初中数学北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件学案

4.4 探索三角形相似的条件

知识梳理

1. 相似三角形的定义：三角分别           ，三边              的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫作           。

2. 相似三角形的判定定理：

  判定定理1：两角分别             的两个三角形相似 ；（AA）

  判定定理2：两边                   且夹角            的两个三角形相似；（SAS）

  判定定理3：三边对应            的两个三角形相似。（SSS）

注意：两个三角形相似，在书写时一定要按照对应点写。如图，写作：∆ABC ∽∆DEF

1 相似三角形的判定定理1：AA

例1.（2019青岛市北区期末）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC，AD相交于点E，F。当AB=6，BC=8时，的值为（     ）。

A. 3：4            B. 4：3         

C. 3：7            D. 3：14

例2. 如图 ，在∆ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列说法中，错误的是（       ）。

A. ∆ADE ∽∆ABC     B. ∆ADE ∽ ∆ACD     C. ∆ADE ∽ ∆DCB    D. ∆DEC ∽∆CDB

例2图                                       例3图

例3. 如图，在∆ABC中，∠ACB=90°，CD⟂AB于点D，则图中相似的三角形共有（      ）。

A. 1对               B. 2对                 C. 3对                 D. 4对

能力提升

练1.（A字形）已知三个边长分别为2cm，3cm，5cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为

                  。

练2.（8字形） 把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积为（       ）。

A.               B.              C.               D.

练3. 如图，在∆ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（       ）。

A. 4                 B. 4 

C.                  D. 8

练4. 如图，在∆ABC中，点D为BC边上一点，且AD=AB=2，AD⟂AB，过点D作DE⟂AD，DE交AC于点E，若DE=1，则∆ABC的面积为            。

练5. 如图，已知直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=        。

2 相似三角形的判定定理2：SAS

例1.（2019青岛李沧区期中）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚 AC和 BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短。如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度2的地方（即同时有 OA = 2OC，OB= 2OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段ɑ的两个端点上，当 CD = 1.8 cm 时，AB的长为（      ）。

A. 7.2cm              B. 3.6cm

C. 5.4cm              D. 0.6cm 

例2. 在下列三角形纸片ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，阴影部分的三角形与∆ABC相似的是（       ）。

能力提升

练1. 如图，若 =        ，则∆ABC ∽ ∆AEF；若∠E=        ，则∆ABC ∽ ∆AEF。

练1图                                             练2图

练2. 如图，若∠B=        ，则∆ABC ∽ ∆ACP；若 =        ，则∆ABC ∽ ∆ACP。

练3. 如图，四边形ABCD，四边形CDEF，四边形EFGH都是正方形。

（1）∆ACF和∆ACG相似么？说说你的理由。

（2）求∠1+∠2的度数。

3 相似三角形的判定定理3：SSS

例1.（2018青岛即墨区一模）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与∆ABC相似的是（       ）。

例2. 如图，D，E，F分别是∆ABC的三边BC，CA，AB的中点。求证：∆DEF∽ ∆ABC。  

能力提升

练1. 如图，下列四个选项中的三角形与图中的三角形相似的是(       )。

练2. 已知 = = ，求证：AB=AE。