高中数学人教版新课标A必修2第三章 直线与方程综合与测试测试题

人教新课标A版必修2第三章

直线与方程

一、单选题

1.（2020高一下·连云港期末）两条平行直线 与 的距离是（    ）           

A.                                  B.                                  C.                                  D. 

2.（2020高二上·慈溪期末）直线 ( 为常数)经过定点(    )           

A.                               B.                               C.                         D. 

3.（2020高一下·苍南月考）图中的直线 的斜率分别是 ，则有（     ） 

A.                    B.                  C.                D. 

4.（2019高二上·小店月考）直线 经过点 ，在 轴上的截距的取值范围是 ，则其斜率 的取值范围是（    ）           

A.                            B.              

C.              D. 

5.（2019高二上·汇川期中）经过点 作直线 ，若直线l与连接 、 的线段总有公共点，则直线 的倾斜角的取值范围为（    ）           

A.                     B.                     C.                     D. 

6.（2020高一下·邢台期中）点 到直线： 的距离d最大时，d与a的值依次为(   )           

A. 3，－3                                   B. 5，2                                   C. 5，1                                   D. 7，1

7.（2019高二下·上海月考）如图，在底面半径和高均为 的圆锥中， 是底面圆 的两条互相垂直的直径， 是母线 的中点．已知过 与 的平面与圆锥侧面的交线是以 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点 的距离为（   ） 

A.                                        B.                                        C.                                        D. 

8.（2020高二上·湖州期末）已知三条直线 ， ， ，其中 、 、 、 、 为实数， 、 不同时为零， 、 、 不同时为零，且 ．设直线 、 交于点 ，则点 到直线 的距离的最大值是（    ）           

A.                      B.                      C.                      D. 

二、填空题

9.（2021高二上·邢台月考）写出一个同时具有下列性质①②的直线l的方程：        . 

①直线l经过点 ；②直线l与x，y轴所围成的面积为 .

10.（2020高三上·黄浦期中）如果直线 将圆： 平分，且不经过第四象限，则 的斜率取值范围是________.   

11.（2019高一下·涟水月考）设直线 ，圆 ，若在圆 上存在两点 ， ，在直线 上存在一点 ，使得 ，则 的取值范围是________.   

12.（2021高二上·南京月考）直线l：2x-y+4=0与两坐标轴相交于A，B两点，则线段 的垂直平分线的方程为      .   

13.（2020高二上·浦东期末）已知动点P在曲线 上，则动点P到直线 的距离的最大值与最小值的和为________.   

14.已知直线 ，且l1⊥l2  ， 则l1的倾斜角为        ， 原点到l2的距离为       ．   

15.（2019高二上·南宁期中）不论 取什么实数，直线 都经过一个定点，则这个定点为________．   

16.（2020·攀枝花模拟）如图,在直四棱柱 中,底面 是菱形, 分别是 的中点,  为 的中点且 ,则 面积的最大值为________． 

17.（2019高二下·上海期中）在正方体 中， 是棱 的中点，F是侧面 内的动点,且 与平面 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的序号为________ 

①点F的轨迹是一条线段.② 与 是异面直线.

③ 与 不可能平行.④三棱锥 的体积为定值.

三、解答题

18.（2021高一下·玉林期末）已知两直线 ： ， ： .   

（1）求 和 平行时 的值；   

（2）求 和 垂直时 的值.   

19. （2016高一下·大连开学考）在△ABC中，A（3，2），B（﹣1，5），点C在直线y=3x+3上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．   

20.（2016高二上·青岛期中）直线1通过点P（1，3）且与两坐标轴的正半轴交于A、B两点．   

（1）直线1与两坐标轴所围成的三角形面积为6，求直线1的方程；   

（2）求OA+OB的最小值；   

（3）求PA•PB的最小值．   

21.（2019高一上·闵行月考）如图，在边长为6的正方形 中，弧 的圆心为 ，过弧 上的点 作弧 的切线，与 、 分别相交于点 、 ， 的延长线交 边于点 . 

