2021年山东省淄博市临淄区中考数学一模试卷

这是一份2021年山东省淄博市临淄区中考数学一模试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答要写出必要的文字说明等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省淄博市临淄区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在下面的表中．每小题5分，满分60分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分．）
1．﹣8的倒数是（　　）
A．﹣ B．﹣8 C．8 D．
2．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（　　）
A．3.6×103 B．3.6×104 C．3.6×105 D．36×104
3．下列运算错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．已知3m＝4，32m﹣4n＝2．若9n＝x，则x的值为（　　）
A．8 B．4 C．2 D．
5．最近一周，小然每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，她得出如下结果，其中错误的是（　　）
A．众数是11 B．平均数是12 C．方差是 D．中位数是13
6．如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中主视图相同的是（　　）

A．仅有甲和乙相同 B．仅有甲和丙相同
C．仅有乙和丙相同 D．甲、乙、丙都相同
7．利用我们数学课本上的计算器计算sin52°，正确的按键顺序是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．已知关于x的分式方程﹣4＝的解为正数，则k的取值范围是（　　）
A．﹣8＜k＜0 B．k＞﹣8且k≠﹣2 C．k＞﹣8且k≠2 D．k＜4且k≠﹣2
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）

A．55° B．65° C．60° D．75°
10．如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18
11．一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（　　）
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
12．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（　　）

A．2 B．3 C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
13．已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为　 　．
14．若|x﹣2|+＝0，则﹣xy＝　 　．
15．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分的面积为 　 　．

16．甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为 　 　．
17．如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为　 　．

三、解答题（第18，19题每题8分；第20，21，22题每题10分，第23，24题每题12分；满分70分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
18．解不等式组并写出它的所有整数解．
19．如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长是多少？

20．为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．
求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；
（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；
（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．

21．某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
22．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tanB＝，求⊙O的半径；
（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．

23．如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．

24．如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q（1，3）的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数的图象相交于M，N两点．
①若S△PMN＝2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出抛物线的表达式．



参考答案
一、选择题（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在下面的表中．每小题5分，满分60分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分．）
1．﹣8的倒数是（　　）
A．﹣ B．﹣8 C．8 D．
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可求一个数的倒数．
解：﹣8的倒数是﹣，
故选：A．
2．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（　　）
A．3.6×103 B．3.6×104 C．3.6×105 D．36×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：36000＝3.6×104，
故选：B．
3．下列运算错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据分式的基本性质作答，分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，即可得出答案．
解：A、＝＝1，故本运算正确；
B、＝＝﹣1，故本运算正确；
C、＝，故本运算正确；
D、＝﹣，故本运算错误；
故选：D．
4．已知3m＝4，32m﹣4n＝2．若9n＝x，则x的值为（　　）
A．8 B．4 C．2 D．
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可求出n的值，再根据算术平方根的定义即可求出x 的值．
解：∵3m＝4，32m﹣4n＝（3m）2÷（3n）4＝2．
∴42÷（3n）4＝2，
∴（3n）4＝42÷2＝8，
又∵9n＝32n＝x，
∴（3n）4＝（32n）2＝x2，
∴x2＝8，
∴x＝＝．
故选：C．
5．最近一周，小然每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，她得出如下结果，其中错误的是（　　）
A．众数是11 B．平均数是12 C．方差是 D．中位数是13
【分析】将数据从小到大重新排列，再根据众数、中位数、平均数及方差的定义计算即可．
解：将这组数据重新排列为10，11，11，11，13，13，15，
所以这组数据的众数为11，中位数为11，平均数为＝12，
方差为×[（10﹣12）2+3×（11﹣12）2+2×（13﹣12）2+（15﹣12）2]＝，
故选：D．
6．如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中主视图相同的是（　　）

A．仅有甲和乙相同 B．仅有甲和丙相同
C．仅有乙和丙相同 D．甲、乙、丙都相同
【分析】由已知条件可知，甲的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；乙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，1；丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2．据此可即可求解．
解：根据分析可知，甲的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；乙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，1；丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；
则主视图相同的是甲和丙．
故选：B．
7．利用我们数学课本上的计算器计算sin52°，正确的按键顺序是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据计算器的使用方法，可得答案．
解：利用该型号计算器计sin52°，按键顺序正确的是：
，
故选：B．
8．已知关于x的分式方程﹣4＝的解为正数，则k的取值范围是（　　）
A．﹣8＜k＜0 B．k＞﹣8且k≠﹣2 C．k＞﹣8且k≠2 D．k＜4且k≠﹣2
【分析】表示出分式方程的解，根据解为正数确定出k的范围即可．
解：分式方程﹣4＝，
去分母得：x﹣4（x﹣2）＝﹣k，
去括号得：x﹣4x+8＝﹣k，
解得：x＝，
由分式方程的解为正数，得到＞0，且≠2，
解得：k＞﹣8且k≠﹣2．
故选：B．
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）

A．55° B．65° C．60° D．75°
【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝BDC＝65°，
故选：B．

