人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试课时练习

第一章 集合与常用逻辑用语 综合培优提升卷

一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。

1．对于集合A，B，定义，.设，，则中元素的个数为（    ）.

A．5 B．6 C．7 D．8

2．对任意实数a，b，c，给出下列命题：

①“”是“”的充要条件

②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件；

③“”是“”的充分不必要条件

④“”是“”的必要不充分条件，

其中真命题的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．设集合，，若⊆，则对应的实数对有

A．对 B．对 C．对 D．对

4．集合则实数a的取值

范围是（     ）

A． B．

C． D．

5．若集合满足，则称为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为集合A的同一分拆，则集合的不同分拆的种数为（ ）

A．27 B．26 C．9 D．8

6．设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题：

①若m=1，则S={1}；②若m= ，则 ≤ l ≤ 1；③ l=，则

其中正确命题的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

7．设集合，，则是的真子集的一个充分不必要的条件是

A． B．

C． D．

8．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4，给出如下四个结论：

①2 016∈[1]；②－3∈[3]；③若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]；④若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”．

其中，正确结论的个数是(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。

9．设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT；②对于任意x，yT，若x<y，则S；下列命题错误的是（    ）

A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素

C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素

10．设全集为，下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则或

C．若，则  D．若，则

11．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则的取值有（    ）

A． B． C．0 D．1

12．(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（    ）

A．是一个戴德金分割

B．没有最大元素，有一个最小元素

C．有一个最大元素，有一个最小元素

D．没有最大元素，也没有最小元素

三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q＝{x|x＝a+b，a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P+Q中元素的个数是____．

14．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}.若B⊆A，则实数m的取值范围为________.

15．已知集合A＝{(x，y)|ax－y2＋b＝0}，B＝{(x，y)|x2－ay＋b＝0}，且(1，2)∈A∩B，则a＋b＝________．

16．若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合，，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则的值为__________．

四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。

17．在①“xA是xB的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合，.

（1）当a=2时，求；

（2）若选        ，求实数a的取值范围.

18．设集合，集合.

（1）求使的实数a的取值范围；

（2）是否存在实数a，使成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.

19．（1）设集合U＝R，集合A＝{x|x2+3x+2＝0}，B＝{x|x2+（m+1）x+m＝0}，若（∁∪A）∩B＝∅，求实数m的值．

（2）设集合A＝{x|x+1≤0或x﹣4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a+2}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．

20．若集合，.

（1）若，写出的子集；

（2）若，求实数的取值范围.

21．已知集合．

（1）若是的真子集，求的范围；

（2）若，且是的子集，求实数的取值范围．

22．已知，.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围.

参考答案

1．C

【解析】由已知，

∴.

故选：C.

2．B

【解析】①则，即，故或，所以是的充分不必要条件，所以①不正确；

②是无理数，∵5是有理数，所以a是无理数；a是无理数，则是无理数，故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，所以②正确；

③若，则得，不是充分条件，所以③不正确；

④推不出，若，则，故“”是“”的必要不充分条件，所以④正确；

故选：B.

3．D

【解析】解：因为集合，

所以，，

因为，，，，

所以，或，或，

①当时，即，，，此时可知，，，成立，即，；

②当时，即，，，此时可知，，，成立，即，；

③当时，则或

当时，即，，，此时可知，，，成立，即，；

当时，即，，，此时可知，，，成立，即，；

综上所述：，，或，，或，，或，，共4对．

故选：．

4．C

【解析】|x-a|<1,∴a-1<x<a+1,∵A∩B=.

∴a-1≥5或a+1≤1,即a≤0或a≥6.故选C.

5．A

【解析】集合的不同分拆为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共27种，故选A.

6．D

【解析】非空集合S={x|m⩽x⩽l}满足：当x∈S时,有∈S.

对于①，若m=1,可得，则，则，∴①对；

对于②，若m=,满足∈S时,有，∴ ≤ l ≤ 1，②对；

对于③，若l=，可得，则.∴③对

故选：D.

7．D

【解析】,
若,则 ,BA,

若,则A,

若,则A,A的一个充分不必要条件是.