（1）设 ， ，求 与 之间的函数解析式，并写出函数定义域；   

（2）当 时，求 的长.   

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 D  

【解析】直线方程 化为： ，

所以两条平行直线 与 的距离是：

.

故答案为：D

2.【答案】 B  

【解析】 直线

化简可得:

 当 ,

则直线 ( 为常数)经过定点是: .

故答案为：B.

3.【答案】 D  

【解析】由图可知： ， ， ，且直线 的倾斜角大于直线 的倾斜角，所以 ，综上可知： ，

故答案为：D．

 
4.【答案】 D  

【解析】由题可设直线方程为 ，即

在 轴上的截距的取值范围是 ，即点 在直线的异侧，

根据二元一次不等式表示平面区域关系可得：

，

即 ，

解得： .

故答案为：D

5.【答案】 A  

【解析】因为 ，所以 。

因为直线l与连接 、 的线段总有公共点，

，

，

设直线l的倾斜角为 ，所以 ，所以 ，

又因为 ，所以 ，

故答案为：A.

6.【答案】 C  

【解析】 直线 ，

即 ，

直线 是过直线 和 交点的直线系方程，

由 ，得 ，

可得直线 经过定点 ，

当直线 与 垂直时，

点 到直线 的距离最大，

的最大值为 ，

此时 轴，

可得直线 斜率不存在，即 .

故答案为：C.

7.【答案】 D  

【解析】如图：

在以平面 中的抛物线中，以E为原点建立坐标系，如图: ,代入 ，解得 ，焦点坐标是 ,所以在直角三角形中， ,根据勾股定理 ．

8.【答案】 D  

【解析】由于 ， ，且 ， ，

易知直线 过原点，将直线 的方程化为 ，由 ，解得

所以，直线 过定点 ，所以， ，

因为 ，则 ，直线 的方程为 ，

直线 的方程可化为 ，由 ，解得 ，

所以，直线 过定点 ，如下图所示：

设线段 的中点为点 ，则 ，

若点 不与 或 重合，由于 ，由直角三角形的性质可得 ；

若点 与点 或 重合，满足 .

由上可知，点 的轨迹是以 为直径的圆 ，该圆圆心为 ，半径为 .

设点 到直线 的距离为 ，当 时， ；

当 不与 垂直时， .

综上， .

所以，点 到直线 的距离的最大值为 .

故答案为：D.

二、填空题

9.【答案】 2x-y-1=0（或x-2y+1=0）  

【解析】【解答】设直线l的方程为 ，

令 ，解得 ，令 ，解得 .

所以直线 与x，y轴所围成的面积为 ，则 或 ，解得 或 ，

所以 的方程为2x-y-1=0（或x-2y+1=0）

故答案为：2x-y-1=0（或x-2y+1=0）

 10.【答案】 [0,2]  

【解析】可变为 ，

由题意，直线 过圆心 ，

在平面直角坐标系中作出直线 ，如图；

当直线 过原点时，直线斜率 ，

数形结合可得， 的斜率取值范围是[0,2].

故答案为：[0,2].

11.【答案】   

【解析】圆 半径为 ,从直线上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时,所成的角最大,此时四边形 为正方形,边长为 ,∴对角线 ,故圆心 到直线 的距离 ,∴有 ,求出 .
12.【答案】 x+2y-3=0  

【解析】由直线 可得 ，

所以直线 的斜率为 ，所以线段 的垂直平分线的斜率为 ，

令 可得 ；令 可得 ；即 ， ，

所以线段 的中点坐标为 ，

所以线段 的垂直平分线的方程为 ，

整理得x+2y-3=0.

故答案为：x+2y-3=0.

 13.【答案】 4  

【解析】设曲线 的圆心 坐标为 ，半径 ，

圆心 到直线 的距离为 ，

动点P到直线 的距离的最大值为

动点P到直线 的距离的最小值 ，

所以动点P到直线 的距离的最大值与最小值的和为 .