10．如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．
解：
∵NQ∥MP∥OB，
∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，
∴＝，＝，
∴＝，
∵四边形MNQP的面积为3，
∴＝，
∴S△ANQ＝1，
∵＝（）2＝，
∴S△AOB＝9，
∴k＝2S△AOB＝18，
故选：D．
11．一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（　　）
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
【分析】分类讨论：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，设从120cm的一根上截下的两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），易得长60cm的木条不能与75cm的一边对应，所以当长60cm的木条与100cm的一边对应时有＝＝；当长60cm的木条与120cm的一边对应时有＝＝，然后分别利用比例的性质计算出两种情况下得x和y的值．
解：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长120cm的木条不能作为一边，
设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），
由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x+y＞120cm，
当长60cm的木条与100cm的一边对应，则＝＝，
解得：x＝45，y＝72；
当长60cm的木条与120cm的一边对应，则＝＝，
解得：x＝37.5，y＝50．
∴有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段．
故选：B．
12．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（　　）

A．2 B．3 C． D．
【分析】以BD为对称轴作N的对称点N'，连接MN′并延长交BD于P，连NP，依据PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，可得当P，M，N'三点共线时，取“＝”，再求得＝＝，即可得出PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，再根据△N'CM为等腰直角三角形，即可得到CM＝MN'＝2．
解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接MN′并延长交BD于P，连NP，
根据轴对称性质可知，PN＝PN'，
∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，
当P，M，N'三点共线时，取“＝”，
∵正方形边长为8，
∴AC＝AB＝8，
∵O为AC中点，
∴AO＝OC＝4，
∵N为OA中点，
∴ON＝2，
∴ON'＝CN'＝2，
∴AN'＝6，
∵BM＝6，
∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，
∴＝＝，
∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，
∵∠N'CM＝45°，
∴△N'CM为等腰直角三角形，
∴CM＝MN'＝2，
即PM﹣PN的最大值为2，
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共20分）
13．已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为　49　．
【分析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案．
解：∵a＝7﹣3b，
∴a+3b＝7，
∴a2+6ab+9b2
＝（a+3b）2
＝72
＝49，
故答案为：49．
14．若|x﹣2|+＝0，则﹣xy＝　2　．
【分析】根据非负数的性质进行解答即可．
解：∵|x﹣2|+＝0，
∴x﹣2＝0，x+y＝0，
∴x＝2，y＝﹣2，
∴，
故答案为2．
15．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分的面积为 　　．

【分析】解直角三角形得到AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．
解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，
∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′＝﹣﹣×1×＝，
故答案为：；

16．甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为 　　．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得乙同学获胜的概率．
解：画树状图如下：

由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙同学获胜的有4种结果数，
∴乙同学获胜的概率为，
故答案为：．
17．如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为　57　．

【分析】根据图形的变化规律即可得第⑦个图形中菱形的个数．
解：第①个图形中一共有3个菱形，即2+1×1＝3；
第②个图形中一共有7个菱形，即3+2×2＝7；
第③个图形中一共有13个菱形，即4+3×3＝13；
…，
按此规律排列下去，
所以第⑦个图形中菱形的个数为：8+7×7＝57．
故答案为：57．
三、解答题（第18，19题每题8分；第20，21，22题每题10分，第23，24题每题12分；满分70分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
18．解不等式组并写出它的所有整数解．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得．
解：，
解不等式①，x＜3，
解不等式②，得x≥﹣，
∴原不等式组的解集为﹣≤x＜3，
它的所有整数解为0，1，2．
19．如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长是多少？

【分析】根据三角形中位线定理求出MN，证明△MNE≌△DCE，根据全等三角形的性质解答即可．
解：∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝BC＝2，MN∥BC，
∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE＝CE，
在△MNE和△DCE中，
，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD＝MN＝2．
20．为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．
求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；
（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；
（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．

【分析】（1）观察直方图，根据平均数公式计算平均次数后，比较得答案；
（2）根据中位数意义，确定中位数的范围；
（3）根据频率的计算方法，可得跳绳成绩达到或超过校平均次数的概率为0.66．
解：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是：＝100.8，
∵100.8＞99，
∴超过全校的平均次数；

（2）这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，因为4+13+19＝36，所以中位数一定在100～120范围内；

（3）该班一分钟跳绳成绩大于或等于100次的有：19+7+5+2＝33（人），
故从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是．
21．某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为多少吨；
（2）根据题意，可以得到利润与甲种特产数量的函数关系式，再根据甲种特产的取值范围和一次函数的性质，可以得到利润的最大值．
解：（1）设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨，
10x+（100﹣x）×1＝235，
解得，x＝15，
∴100﹣x＝85，
答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；
（2）设利润为w万元，销售甲种特产a吨，
w＝（10.5﹣10）a+（1.2﹣1）×（100﹣a）＝0.3a+20，
∵0≤a≤20，
∴当a＝20时，w取得最大值，此时w＝26，
答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．
22．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tanB＝，求⊙O的半径；
（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．