8．C

【解析】①，则，故正确

②，故错误

③整数属于同一“类”，则整数被除的余数相同，从而被除的余数为，即，故正确

④若，则则整数被除的余数为，即整数被除的余数相同，则整数属于同一“类”，故正确

综上所述，则正确结论的个数为

故选

9．BCD

【解析】首先利用排除法：

若取，则，此时，包含4个元素，则选项C错误；

若取，则，此时，包含5个元素，则选项D错误；

若取，则，此时，包含7个元素，选项B错误；

下面来说明选项A的正确性：

设集合，且，，

则，且，则，同理，，，，，

若，则，则，故即，

又，故，所以，

故，此时，故，矛盾，舍．

若，则，故即，

又，故，所以，

故，此时．

若，则，故，故，

即，故，

此时即中有7个元素．故A正确．

故选：BCD．

10．ACD

【解析】对于A选项，，，即，所以该选项正确；

对于B选项，考虑，则该选项不正确；

对于C选项，，，即，所以该选项正确；

对于D选项，根据集合关系，则显然正确.

故选：ACD

11．BCD

【解析】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，

当时，，所以，所以，满足要求；

当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，

故选：BCD.

12．BD

【解析】对选项A，因为，，，

故A错误；

对选项B，设，，满足戴德金分割，

则中没有最大元素，有一个最小元素，故B正确；

对选项C，若有一个最大元素，有一个最小元素，

则不能同时满足，，故C错误；

对选项D，设，，满足戴德金分割，

此时没有最大元素，也没有最小元素，故D正确.

故选：BD

13．8

【解析】解：∵a∈P，b∈Q，∴a可以为0，2，5三个数，b可以为1，2，6三个数，

∴x＝0+1＝1，x＝0+2＝2，x＝0+6＝6，x＝2+1＝3，x＝2+2＝4，x＝2+6＝8，x＝5+1＝6，x＝5+2＝7，x＝5+6＝11，

∴P+Q＝{x|x＝a+b，a∈P，b∈Q}＝{1，2，3，4，6，7，8，11}，有8个元素．

故答案为8．

14．

【解析】A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}＝{x|－1≤x≤6}.

∵B⊆A，∴B＝∅或B≠∅.

当B＝∅时，m－1>2m＋1，即m<－2.符合题意；

当B≠∅时，

解得：.

综上所述：m<－2或.

所以实数m的取值范围为.

故答案为：.

15．4

【解析】

因为(1，2)∈A∩B，所以 故a＋b＝4.

16．0或1或4

【解析】∵，∴若，则，满足B为的真子集，此时A与B构成“全食”，若，则，若A与B构成“全食”，或构成“偏食”，则或 ，解得或，综上的值为0或1或4，故答案为0或1或4.

17．（1）；（2）答案见解析.

【解析】（1）当时，集合，，

所以；

（2）选择因为“” 是“”的充分不必要条件，所以AB，

因为，所以又因为，

所以  等号不同时成立，

解得，

因此实数a的取值范围是.

选择因为，所以.

因为，所以.

又因为，

所以，解得，

因此实数a的取值范围是.

选择因为，

而，且不为空集，，

所以或，

解得或，

所以实数a的取值范围是或．

18．

（1）

（2）存在，

19．（1）m＝1或2；（2）a＜2或a＞2．

【解析】解：（1）∵A＝{x|x2+3x+2＝0}＝{﹣1，﹣2}，

由x2+（m+1）x+m＝0得：x＝﹣1或x＝﹣m．

∵（∁UA）∩B＝，

∴集合B中只能有元素﹣1或﹣2，

∴m＝1或2．

（2）A＝{x|x+1≤0或x﹣4≥0}＝{x|x≤﹣1或x≥4}，

若B＝∅，即2a＞a+2，即a＞2时，满足条件A∩B＝，

若B≠∅，即2a≤a+2，即a≤2时，若满足条件A∩B＝，

则，即，

解得a＜2．

综上a＜2或a＞2．

20．（1）见解析；（2）.

【解析】（1），

若，

则，

此时，

其子集为：，，，，，，，，，，

，，，

，，；

（2）若，

则，

①若中没有元素即，

则，

此时；

②若中只有一个元素，

则，此时，

集合，故舍；

③若中有两个元素，

则，此时.

因为中也有两个元素，且，

则必有，

由韦达定理得，无解，故舍.

综上所述，当时，.

所以实数的取值范围：.

21．（1）；（2）.

【解析】（1）∵若是的真子集

∴，

∴，

∴；

（2），

∵，∴，，，，

，则，∴；

是单元素集合，，∴此时

，符合题意；

，不符合.

综上，．

22．（1）或；（2）.

【解析】（1），

若，则，

所以B可能为，

①若，则或，

②若，则，

③若，则，

④若，则，

综上，或，

（2）因为，

所以由（1）知，.