故答案为：4

14.【答案】 ；  

【解析】解：直线l1： x+y﹣1=0可化为y=﹣ x+1， 

其斜率为k=tanα=﹣ ，且α∈[0，π），

∴α= ，

即l1的倾斜角为 ；

又l2：ax+y=1，且l1⊥l2  ，

∴ ×a+1×1=0，

解得a= ，

∴原点O（0，0）到l2的距离为：

d= = ．

故答案为： ， ．

15.【答案】   

【解析】 ，

，

不论 取什么实数，直线 都经过一个定点，

，解得 ， ，

这个定点为 ．

故答案为： ．

16.【答案】 3  

【解析】连接 交 于 ，

底面 是菱形, ，

以 为坐标轴建立空间直角坐标系 ，

设 ，棱柱的高为 ，

则 ， ， ，

，即 ， ，

，

到直线 的距离 ，

 当且仅当 ，即 时取等号.

故答案为：

17.【答案】 ③  

【解析】对于①，设平面 与直线 交于点G，连接 ，则G为 的中点.

分别取 的中点 ，连接 ，

则 平面 ， 平面 .

所以 平面 ，同理可得 平面

是平面 内的相交直线.

所以平面 平面 ，

由 与平面 的垂线垂直,则 平面 ，可得直线 平面 .

即点F是线段 上的动点，所以①正确.

对于②，由①有点F在线段 上，所以 三点在侧面 内.

假设 与 不是异面直线，则 四点共面,则他们共面于侧面 内.

这与在正方体中，显然 产生矛盾，所以假设不成立.

故 与 是异面直线，故②正确.

对于③，当F与M重合时， ，所以③错误.

对于④， , ,则 平面 .

则点 到平面 的距离等于点M(或点N)到平面 的距离.

设点M(或点N)到平面 的距离为d.

则 ，即 .

在正方体中， ， ， 均为定值，所以 为定值.

点F到平面 的距离为定值，又 为定值.

所以 的体积为定值,故④正确.

故答案为：③.

三、解答题

18.【答案】 （1）因为 ，所以 ， 

解得 或 ，

当 时， 均为 ，两条直线重合，不符合.

故 .

（2）因为 ，所以 ， 

解得 或 .

当 ， 垂直时， 或 .

19.【答案】 解：设点C在直线AB的距离为d，由题意知， ，

∵ ，∴d=4，

直线AB的方程为 ，

即3x+4y﹣17=0，∵C在点直线3x﹣y+3=0上，

设C（x0  ， 3x0+3），∴ = ，

∴3x0﹣1=±4，∴x0=﹣1或 ，

∴C点的坐标为（﹣1，0）或

20.【答案】 （1）解：设直线l的方程为y﹣3=k（x﹣1）（k＜0），

由x=0，得y=3﹣k，由y=0，得x= ，

∴ =6，解得：k=﹣3

（2）解：OA+OB=3﹣k+1﹣ =4+（﹣k）+（﹣ ） ．

当且仅当﹣k=﹣ ，即k=﹣ 时上式“=”成立

（3）解：设直线l的倾斜角为α，则它的方程为 （t为参数），

由A、B是坐标轴上的点，不妨设yA=0，xB=0，

∴0=3+tsinα，即PA=|t|= ，

0=3+tcosα，即PB=|t|=﹣ ．

故PA•PB= =﹣ ．∵90°＜α＜180°，

∴当2α=270°，即α=135°时，PA•PB有最小值．

∴直线方程为 （t为参数），化为普通方程即x+y﹣4=0

21.【答案】 （1）解：根据切线长定理得 ，且 ，直角三角形 中由勾股定理得 ，化简得 ，由 ，解得 ，也即函数定义域为 .所以函数解析式为
（2）解：当 时，由（1）知 .以 为平面直角坐标系原点 分别为 轴建立平面直角坐标系，则 ，所以直线 的斜率为 ，所以与 垂直的直线 的斜率为 ，而 ，所以 ，所以 .即 长为 .