高中物理人教版 (2019)选择性必修 第二册第一章 安培力与洛伦兹力3 带电粒子在匀强磁场中的运动导学案及答案

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一、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．若v∥B，带电粒子以速度v做匀速直线运动，其所受洛伦兹力F＝0.
2．若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直，粒子在垂直于磁场方向的平面内运动．
(1)洛伦兹力与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小．
(2)带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力．
二、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期
1．由qvB＝meq \f(v2,r)，可得r＝eq \f(mv,qB).
2．由r＝eq \f(mv,qB)和T＝eq \f(2πr,v)，可得T＝eq \f(2πm,qB).带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径和运动速度无关．
1．判断下列说法的正误．
(1)运动电荷进入磁场后(无其他场)可能做匀速圆周运动，不可能做类平抛运动．( √ )
(2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径跟粒子的速率成正比．( √ )
(3)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径成正比．( × )
(4)运动电荷在匀强磁场中做圆周运动的周期随速度的增大而减小．( × )
2. 质子和α粒子由静止出发经过同一加速电场加速后，沿垂直磁感线方向进入同一匀强磁场，则它们在磁场中的速度大小之比为________；轨道半径之比为________；周期之比为________．
答案 eq \r(2)∶1 1∶eq \r(2) 1∶2
一、带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题
导学探究 如图1所示，可用洛伦兹力演示仪观察运动电子在匀强磁场中的偏转．
图1
(1)不加磁场时，电子束的运动轨迹如何？加上磁场后，电子束的运动轨迹如何？
(2)如果保持出射电子的速度不变，增大磁感应强度，轨迹圆半径如何变化？如果保持磁感应强度不变，增大出射电子的速度，轨迹圆半径如何变化？
答案 (1)一条直线 圆 (2)变小 变大
知识深化
1．分析带电粒子在磁场中的匀速圆周运动，要紧抓洛伦兹力提供向心力，即qvB＝meq \f(v2,r).
2．同一粒子在同一磁场中做匀速圆周运动，由r＝eq \f(mv,qB)知，r与v成正比；由T＝eq \f(2πm,qB)知，T与速度无关，与半径无关．
质子p(eq \\al(1,1)H)和α粒子(eq \\al(4,2)He)以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径分别为Rp和Rα，周期分别为Tp和Tα，则下列选项中正确的是( )
A．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2
B．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶1
C．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶2
D．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶1
答案 A
解析 质子p(eq \\al(1,1)H)和α粒子(eq \\al(4,2)He)的带电荷量之比为qp∶qα＝1∶2，质量之比mp∶mα＝1∶4.由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律可知，轨道半径R＝eq \f(mv,qB)，周期T＝eq \f(2πm,qB)，因为两粒子速率相同，代入q、m，可得Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2，故选项A正确．
针对训练1 粒子甲的质量与电荷量分别是粒子乙的4倍与2倍，两粒子均带正电．让它们在匀强磁场中同一点以大小相等、方向相反的速度开始运动．已知磁场方向垂直纸面向里．以下四幅图中，能正确表示两粒子运动轨迹的是( )
答案 B
解析 根据洛伦兹力提供向心力有Bqv＝meq \f(v2,r)，得r＝eq \f(mv,qB)，由于粒子甲的质量与电荷量分别是粒子乙的4倍与2倍，可知甲的轨迹半径是乙的轨迹半径的2倍，由于两粒子均带正电，由左手定则可知，B正确．
二、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
1．圆心的确定
圆心位置的确定通常有以下两种基本方法：
(1)已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图2甲所示，P为入射点，M为出射点)．
(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连线入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)．
图2
2．半径的确定
半径的计算一般利用几何知识解直角三角形．做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．由直角三角形的边角关系或勾股定理求解．
3．粒子在匀强磁场中运动时间的确定
(1)粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动轨迹的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝eq \f(α,360°)T(或t＝eq \f(α,2π)T)．
确定圆心角时，利用好几个角的关系，即圆心角＝偏向角＝2倍弦切角．
(2)当v一定时，粒子在匀强磁场中运动的时间t＝eq \f(l,v)，l为带电粒子通过的弧长．
如图3所示，一带电荷量为2.0×10－9C、质量为1.8×10－16 kg的粒子，从直线上一点O沿与PO方向成30°角的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经过1.5×10－6 s后到达直径上的P点，求：
图3
(1)粒子做圆周运动的周期；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)若O、P之间的距离为0.1 m，则粒子的运动速度的大小．
答案 见解析
解析 (1)作出粒子的运动轨迹，如图所示，由图可知粒子由O到P的大圆弧所对的圆心角为300°，
则eq \f(t,T)＝eq \f(300°,360°)＝eq \f(5,6)，
周期T＝eq \f(6,5)t＝eq \f(6,5)×1.5×10－6 s＝1.8×10－6 s
(2)由T＝eq \f(2πm,qB)知B＝eq \f(2πm,qT)＝eq \f(2×3.14×1.8×10－16,2.0×10－9×1.8×10－6) T＝0.314 T.
