浙江省温州市七校2022-2023学年九年级上学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省温州市七校2022-2023学年九年级上学期期中联考数学试卷(含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

浙江省温州市七校2022-2023学年九年级上学期期中联考
数学试卷（附答案与解析）
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）若＝，则的值是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）二次函数y＝x2﹣x﹣2的图形与y轴的交点坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）
3．（4分）若抛物线y＝ax2﹣2x+3经过点P（1，2），则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（　　）
A．点A在⊙C内 B．点A在⊙C上 C．点A在⊙C外 D．无法确定
5．（4分）将抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　）
A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+2
6．（4分）已知点A（﹣1，a），B（2，b），C（4，c）均在抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣2上，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c
7．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝Rt∠，AB＝4，BC＝3，D是AB的中点，DE⊥AC交AC于点E，则AE的长是（　　）

A． B． C． D．1
8．（4分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心．5米为半径的圆，旦圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　）

A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
9．（4分）如图，以正方形ABCD的点A为圆心，AB为半径作，取上一点F使得DF＝DC，点E是上一点（不与点D，F重合），则∠DEF的值为（　　）

A．120° B．135° C．145° D．150°
10．（4分）如图，抛物线y＝x2−2x+c与x轴交于点A，B两点，与y轴负半轴交于点C，其顶点为M，点D，E分别是AB，BM的中点，若△DEB与△ACD的面积比为9：10，则c的值为（　　）

A．﹣ B．﹣2 C．﹣ D．﹣3
二、填空题（本题有6题，每小题5分，共30分）
11．（5分）已知线段a＝4，b＝16，线段c是a，b的比例中项，那么c等于　 　．
12．（5分）如图，在⊙O中，OA＝2，∠ACB＝30°，则弦AB的长度是 　 　．

13．（5分）二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象经过点（1，﹣2），则代数式a+b的值为 　 　．
14．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤5）的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，y的取值范围为 　 　．

15．（5分）如图，在等腰△ABC中，BC＝AC，AB＝2，将△ABC绕着点A按顺时针方向旋转90°得到△AB'C，连结B'C，若B'C∥AB，则五边形ABCB'C'的面积是 　 　．

16．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，CD平分∠ACB交AB于点D，以DB为直径作⊙O，分别交CD，BC于点E，F，连结BE，EF．则∠EBF＝　 　度；若DE＝DC，BC＝8，则EF的长为 　 　．

三、解答题（本题有8小题，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝15，BD＝3，BC＝12，求DE的长．

18．（8分）如图，在6×6的正方形网格中，圆上A，B，C三点都在格点上，请按要求作出图中圆的圆心；①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．


19．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点一次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．

20．（8分）如图所示，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，连结BE．过E作EF⊥BE交CD于F．
（1）求证：△ABE∽△DEF．
（2）若AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．

21．（10分）已知二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m）．
（1）若二次函数的对称轴是直线x＝3，求m的值．
（2）当m＞2，0≤x≤3时，二次函数的最大值是7，求函数表达式．
22．（10分）如图，E是半圆O上一点，C是的中点，直径AB∥弦DC，交AE于点F．
（1）求证：CF＝AF．
（2）连结OE，当AB＝4，OE⊥CD时，求EF的值．

23．（12分）某商场销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价为x（x≥50）元．
（1）写出一周销售量y（件）与x（元）的函数关系式．
（2）设一周销售获得毛利润w元，写出w与x的函数关系式，并确定当x在什么取值范围内变化时，毛利润w随x的增大而增大．
（3）超市扣除销售额的20%作为该商品的经营费用，为使得一周内净利润（净利润＝毛利润﹣经营费用）最大，超市对该商品定价为 　 　元，最大净利润为 　 　元．
24．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B是y轴正半轴上一点，以AB为直径作⊙M，A与C关于y轴对称，直线CM交⊙M于点D，E（点E在左侧），交y轴于点F．设OB＝a．

（1）求M的坐标（用a的代数式表示）和AC的长．
（2）若E是半圆AB的中点，求点E的坐标．
（3）如图2，过点A作AG∥CE交y轴于点G，连结BD并延长交AG延长线于点K．
①试说明△ABK是等腰三角形．
②当点G为AK中点时，求a的值．


