径AD的长为( )
A.1
B.2
C.3
D.23
7、 如图,在正五边形 ABCDE中,记∠BCD=x°,∠ACB=y°,则xy 等于( )
A.32 B.2 C.3 D.4
8、 如图,是一块矩形场地ABCD,宽AB=8米,长BC=12米.若在其对角线AC,BD的延长线上取点E,F,G,H,扩建为新的矩形场地,左、右各增加了0.6米,上、下各增加了x米,则x的值为( )
A.0.2
B.0.3
C.0.4
D.0.5
9、 在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2-4ax+2(a<0)部分图象和一次函数y=-12 x+2的图象如图所示.已知它们有一个交点为A,点B(-1,-1)在该二次函数图象上,则它们的另一个交点在( )
A.MN之间
B.点N
C.NQ之间
D.点Q
10、 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三边为边向外作正方形,连结CG交AB于点M,连结CE,CH.若CH=2CE,则AMBM 的值为( )
A.23
B.34
C.35
D.104
二.填空题(共6小题,30分)
11.若正多边形的每一个内角为135°,则这个正多边形的边数是 .
12.已知一扇形,半径为6,圆心角为120°,则所对的弧长为 .
13.若二次函数y=x2+x+1的图象,经过A(﹣3,y1),B(2,y2),C(,y3),三点y1,y2,y3大小关系是 (用“<”连接)
14.在Rt△ABC中,两直角边的长分别为6和8,则这个三角形的外接圆的直径长为 .
15.一只小狗自由自在地在如图所示的某个正方形场地跑动,然后随意停在图中阴影部分的概率是 .
16.如图,AC是⊙O的直径,弦BD⊥AC于点E,连接BC过点O作OF⊥BC于点F,若BD=12cm,AE=4cm,则OF的长度是 cm.
三、解答题(本题有8小题,共80分,解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
17.(8分)如图,在6×6的正方形网格中,网线的交点称为格点,点A,B,C都是格点.已知每个小正方形的边长为1.
(1)画出△ABC的外接圆⊙O,并直接写出⊙O的半径是多少.
(2)连结AC,在网络中画出一个格点P,使得△PAC是直角三角形,且点P在⊙O上.
18.(8分)已知点(0,3)在二次函数y=ax2+bx+c的图象上,且当x=1时,函数y有最小值2.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)如果两个不同的点C(m,6),D(n,6)也在这个函数的图象上,求m+n的值.
19.(8分)如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,交AC于点E.
(1)求证:.
(2)若∠BAC=50°,求的度数.
20.(10分)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的C1处,点D落在点D1处,C1D1交线段AE于点G.
(1)求证:△BC1F∽△AGC1;
(2)若C1是AB的中点,AB=6,BC=9,求AG的长.
21.(10分)如图直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=﹣x2+6x+3交y轴于点A,过A作AB∥x轴,交抛物线于点B,连结OB.点P为抛物线上AB上方的一个点,连结PA,作PQ⊥AB垂足为H,交OB于点Q.
(1)求AB的长;
(2)当∠APQ=∠B时,求点P的坐标;
(3)当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时,求点P的坐标.
22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,G是上一点,AG,DC的延长线交于点F.
(1)求证:∠FGC=∠AGD.
(2)当DG平分∠AGC,∠ADG=45°,AF=,求弦DC的长.
23.(12分)自2019年3月开始,我国生猪、猪肉价格持续上涨,某大型菜场在销售过程中发现,从2019年10月1日起到11月9日的40天内,猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示:猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线y=a(x﹣30)2+100表示.
(1)a= ;
(2)求图1表示的售价p与时间x的函数关系式;
(3)问从10月1日起到11月9日的40天内第几天每千克猪肉利润最低,最低利润为多少?
24.(14分)如图 Rt△ABC中,∠ABC=90°,P是斜边AC上一个动点,以BP为直径作⊙O交BC于点D,与AC的另一个交点E,连接DE.
(1)当时,
①若=130°,求∠C的度数;
②求证AB=AP;
(2)当AB=15,BC=20时
①是否存在点P,使得△BDE是等腰三角形,若存在,求出所有符合条件的CP的长;
②以D为端点过P作射线DH,作点O关于DE的对称点Q恰好落在∠CPH内,则CP的取值范围为 .(直接写出结果)
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
C
C
B
C
C
A
B
【 第 5 题 】
【解析】
解:∵OC⊥AB于C,
∴AC=BC=8,
在Rt△BOC中,OB=10,BC=8,
∴OC=OA2-BC2 =6.
