必修第一册综合测试-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）

这是一份必修第一册综合测试-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019），共17页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知角α的终边经过点P(m，－6)，且cs α＝－eq \f(4,5)，则m＝( )
A．8 B．－8
C．4 D．－4
4．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的部分图象大致为 （ ）
A B C D
6.已知函数，则方程在下列哪个区间上必有实数根（ ）
A. B. C. D. 不能确定
7.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，1))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，0))
8. 已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列论述中，正确的有 ( )
A．集合的非空子集的个数有7个
B．第一象限角一定是锐角
C．若为定义在区间上的连续函数，且有零点，则
D．是的充分不必要条件
10.已知函数，则关于的说法正确的有（ ）
A.定义域为 B.在上单调递减
C.值域为 D.零点为
11.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋4φ）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，0＜φ＜\f(π,8)))的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的eq \f(1,4)，再向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列命题正确的是（ ）
A.函数f（x）的解析式为f（x）＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))
B.函数g（x）的解析式为g（x）＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))
C.函数f（x）图象的一条对称轴是直线x＝－eq \f(π,3)
D.函数g（x）在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(4π,3)))上单调递增
12.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．现已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．若方程有实根，则
C．当时，在上单调递增
D．设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为（，2，…，2022），则的值为4044
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13.命题p：∀x∈R，x2＋eq \r(x2＋1)＞4，则为________________．
14.若，则的最大值为________．
15.已知sin α＋3cs α＝－eq \r(10)，则tan 2α＝________．
16．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，．
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）命题q：，是真命题，求实数m的取值范围．
18．已知函数．
（1）若，求的值；
（2）若，且，求的值．
19.已知二次函数满足，且.
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上不单调，求的取值范围；
（3）若两个不相等的正数满足，求的最小值.
20.已知函数f(x)＝2eq \r(3)sin ωx·cs ωx＋2cs2ωx(ω＞0)，且f(x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，函数g(x)的最大值．
21.已知定义在上的函数对于，都满足3，且当时，.
（1）求的值；
（2）根据定义，研究在上的单调性.
22.已知函数（）．
（1）若在上的最大值为，求a的值；
（2）证明：函数有且只有一个零点，且．
人教A版（2019）必修第一册综合测试(答案)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
解：因为，，，，
所以，
所以.
故选：B
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：由，得或，
因此“若，则”是假命题，“若，则”是假命题，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D
3.已知角α的终边经过点P(m，－6)，且cs α＝－eq \f(4,5)，则m＝( )
A．8 B．－8
C．4 D．－4
解：由题意得r＝eq \r(m2＋（－6）2)＝eq \r(m2＋36)，
故cs α＝eq \f(m,\r(m2＋36))＝－eq \f(4,5)，解得m＝－8或m＝8(舍去)．
4．已知，，，则，，的大小关系为（ D ）
A． B． C． D．
5．函数的部分图象大致为 （ B ）
A B C D
6.已知函数，则方程在下列哪个区间上必有实数根（ B ）
A. B. C. D. 不能确定
解：易知函数在上都单调递增，
所以在上单调递增，
又，
所以，又因为函数连续不间断，由零点的存在性定理知，
函数在内有零点，即方程在必有实数根．
故选：B．
7.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，1))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，0))
解：由题意可得eq \f(2π,ω)＝π，所以ω＝2，
可得f(x)＝Asin(2x＋φ)，
再由函数图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，
故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋φ))＝±A，
可得φ＝－eq \f(π,6).
故函数f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，令2x－eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，
可得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)，k∈Z，故函数的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,12)，0))，k∈Z.
所以函数f(x)图象的一个对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0)).
8. 已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
解：函数在上是奇函数，当时，，
根据题意，作出的图象，如图所示.
由得，即，
则或
观察图象得或，
即不等式的解集是.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列论述中，正确的有 ( AD )
A．集合的非空子集的个数有7个
B．第一象限角一定是锐角
C．若为定义在区间上的连续函数，且有零点，则
D．是的充分不必要条件
10.已知函数，则关于的说法正确的有（ CD ）
A.定义域为 B.在上单调递减
C.值域为 D.零点为
解：由对数函数的定义域可得，
得，故A选项错误；
由复合函数的单调性可知在上单调递增，故B选项错误；
能取到所有的正实数，所以函数的值域为，故C选项正确；
令，则，解得，故选项正确.故选CD.
11.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋4φ）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，0＜φ＜\f(π,8)))的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的eq \f(1,4)，再向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列命题正确的是（ ）
A.函数f（x）的解析式为f（x）＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))
B.函数g（x）的解析式为g（x）＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))
C.函数f（x）图象的一条对称轴是直线x＝－eq \f(π,3)
D.函数g（x）在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(4π,3)))上单调递增
解：由题图可知，A＝2，eq \f(T,4)＝π，
所以T＝4π＝eq \f(2π,ω)，
解得ω＝eq \f(1,2)，故f（x）＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋4φ)).