浙江省温州市七校2022-2023学年九年级上学期期中联考
数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）若＝，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先利用比例性质得到＝，然后利用合比性质求解．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∴＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．
2．（4分）二次函数y＝x2﹣x﹣2的图形与y轴的交点坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）
【分析】将x＝0代入函数解析式，求出相应的y的值，即可得到二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与y轴的交点坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣x﹣2，
∴当x＝0时，y＝﹣2，
即二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数与y轴的交点，就是求x＝0时对应的函数值．
3．（4分）若抛物线y＝ax2﹣2x+3经过点P（1，2），则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】将点P（1，2）代入y＝ax2﹣2x+3即可求解．
【解答】解：将点P（1，2）代入y＝ax2﹣2x+3得a﹣2+3＝2，
解得a＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（　　）
A．点A在⊙C内 B．点A在⊙C上 C．点A在⊙C外 D．无法确定
【分析】利用勾股定理求得BC边的长，然后通过比较AC与半径BC的长即可得到结论．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝＝8，
∵AC＝6＜BC，
∴点A在⊙C内，
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系．
5．（4分）将抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　）
A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+2
【分析】根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律进行求解．
【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2+2．
故选：D．
【点评】此题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
6．（4分）已知点A（﹣1，a），B（2，b），C（4，c）均在抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣2上，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c
【分析】由y＝﹣（x﹣1）2﹣2可知抛物线的对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵抛物线开口向下，而点A（4，c）到对称轴的距离最远，点C（2，b）最近，
∴c＜a＜b．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．此题需要掌握二次函数图象的增减性．
7．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝Rt∠，AB＝4，BC＝3，D是AB的中点，DE⊥AC交AC于点E，则AE的长是（　　）

A． B． C． D．1
【分析】根据勾股定理得到AC＝＝5，根据线段中点的定义得到AD＝AB＝2，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC＝Rt∠，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝5，
∵D是AB的中点，
∴AD＝AB＝2，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝∠B＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．（4分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心．5米为半径的圆，旦圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　）

A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后即可计算出DE的长．
【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，

∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，
在Rt△AEO中，OE＝＝3，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练应用垂径定理是解决问题的关键．
9．（4分）如图，以正方形ABCD的点A为圆心，AB为半径作，取上一点F使得DF＝DC，点E是上一点（不与点D，F重合），则∠DEF的值为（　　）

A．120° B．135° C．145° D．150°
【分析】如图，连接AE，AF．证明△ADF是等边三角形，推出∠DAF＝60°，再利用四边形内角和为360°，求解即可．
【解答】解：如图，连接AE，AF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，
∵DF＝CD，AF＝AD，
∴AD＝DF＝AF，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠DAF＝60°，
∵AD＝AE＝AF，
∴∠ADE＝∠AED，∠AEF＝∠AFE，
∴∠AED+∠AEF＝（360°﹣60°）＝150°，
∴∠DEF＝150°，
故选：D．

【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是证明△ADF是正方形，属于中考常考题型．
10．（4分）如图，抛物线y＝x2−2x+c与x轴交于点A，B两点，与y轴负半轴交于点C，其顶点为M，点D，E分别是AB，BM的中点，若△DEB与△ACD的面积比为9：10，则c的值为（　　）

A．﹣ B．﹣2 C．﹣ D．﹣3
【分析】根据△DEB与△ACD的面积比为9：10得出＝，再根据点D，E分别是AB，BM的中点得出yM＝c，再求出对称轴x＝2，把x＝2代入解析式得到关于c的方程，解方程即可．
【解答】解：S△DEB＝DB•|yE|，S△ADC＝AD•|yC|，
∵D为AB中点，
∴AD＝DB，
又∵△DEB与△ACD的面积比为9：10，
∴＝，
又∵E为BM的中点，
∴|yE|＝|yM|，
将x＝0代入解析式得，yC＝c，
∴|yE|＝|c|，
∴|yN|＝|c|，
∵yM＜0，c＜0，
∴yM＝c，
∵M是抛物线的顶点，
∴xM＝﹣＝﹣＝2，
把x＝2代入解析式得：yM＝×2×2﹣2×2+c＝c﹣2＝c，
解得c＝﹣．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，三角形的面积，中点坐标公式等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．
二、填空题（本题有6题，每小题5分，共30分）
11．（5分）已知线段a＝4，b＝16，线段c是a，b的比例中项，那么c等于　8　．
【分析】根据线段比例中项的概念a：c＝c：b，可得c2＝ab＝64，即可求出c的值．
【解答】解：∵线段c是a、b的比例中项，
∴c2＝ab＝64，
解得：c＝±8，
又∵线段是正数，
∴c＝8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了比例中项，掌握比例中项的定义是解题的关键．注意线段不能是负数．
12．（5分）如图，在⊙O中，OA＝2，∠ACB＝30°，则弦AB的长度是 　2　．