【分析】（1）连接OD，由切线的性质可得∠ADO＝90°，由“SSS”可证△ACO≌△ADO，可得∠ADO＝∠ACO＝90°，可得结论；
（2）由锐角三角函数可设AC＝4x，BC＝3x，由勾股定理可求BC＝6，再由勾股定理可求解；
（3）连接OD，DE，由“SAS”可知△COE≌△DOE，可得∠OCE＝∠OED，由三角形内角和定理可得∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，可得∠DEF＝∠DFE，可证DE＝DF＝CE，可得结论．
解：（1）如图，连接OD，

∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，
∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠ADO＝∠ACO＝90°，
∴OD⊥AB，
又∵OC是半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵tanB＝＝，
∴设AC＝4x，BC＝3x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴16x2+9x2＝100，
∴x＝2，
∴BC＝6，
∵AC＝AD＝8，AB＝10，
∴BD＝2，
∵OB2＝OD2+BD2，
∴（6﹣OC）2＝OC2+4，
∴OC＝，
故⊙O的半径为；
（3）AF＝CE+BD，理由如下：
连接OD，DE，

由（1）可知：△ACO≌△ADO，
∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD，
又∵CO＝DO，OE＝OE，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠OCE＝∠ODE，
∵OC＝OE＝OD，
∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，
∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，
∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，
∴CF＝BF＝AF，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DE＝DF＝CE，
∴AF＝BF＝DF+BD＝CE+BD．
23．如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．

【分析】（1）证明△AEF≌△ADB（SAS），得出∠AEF＝∠ADB，证得∠EGB＝90°，则结论得出；
（2）证明△AEF∽△DCF，得出，即AE•DF＝AF•DC，设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，解方程即可得出答案；
（3）在线段EG上取点P，使得EP＝DG，证明△AEP≌△ADG（SAS），得出AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，证得△PAG为等腰直角三角形，可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，
∴∠EAF＝∠DAB＝90°，
又∵AE＝AD，AF＝AB，
∴△AEF≌△ADB（SAS），
∴∠AEF＝∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，
即∠EGB＝90°，
故BD⊥EC，
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CD，
∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，
∴△AEF∽△DCF，
∴，
即AE•DF＝AF•DC，
设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，
解得或（舍去），
∴AE＝．
（3）证明：如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，

在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，
∴△AEP≌△ADG（SAS），
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，
∴△PAG为等腰直角三角形，
∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG．
24．如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q（1，3）的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数的图象相交于M，N两点．
①若S△PMN＝2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出抛物线的表达式．

【分析】（1）根据正切的定义求出OA，根据旋转变换的性质求出OC，利用待定系数法求出二次函数的解析式，利用配方法把一般式化为顶点式，求出顶点P的坐标；
（2）①根据题意求出PQ＝1，根据三角形的面积公式得到x2﹣x1＝4，根据一元二次方程根与系数的关系解答即可；
②根据正切的定义得到tan∠PME＝1﹣x1，tan∠FPN＝，进而证明∠PME＝∠FPN，证明结论；
③用k表示出MN的中点坐标，计算即可．
【解答】（1）解：∵OB＝1，tan∠ABO＝3，
∴OA＝OB•tan∠ABO＝3，
∴A（0，3），
根据旋转的性质可得：OC＝OA＝3，
∴C（3，0），
根据题意可得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为P（1，4）；
（2）①解：设M（x1，y1），N（x2，y2），
∵直线l：y＝kx﹣k+3过定点Q（1，3），抛物线的顶点坐标为P（1，4），
∴PQ＝1，
∴S△PMN＝PQ•（x2﹣x1）＝2，
∴x2﹣x1＝4，
联立y＝﹣x2+2x+3与y＝kx﹣k+3可得x2+（k﹣2）x﹣k＝0，
∴x1+x2＝2﹣k，x1•x2＝﹣k，
∴（x2﹣x1）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝k2+4＝16，
∴k＝±；
②证明：过点P作PG⊥x轴，垂足为G，分别过点M，N作PG的垂线，垂足分别为E、F，
设M（x1，y1），N（x2，y2）．
∵M，N在二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上，
∴y1＝﹣x12+2x1+3，y2＝﹣x22+2x2+3．
∵P（1，4），
∴PE＝4﹣y1＝4+x12﹣2x1﹣3＝（x1﹣1）2，ME＝1﹣x1，PF＝4﹣y2＝4+x22﹣2x2﹣3＝（x2﹣1）2，NF＝x2﹣1，
∴tan∠PME＝＝＝1﹣x1，
tan∠FPN＝＝＝，
由①可知x1+x2＝2﹣k，x1•x2＝﹣k，
∴x1+x2＝2+x1x2，
∴（1﹣x1）（x2﹣1）＝1，
∴1﹣x1＝，
∴tan∠PME＝tan∠FPN，
∴∠PME＝∠FPN，
∵∠PME+∠MPE＝90°，
∴∠FPN+∠MPE＝90°，即∠MPN＝90°，
∴无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③解：设线段MN的中点（x，y），
由②可得MN的中点为（，），
∴，
化简，得y＝﹣2x2+4x+1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣2x2+4x+1．