故选C.
根据垂径定理得到AC=BC=8,然后在Rt△BOC中利用勾股定理可计算出OB.
本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理.
【 第 10 题 】
【解析】
建系如图所示
由题意可知:CH=2 CB,CE=2 AC
又∵CH=2CE
∴CB=2AC
设AC为a,则BC长为2a,AB长为5 a
则A(0,0),G(5 a,-5 a),C(55 a,255 a)
则直线CG表达式为y=-74 x+354 a
当y=0时,x=357 a
∴点M坐标为(357 a,0)
∴AM=357 a,BM=5 a-357 a=457 a
∴AMBM=34 ,故选B
本题考查了利用直角坐标系与三角形相关知识的综合运用,利用坐标轴为解题的关键
二.填空题(共6小题)
11. 【分析】先求出每一外角的度数是45°,然后用多边形的外角和为360°÷45°进行计算即可得解.
【解答】解:∵所有内角都是135°,
∴每一个外角的度数是180°﹣135°=45°,
∵多边形的外角和为360°,
∴360°÷45°=8,
即这个多边形是八边形.
故答案为:8.
12. 【分析】把已知数据代入弧长公式计算即可.
【解答】解:此扇形的弧长==4π,
故答案为:4π.
13. 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上,对称轴是直线x=﹣,根据x>﹣时,y随x的增大而增大,即可得出答案.
【解答】解:∵y=x2+x+1=(x+)2+,
∴图象的开口向上,对称轴是直线x=﹣,
A(﹣3,y1)关于直线x=﹣的对称点是(2,y1),
∵<2,
∴y3<y1=y2,
故答案为y3<y1=y2.
14. 【分析】直角三角形外接圆的直径是斜边的长.
【解答】解:如图,已知:AC=8,BC=6,
由勾股定理得:AB===10,
∵∠ACB=90°,
∴AB是⊙O的直径,
∴这个三角形的外接圆直径是10;
故答案为:10.
15.【分析】确定黑色方格的面积在整个方格中占的比例,根据这个比例即可求出小狗停在黑色方格中的概率.
【解答】解:图上共有16个方格,黑色方格为7个,
小狗最终停在黑色方格上的概率是.
故答案为:.
16.【分析】连接OB,根据垂径定理求出BE,根据勾股定理求出OB,再根据勾股定理计算即可.
【解答】解:连接OB,
∵AC是⊙O的直径,弦BD⊥AC,
∴BE=BD=6cm,
在Rt△OEB中,OB2=OE2+BE2,即OB2=(OB﹣4)2+62,
解得,OB=,
则EC=AC﹣AE=9,
BC===3,
∵OF⊥BC,
∴CF=BC=,
∴OF===(cm),
故答案为.
三、解答题(本题有8小题,共80分,解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
17.【分析】(1)直接利用网格结合勾股定理得出答案;
(2)字节利用圆周角定理得出P点位置.
【解答】解:(1)如图所示:⊙O即为所求,⊙O的半径是:=;
(2)如图所示:直角三角形PAC即为所求.
18. 【分析】(1)由题意可得(1,2)是抛物线的顶点,且过(0,3),可利用顶点式求出关系式;
(2)根据点C(m,6),D(n,6)坐标特点可知这两个点关于对称轴对称,可求出m+n的值.
【解答】解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c当x=1时,函数y有最小值2,
∴点(1,2)为抛物线的顶点,
于是可设抛物线的关系式为y=a(x﹣1)2+2,把(0,3)代入得,
a+2=3,
∴a=1,
∴抛物线的关系式为y=(x﹣1)2+2,
即y=x2﹣2x+3;
(2)点C(m,6),D(n,6)都在抛物线上,
因此点C、D关于直线x=1对称,
∴=1,
∴m+n=2.
19.【分析】(1)连接AD,先由圆周角定理得∠ADB=90°,则AD⊥BC,再由等腰三角形的性质得∠BAD=∠CAD,即可得出结论;
(2)连接OE,先由等腰三角形的性质得∠OEA=∠BAC=50°,再由三角形内角和定理求出∠AOE=80°,即可得出结论.
【解答】(1)证明:连接AD,如图1所示:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴.
(2)解:连接OE,如图2所示:
∵AB是⊙O的直径,
∴OA是半径,
∴OA=OE,
∴∠OEA=∠BAC=50°,
∴∠AOE=180°﹣50°﹣50°=80°,
∴的度数为80°.