【分析】根据圆周角定理得出∠AOB＝60°，结合圆的性质即可判定△OAB是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．
【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
13．（5分）二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象经过点（1，﹣2），则代数式a+b的值为 　1　．
【分析】将（1，﹣2）代入解析式求解．
【解答】解：将（1，﹣2）代入y＝ax2+bx﹣3得﹣2＝a+b﹣3，
∴a+b＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
14．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤5）的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，y的取值范围为 　0≤y≤9　．

【分析】由图象可得函数最大值与最小值．
【解答】解：当0≤x≤5时，由图象可得y＝9为函数最大值，y＝0为函数最小值，
故答案为：0≤y≤9．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
15．（5分）如图，在等腰△ABC中，BC＝AC，AB＝2，将△ABC绕着点A按顺时针方向旋转90°得到△AB'C，连结B'C，若B'C∥AB，则五边形ABCB'C'的面积是 　5　．

【分析】由等腰三角形的性质可得BH＝AH＝1，由旋转的性质可得AB＝AB'＝2，△ABC≌△AB'C'，∠BAB'＝90°，可求B'C＝AH＝1，AB'＝CH＝2，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于H，

∵BC＝AC，AB＝2，CH⊥AB，
∴BH＝AH＝1，
∵将△ABC绕着点A按顺时针方向旋转90°得到△AB'C，
∴AB＝AB'＝2，△ABC≌△AB'C'，∠BAB'＝90°，
∴S△ABC＝S△AB'C'，
∵B'C∥AB，
∴∠AB'C＝∠BAB'＝90°，
∴四边形AHCB'是矩形，
∴B'C＝AH＝1，AB'＝CH＝2，
∴S△ABC＝S△AB'C'＝×2×2＝2，S△AB'C＝×1×2＝1，
∴五边形ABCB'C'的面积＝2+1+2＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
16．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，CD平分∠ACB交AB于点D，以DB为直径作⊙O，分别交CD，BC于点E，F，连结BE，EF．则∠EBF＝　45　度；若DE＝DC，BC＝8，则EF的长为 　2　．

【分析】连结DF，作EG⊥BF于点G，由∠ACB＝90°，CD平分∠ACB得∠DCB＝45°，由BD是⊙O的直径得∠DFB＝∠DEB＝90°，则∠CFD＝90°，所以∠FDC＝∠FCD＝45°，则∠EBF＝180°﹣∠EDF＝∠FDC＝45°；
由∠CEB＝90°，∠EBC＝∠ECB＝45°，得CE＝BE，而BC＝8，所以EG＝CG＝BG＝BC＝4，由DF∥EG，DE＝DC，得＝＝1，所以FG＝FC＝CG＝2，由勾股定理得EF＝＝＝2．
【解答】解：如图，连结DF，作EG⊥BF于点G，
∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝45°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DFB＝∠DEB＝90°，
∵∠CFD＝180°﹣∠DFB＝90°，
∴∠FDC＝∠FCD＝45°，
∴∠EBF＝180°﹣∠EDF＝∠FDC＝45°；
∵∠CEB＝90°，∠EBC＝∠ECB＝45°，BC＝8，DE＝DC，
∴CE＝BE，
∴CG＝BG＝BC＝4，
∴EG＝BC＝4，
∵∠CFD＝∠CGE＝90°，
∴DF∥EG，
∴＝＝1，
∴FG＝FC＝CG＝2，
∴EF＝＝＝2，
故答案为：45，2．

【点评】此题重点考查直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形的对角互补、等腰直角三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝15，BD＝3，BC＝12，求DE的长．

【分析】根据相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，
∴AB：AD＝BC：DE，
∵AB＝15，BD＝3，BC＝12，
∴15：（15+3）＝12：DE，
解得DE＝．
【点评】考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的对应边的比相等，难度不大．
18．（8分）如图，在6×6的正方形网格中，圆上A，B，C三点都在格点上，请按要求作出图中圆的圆心；①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．


【分析】对于图1，连接AB，BC，利用网格分别作线段AB，BC的垂直平分线，交点即为图中圆的圆心；对于图2，连接AC，BC，以BC为边作正方形BCDE，连接BD，CE，交于点G，取BC的中点F，连接FG，则FG即为线段BC的垂直平分线，再作线段AC的垂直平分线，与FG的延长线交于点O，则点O即为图中圆的圆心．
【解答】解：如图1、图2，点O即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图、垂径定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．
19．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点一次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．