(3)由几何知识可知，半径r＝eq \x\t(OP)＝0.1 m
故粒子的运动速度v＝eq \f(Bqr,m)＝eq \f(0.314×2.0×10－9×0.1,1.8×10－16) m/s≈3.49×105 m/s.
针对训练2 如图4所示，一束电子(电子电荷量为e)以与上边界夹角为60°的速度v由A点射入磁感应强度为B、宽度为d的平行边界的匀强磁场中，在C点穿出磁场时的速度方向与磁场下边界垂直．则电子的质量是多少？电子穿过磁场的时间是多少？
图4
答案 eq \f(2eBd,v) eq \f(πd,3v)
解析 过A点和C点分别作速度的垂线，两者相交于O点，即为电子做圆周运动的圆心，则有θ＝30°，
由几何知识知Rsin 30°＝d
所以R＝2d
根据evB＝meq \f(v2,R)
所以m＝eq \f(eBR,v)＝eq \f(2eBd,v)
由于 所对圆心角是30°，
因此电子在磁场区域运动的时间t＝eq \f(30°,360°)T＝eq \f(1,12)T，
又由于T＝eq \f(2πm,eB)，故t＝eq \f(1,12)·eq \f(2πm,Be)＝eq \f(πd,3v).
(2019·全国卷Ⅲ)如图5，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为eq \f(1,2)B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场．一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限．粒子在磁场中运动的时间为( )
图5
A.eq \f(5πm,6qB) B.eq \f(7πm,6qB) C.eq \f(11πm,6qB) D.eq \f(13πm,6qB)
答案 B
解析 设带电粒子进入第二象限的速度为v，在第二象限和第一象限中运动的轨迹如图所示，对应的轨迹半径分别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq \f(v2,R)、T＝eq \f(2πR,v)，可得R1＝eq \f(mv,qB)、R2＝eq \f(2mv,qB)、T1＝eq \f(2πm,qB)、T2＝eq \f(4πm,qB)，带电粒子在第二象限中运动的时间为t1＝eq \f(T1,4)，在第一象限中运动的时间为t2＝eq \f(θ,2π)T2，又由几何关系有cs θ＝eq \f(R2－R1,R2)＝eq \f(1,2)，可得t2＝eq \f(T2,6)，则粒子在磁场中运动的时间为t＝t1＋t2，联立以上各式解得t＝eq \f(7πm,6qB)，选项B正确，A、C、D错误．
1．(带电粒子在匀强磁场中的运动)关于带电粒子在匀强磁场中的运动，下列说法正确的是( )
A．带电粒子飞入匀强磁场后，一定做匀速圆周运动
B．静止的带电粒子在匀强磁场中将会做匀加速直线运动
C．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时洛伦兹力的方向总是和运动方向垂直
D．当洛伦兹力方向和运动方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中的运动一定是匀速圆周运动
答案 C
解析 若带电粒子的速度方向与磁场方向平行(同向或反向)，此时洛伦兹力为零，带电粒子做匀速直线运动，A错误；静止的带电粒子不受洛伦兹力，仍将静止，B错误；带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力总跟速度方向垂直，即和运动方向垂直，C正确；如果带电粒子以与磁场方向成某一角度进入匀强磁场，洛伦兹力与运动方向垂直，带电粒子不是做匀速圆周运动，D错误．
2．(半径公式、周期公式)(多选)两个粒子A和B带有等量的同种电荷，粒子A和B以垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场，不计重力，则下列说法正确的是( )
A．如果两粒子的速度vA＝vB，则两粒子的半径RA＝RB
B．如果两粒子的动能EkA＝EkB，则两粒子的周期TA＝TB
C．如果两粒子的质量mA＝mB，则两粒子的周期TA＝TB
D．如果两粒子的质量与速度的乘积mAvA＝mBvB，则两粒子的半径RA＝RB
答案 CD
解析 因为粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径r＝eq \f(mv,qB)，周期T＝eq \f(2πm,qB)，又粒子电荷量相等且在同一磁场中，所以q、B相等，r与m、v有关，T只与m有关，所以A、B错误，C、D正确．