20.【分析】(1)根据题意和图形可以找出△BC1F∽△AGC1的条件,从而可以解答本题;
(2)根据勾股定理和(1)中的结论可以求得AG的长.
【解答】证明:(1)由题意可知∠A=∠B=∠GC1F=90°,
∴∠BFC1+∠BC1F=90°,∠AC1G+∠BC1F=90°,
∴∠BFC1=∠AC1G,
∴△BC1F∽△AGC1.
(2)∵C1是AB的中点,AB=6,
∴AC1=BC1=3.
∵∠B=90°,
∴BF2+32=(9﹣BF)2,
∴BF=4,
由(1)得△AGC1∽△BC1F,
∴,
∴,
解得,AG=.
21.【分析】(1)对于y=﹣x2+6x+3,令x=0,则y=3,故点A(0,3),令y=﹣x2+6x+3=3,解得x=0或6,故点B(6,3),即可求解;
(2)证明△ABO~△HPA,则,即可求解;
(3)当△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍时,则2(AO+HQ)=PH,即可求解.
【解答】解:(1)对于y=﹣x2+6x+3,令x=0,则y=3,故点A(0,3),
令y=﹣x2+6x+3=3,解得x=0或6,故点B(6,3),
故AB=6;
(2)设P(m,﹣m2+6m+3),
∵∠P=∠B,∠AHP=∠OAB=90°,
∴△ABO~△HPA,故,
∴=,
解得m=4.
∴P(4,11);
(3)当△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍时,
则2(AO+HQ)=PH,
∴2(3+)=﹣m2+6m,
解得:m1=4,m2=3,
∴P(4,11)或P(3,12).
22.【分析】(1)如图1,利用垂径定理得到=,根据等腰三角形的性质得∠ADC=∠ACD,根据圆周角定理的推论得到∠AGD=∠ACD=∠ADC,再利用圆内接四边形的性质得到∠FGC=∠ADC,从而得到结论;
(2)连接BG,AC,如图2,根据垂径定理得到DE=CE,先证明△AEF是等腰直角三角形,可得AE的长,最后利用勾股定理可得DE的长,从而得CD的长.
【解答】(1)证明:如图1,连接AC,
∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,
∴=,
∴AD=AC,
∴∠ADC=∠ACD,
∵ADCG在⊙O上,
∴∠CGF=∠ADC,
∵∠AGD=∠ACD,
∴∠FGC=∠AGD;
(2)解:如图2,连接BG,AC,
∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,
∴DE=CE,
∵DG平分∠AGC,
∴∠AGD=∠CGD,
∵∠FGC=∠AGD,
∴∠AGD=∠CGD=∠FGC,
∵∠AGD+∠CGD+∠FGC=180°,
∴∠CGF=∠AGD=60°,
∴∠ADC=∠ACD=60°,
∴△ADC是等边三角形,
∵AB⊥CD,
∴∠CAE=∠DAE=30°,
∵∠ADG=45°,
∴∠CDG=∠CAG=60°﹣45°=15°,
∴∠EAF=30°+15°=45°,
Rt△AEF中,AE=EF,
∵AF=,
∴AE=EF=,
Rt△ADE中,∠DAE=30°,
∴DE=1,
∴DC=2DE=2.
23. 【分析】(1)把(10,60)代入y=a(x﹣30)2+100可得结论.
(2)分两种情形,分别利用待定系数法解决问题即可.
(3)分两种情形,分别求解即可.
【解答】解:(1)把(10,60)代入y=a(x﹣30)2+100,得到a=﹣,
故答案为﹣.
(2)当0≤x<30时,设P=kx+b,
把(0,60),(10,80)代入得到,
解得,
∴P=2x+60.
当30≤x≤40时,设P=k′x+b′,
把(30,120),(40,100)代入得到,
解得,
∴P=﹣2x+180.
综上所述,P=.
(3)设利润为w.
当0≤x<30时,w=2x+60﹣(﹣x2+6x+10)=x2﹣4x+50=(x﹣20)2+10,
∴当x=20时,w有最小值,最小值为10(元/千克).
当30≤x≤40时,
w=﹣2x+180﹣(﹣x2+6x+10)=x2﹣8x+170=(x﹣40)2+10,
∴当x=40时,最小利润w=10(元/千克),
综上所述,当20天或40天,最小利润为10元/千克.