【分析】（1）利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到y与x的函数关系．
（2）通过对函数配方，求出函数的对称轴，对称轴在定义域内，在对称轴处取得最值．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE＝AH＝CG＝CF，
∴BE＝DG，BF＝DH，
∴△AEH≌△CFG（SAS），△EBF≌△HDG（SAS），
所以S＝S矩形ABCD﹣2S△AEH﹣2S△EFB＝2×4﹣2×x2﹣2×（4﹣x）（2﹣x）＝﹣2x2+6x（0＜x≤2）．
（2）S＝﹣2x2+6x＝﹣2（x﹣）2+．
所以当x＝时，S的值最大，最大值为．
【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积得到函数的关系式是解题的关键．
20．（8分）如图所示，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，连结BE．过E作EF⊥BE交CD于F．
（1）求证：△ABE∽△DEF．
（2）若AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．

【分析】（1）四边形ABCD是矩形，∠A＝∠D＝90°，而∠BEF＝90°，则∠AEB＝∠DFE＝90°﹣∠DEF，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABE∽△DEF；
（2）由△ABE∽△DEF得＝，即可求得DF＝＝3，再根据勾股定理求出EF的长即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∴∠AEB＝∠DFE＝90°﹣∠DEF，
∴△ABE∽△DEF．
（2）解：△ABE∽△DEF，
∴＝，
∵AB＝6，AE＝9，DE＝2，
∴DF＝＝＝3，
∴EF＝＝＝，
∴EF的长是．
【点评】此题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角是解题的关键．
21．（10分）已知二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m）．
（1）若二次函数的对称轴是直线x＝3，求m的值．
（2）当m＞2，0≤x≤3时，二次函数的最大值是7，求函数表达式．
【分析】（1）在y＝（x﹣1）（x﹣m）中，令y＝0得x＝1或x＝m，即得＝3，从而解得m的值为5；
（2）分两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）在y＝（x﹣1）（x﹣m）中，令y＝0得0＝（x﹣1）（x﹣m），
解得x＝1或x＝m，
∵对称轴为直线x＝3，
∴＝3，
解得m＝5，
故m的值为5；
（2）①当≥时，即m≥2，
则x＝0时，y取得最大值，即m＝7；
∴此时y＝（x﹣1）（x﹣7）＝x2﹣8x+7．
②当≤时，即﹣1＜m≤3，
当x＝3时，y取得最大值，即6﹣2m＝7，解得m＝．
∴此时y＝（x﹣1）（x﹣）＝x2﹣x+．
综上，y＝x2﹣8x+7或y＝x2﹣x+．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，熟知二次函数的性质是解题的关键．
22．（10分）如图，E是半圆O上一点，C是的中点，直径AB∥弦DC，交AE于点F．
（1）求证：CF＝AF．
（2）连结OE，当AB＝4，OE⊥CD时，求EF的值．

【分析】（1）由C是的中点得∠BAC＝∠EAC，由AB∥DC得∠DCA＝∠BAC，所以∠DCA＝∠EAC，则CF＝AF；
（2）连结OE、OC，OE交CD于点G，由∠OAC＝∠OCA，∠OAC＝∠FAC，得∠OCA＝∠FAC，则OC∥AF，即可证明四边形OAFC是菱形，因为AB＝4，所以OE＝OA＝FA＝2，再证明∠AOE＝∠DGE＝90°，由勾股定理得AE＝＝2，则EF＝2﹣2．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴∠BAC＝∠EAC，
∵AB∥DC，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴CF＝AF．
（2）解：连结OE、OC，OE交CD于点G，则OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
由（1）得∠OAC＝∠FAC，
∴∠OCA＝∠FAC，
∴OC∥AF，
∵CF∥OA，
∴四边形OAFC是菱形，
∵AB＝4，
∴OE＝OA＝FA＝2，
∵OE⊥CD，AB∥DC，
∴∠AOE＝∠DGE＝90°，
∴AE＝＝＝2，
∴EF＝AE﹣AF＝2﹣2，
∴EF的值为2﹣2．