因为图象过点C（0，1），
所以1＝2sin 4φ，即sin 4φ＝eq \f(1,2).
因为0＜φ＜eq \f(π,8)，所以0＜4φ＜eq \f(π,2)，
所以4φ＝eq \f(π,6)，
故f（x）＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6))).故A正确；
若其纵坐标不变，横坐标缩短到原来的eq \f(1,4)，
所得到的函数解析式为y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，
再向右平移eq \f(π,6)个单位长度，所得到的函数解析式为
g（x）＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，故B正确；
当x＝－eq \f(π,3)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝2sin 0＝0，
即x＝－eq \f(π,3)时，
f（x）不是最值，故x＝－eq \f(π,3)不是函数f（x）的一条对称轴，故C错误；
令2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)（k∈Z），
得kπ－eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(π,3)（k∈Z），
故函数g（x）的单调递增区间是
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))（k∈Z），
当k＝1时，g（x）在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，\f(4π,3)))上单调递增.故D正确.
12.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．现已知函数，则下列说法正确的是（ ABD ）
A．函数为奇函数
B．若方程有实根，则
C．当时，在上单调递增
D．设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为（，2，…，2022），则的值为4044
解：对于A．，
由解析式可知是奇函数，故A正确；
对于B．令，分离参数后，，
故，B正确；
对于C．特殊值法，，即，若，则在上不是单调递增，故C错误．
对于D．由A可知，当时，关于中心对称，且关于中心对称，所以这2022个交点关于对称，故，D正确．故选：ABD．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13.命题p：∀x∈R，x2＋eq \r(x2＋1)＞4，则为________________．
解：由于全称量词命题的否定为存在量词命题，故：∃x∈R，x2＋eq \r(x2＋1)≤4.
14.若，则的最大值为________．
解：因为，所以，又，当且仅当时等号成立，
故，所以最大值为．
15.已知sin α＋3cs α＝－eq \r(10)，则tan 2α＝________．
解：因为(sin α＋3cs α)2＝sin2α＋6sin αcs α＋9cs2α＝10(sin2α＋cs2α)，所以9sin2α－6sin αcs α＋cs2α＝0，则(3tan α－1)2＝0，即tan α＝eq \f(1,3).所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(3,4).
16．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是__________．
解：先画出函数，的图象，
方程有四个不同的解，，，，且，
由时，，则与的中点横坐标为，即：，
当时，由于在上是减函数，在上是增函数，
又因为，，则，有，
又，在上递增，
故取值范围是．
．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，．
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）命题q：，是真命题，求实数m的取值范围．
解：（1）当时，，解得；
当时，，解得.
综上，实数m的取值范围为
(2)由题意，所以即，
此时.
为使，需有，即.
故实数m的取值范围为
18．已知函数．
（1）若，求的值；
（2）若，且，求的值．
解：（1）由，
所以，即，解得；
（2）由得：①，
所以，
则，所以，则，
而，，所以②，
由①②联立可得，，故，
所以．
19.已知二次函数满足，且.
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上不单调，求的取值范围；
（3）若两个不相等的正数满足，求的最小值.
解：(1)设，
由，得，
又，
则，解得，
所以；
(2)，
若函数在区间上不单调，
由函数，其对称轴为，
要使得函数在区间上不单调，
则满足，解得，
故实数的取值范围为；
(3)因为，则的对称轴为，
函数在单调递增，则函数在单调递减，
若，，且有，
则，
∴
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．
20.已知函数f(x)＝2eq \r(3)sin ωx·cs ωx＋2cs2ωx(ω＞0)，且f(x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，函数g(x)的最大值．
解：(1)由题意知f(x)＝eq \r(3)sin 2ωx＋1＋cs 2ωx
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f(π,6)))＋1，
因为周期T＝π，eq \f(2π,2ω)＝π，所以ω＝1，
所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋1，
令eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))，k∈Z.
(2)因为g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＋1＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，－eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(5π,6)，
所以当2x－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,3)时，g(x)max＝2×1＋1＝3.
21.已知定义在上的函数对于，都满足3，且当时，.
（1）求的值；
（2）根据定义，研究在上的单调性.
解：（1）令，
则，即.
（2），且，则.
.
又因为当时，，
所以，
故，
故在上是增函数.
22.已知函数（）．
（1）若在上的最大值为，求a的值；
（2）证明：函数有且只有一个零点，且．
解：(1)因为函数和在上递增，
所以在上递增，
又因为在上的最大值为，所以，
因为，所以解得；
(2)证明：因为，所以，所以在上不存在零点．由（1）得在上单调递增，且，
所以在上有唯一零点，且
因为，所以，，
因为，所以，
所以， ，
由于，
所以
因为，所以，得证．