24. 【分析】(1)①连接BE,由圆周角定理得出∠BEC=90°,求出=50°,=100°,则∠CBE=50°,即可得出结果;
②由=,得出∠CBP=∠EBP,易证∠C=∠ABE,由∠APB=∠CBP+∠C,∠ABP=∠EBP+∠ABE,得出∠APB=∠ABP,即可得出结论;
(2)①由勾股定理得AC==25,由面积公式得出AB•BC=AC•BE,求出BE=12,连接DP,则PD∥AB,得出△DCP∽△BCA,求出CP==CD,
△BDE是等腰三角形,分三种情况讨论,当BD=BE时,BD=BE=12,CD=BC﹣BD=8,CP=CD=10;当BD=ED时,可知点D是Rt△CBE斜边的中线,得出CD=BC=10,CP=CD=;当DE=BE时,作EH⊥BC,则H是BD中点,EH∥AB,求出AE==9,CE=AC﹣AE=16,CH=20﹣BH,由EH∥AB,得出=,求出BH=,BD=2BH=,CD=BC﹣BD=,则CP=CD=7;
②当点Q落在∠CPH的边PH上时,CP最小,连接OD、OQ、OE、QE、BE,证明四边形ODQE是菱形,求出PC=AC﹣PE﹣AE=7;当点Q落在∠CPH的边PC上时,CP最大,连接OD、OQ、OE、QD,同理得四边形ODQE是菱形,连接DF,求出PC=AC=12.5,即可得出答案.
【解答】(1)①解:连接BE,如图1所示:
∵BP是直径,
∴∠BEC=90°,
∵=130°,
∴=50°,
∵=,
∴=100°,
∴∠CBE=50°,
∴∠C=40°;
②证明:∵=,
∴∠CBP=∠EBP,
∵∠ABE+∠A=90°,∠C+∠A=90°,
∴∠C=∠ABE,∵∠APB=∠CBP+∠C,∠ABP=∠EBP+∠ABE,
∴∠APB=∠ABP,
∴AP=AB;
(2)解:①由AB=15,BC=20,
由勾股定理得:AC===25,
∵AB•BC=AC•BE,
即×15×20=×25×BE
∴BE=12,
连接DP,如图1﹣1所示:
∵BP是直径,
∴∠PDB=90°,
∵∠ABC=90°,
∴PD∥AB,
∴△DCP∽△BCA,
∴=,
∴CP===CD,
△BDE是等腰三角形,分三种情况:
当BD=BE时,BD=BE=12,
∴CD=BC﹣BD=20﹣12=8,
∴CP=CD=×8=10;
当BD=ED时,可知点D是Rt△CBE斜边的中线,
∴CD=BC=10,
∴CP=CD=×10=;
当DE=BE时,作EH⊥BC,则H是BD中点,EH∥AB,如图1﹣2所示:
AE===9,
∴CE=AC﹣AE=25﹣9=16,CH=BC﹣BH=20﹣BH,
∵EH∥AB,
∴=,
即=,
解得:BH=,
∴BD=2BH=,
∴CD=BC﹣BD=20﹣=,
∴CP=CD=×=7;
综上所述,△BDE是等腰三角形,符合条件的CP的长为10或或7;
②当点Q落在∠CPH的边PH上时,CP最小,如图2所示:
连接OD、OQ、OE、QE、BE,
由对称的性质得:DE垂直平分OQ,
∴OD=QD,OE=QE,
∵OD=OE,
∴OD=OE=QD=QE,
∴四边形ODQE是菱形,
∴PQ∥OE,
∵PB为直径,
∴∠PDB=90°,
∴PD⊥BC,
∵∠ABC=90°,
∴AB⊥BC,
∴PD∥AB,
∴DE∥AB,
∵OB=OP,
∴OE为△ABP中位线,
∴PE=AE=9,
∴PC=AC﹣PE﹣AE=25﹣9﹣9=7;
当点Q落在∠CPH的边PC上时,CP最大,如图3所示:
连接OD、OQ、OE、QD,
同理得:四边形ODQE是菱形,
∴OD∥QE,
连接DF,
∵∠DBA=90°,
∴DF是直径,
∴D、O、F三点共线,
∴DF∥AQ,
∴∠OFB=∠A,
∵OB=OF,
∴∠OFB=∠OBF=∠A,
∴PA=PB,
∵∠OBF+∠CBP=∠A+∠C=90°,
∴∠CBP=∠C,
∴PB=PC=PA,
∴PC=AC=12.5,
∴7<CP<12.5,
故答案为:7<CP<12.5.
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