【点评】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23．（12分）某商场销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价为x（x≥50）元．
（1）写出一周销售量y（件）与x（元）的函数关系式．
（2）设一周销售获得毛利润w元，写出w与x的函数关系式，并确定当x在什么取值范围内变化时，毛利润w随x的增大而增大．
（3）超市扣除销售额的20%作为该商品的经营费用，为使得一周内净利润（净利润＝毛利润﹣经营费用）最大，超市对该商品定价为 　75　元，最大净利润为 　5000　元．
【分析】（1）根据题意一周能售出500件，销售单价每涨1元，每周销量就减少10件，列出函数解析式；
（2）利用一周的销售量×每件销售利润＝一周的销售利润列出w与x的函数关系式，再根据函数的性质得出结论；
（3）根据纯利润＝毛利润﹣经营费用列出式子，由函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）由题意得：y＝500﹣10（x﹣50）＝1000﹣10x，
∵，
∴50≤x≤100，
∴一周销售量y与x的函数关系式为y＝1000﹣10x（50≤x≤100）；
（2）由题意得：w＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，
∵﹣10＜0，50≤x≤100，
∴当50≤x≤70时，毛利润w随x的增大而增大；
（3）设该超市的净利润为S元，
根据题意得：S＝w﹣x（1000﹣10x）×20%
＝﹣10x2+1400x﹣40000﹣（200x﹣2x2）
＝﹣8x2+1200x﹣40000
＝﹣8（x﹣75）2+5000，
∵﹣8＜0，
∴当x＝75时，S最大，最大值为5000，
故答案为：75，5000．
【点评】此题主要考查了二次函数和一次函数的应用，准确分析题意，列出二次函数关系式是解题关键．
24．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B是y轴正半轴上一点，以AB为直径作⊙M，A与C关于y轴对称，直线CM交⊙M于点D，E（点E在左侧），交y轴于点F．设OB＝a．

（1）求M的坐标（用a的代数式表示）和AC的长．
（2）若E是半圆AB的中点，求点E的坐标．
（3）如图2，过点A作AG∥CE交y轴于点G，连结BD并延长交AG延长线于点K．
①试说明△ABK是等腰三角形．
②当点G为AK中点时，求a的值．

【分析】（1）由B（0，a），A（﹣4，0），M是AB的中点，得M的坐标是（﹣2，），而A与C关于y轴对称，得C（4，0），故AC＝8；
（2）连接BC，过E作EQ⊥x轴于Q，由E是半圆AB的中点，得DE⊥AB，可证△ACM≌△BCM（SAS），即有BC＝AC＝8，从而OB＝＝4，AB＝8，可得MA＝MB＝ME＝4，MC＝＝4，故CE＝ME+MC＝4+4，又AM＝AC，知∠ACM＝30°，在Rt△ECQ中，可得EQ＝CE＝2+2，CQ＝EQ＝2+6，即得E（﹣2﹣2，2+2）；
（3）①由MB＝MD，得∠MBD＝∠MDB，又AG∥CE，得∠MDB＝∠K，故∠MBD＝∠K，△ABK是等腰三角形；
②由M（﹣2，），C（4，0）得直线CE解析式为y＝﹣x+，又AG∥CE，用待定系数法可得直线AG解析式为y＝﹣x﹣，即得G（0，﹣），故AG＝＝，根据AB＝2AG，可得＝2，即可解得a的值为．
【解答】解：（1）∵点B是y轴正半轴上一点，OB＝a，
∴B（0，a），
∵A（﹣4，0），MA＝MB，即M是AB的中点，
∴M（，），即M的坐标是（﹣2，），
∵A与C关于y轴对称，
∴C（4，0），
∴AC＝8；
（2）连接BC，过E作EQ⊥x轴于Q，如图：

∵E是半圆AB的中点，
∴DE⊥AB，
∴∠AMC＝∠BMC，
∵AM＝BM，CM＝CM，
∴△ACM≌△BCM（SAS），
∴BC＝AC＝8，
∴OB＝＝＝4，
∴AB＝＝8，
∴MA＝MB＝ME＝4，MC＝＝4，
∴CE＝ME+MC＝4+4，
在△ACM中，AM＝AC，
∴∠ACM＝30°，
在Rt△ECQ中，
EQ＝CE＝2+2，CQ＝EQ＝2+6，
∴OQ＝CQ﹣OC＝2+2，
∴E（﹣2﹣2，2+2）；
（3）①如图：

∵MB＝MD，
∴∠MBD＝∠MDB，
∵AG∥CE，
∴∠MDB＝∠K，
∴∠MBD＝∠K，
∴AB＝AK，
∴△ABK是等腰三角形；
②由（1）知M（﹣2，），C（4，0），
∴直线CE解析式为y＝﹣x+，
由AG∥CE设直线AG解析式为y＝﹣x+m，
把A（﹣4，0）代入得：+m＝0，
解得m＝﹣，
∴直线AG解析式为y＝﹣x﹣，
令x＝0得y＝﹣，
∴G（0，﹣），
∴AG＝＝，
∵点G为AK中点，AB＝AK，
∴AB＝2AG，
∴＝2，
解得a＝或a＝﹣（舍去），
∴a的值为．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，勾股定理的应用，一次函数等知识，解题的关键是掌握圆的性质，能熟练运用待定系数法求直线解析式．