3.(带电粒子做匀速圆周运动的分析)如图6所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场．其中穿过a点的粒子的速率v1与MN垂直；穿过b点的粒子的速率v2与MN成60°角，设两粒子从S点到a、b两点所需时间分别为t1和t2，则t1∶t2为(粒子的重力不计)( )
图6
A．1∶3 B．4∶3 C．1∶1 D．3∶2
答案 D
解析 如图所示，可求出从a点射出的粒子对应的圆心角为90°，从b点射出的粒子对应的圆心角为60°，由t＝eq \f(α,360°)T，式中α为圆心角，可得t1∶t2＝3∶2，故D正确．
4.(带电粒子做匀速圆周运动的分析)如图7所示，匀强磁场方向竖直向下、磁感应强度大小为B.一带电粒子质量为m、电荷量为＋q，此粒子以某水平速度经过P点，方向如图，经过一段时间粒子经过Q点，已知P、Q在同一水平面内，P、Q间距离为L，P、Q连线与过P点时的速度的反向延长线夹角为θ，不计重力，求：
图7
(1)粒子的运动速度大小；
(2)粒子从P第一次到Q所用的时间．
答案 (1)eq \f(qBL,2msin θ) (2)eq \f(2π－2θm,qB)
解析 (1)如图所示，作PQ的中垂线，过P作初速度的垂线，交点为O，则OP等于带电粒子做圆周运动的半径r，由数学知识可知r＝eq \f(L,2sin θ)，带电粒子受到的洛伦兹力提供向心力，
有qv0B＝eq \f(mv\\al(02),r)，解得v0＝eq \f(qBL,2msin θ).
(2)粒子做圆周运动的圆心角
α＝2π－2θ
T＝eq \f(2πm,qB)
t＝eq \f(α,2π)T
联立解得t＝eq \f(2π－2θm,qB).
考点一 周期公式与半径公式的基本应用
1．质子和一价钠离子分别垂直进入同一匀强磁场中做匀速圆周运动．如果它们的圆周运动半径恰好相等，这说明它们在刚进入磁场时( )
A．速率相等 B．质量和速率的乘积相等
C．动能相等 D．质量相等
答案 B
解析 根据Bqv＝meq \f(v2,r)得r＝eq \f(mv,qB)，因为质子与一价钠离子电荷量相同，又是进入同一磁场，B也相同，要使半径r相同，必然是质量和速率的乘积mv相同，所以选B.
2.如图1所示，水平导线中有恒定电流I通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同，则电子将( )
图1
A．沿路径a运动，轨迹是圆
B．沿路径a运动，轨迹半径越来越大
C．沿路径a运动，轨迹半径越来越小
D．沿路径b运动，轨迹半径越来越小
答案 B
解析 电流在导线下方产生的磁场方向垂直纸面向外，由左手定则可知电子运动轨迹向下弯曲，又由r＝eq \f(mv,qB)可知，B减小，r越来越大，则电子的轨迹是a，故选B.
3.质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场并最终打在金属板上，运动的半圆轨迹如图2中虚线所示，不计重力，下列表述正确的是( )
图2
A．M带负电，N带正电
B．M的速率小于N的速率
C．洛伦兹力对M、N做正功
D．M的运动时间大于N的运动时间
答案 A
解析 根据左手定则可知N带正电，M带负电，A正确；因r＝eq \f(mv,Bq)，而M的轨迹半径大于N的轨迹半径，所以M的速率大于N的速率，B错误；洛伦兹力不做功，C错误；M和N的运动时间都为t＝eq \f(πm,Bq)，D错误．
考点二 带电粒子做匀速圆周运动的分析
4.两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图3所示．若不计粒子的重力，则下列说法正确的是( )
图3
A．a粒子带正电，b粒子带负电
B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
C．b粒子动能较大
D．b粒子在磁场中运动时间较长
答案 C
解析 粒子向右运动，根据左手定则，b粒子向上偏转，应当带正电，a粒子向下偏转，应当带负电，A错误；根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝eq \f(mv2,r)，解得r＝eq \f(mv,qB)，故半径较大的b粒子的速度大，动能也大，C正确；由F洛＝qvB可知，速度大的b粒子受到的洛伦兹力较大，B错误；粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝eq \f(2πm,qB)，可知a、b两粒子做圆周运动的周期相同，则在磁场中偏转角大的粒子运动时间长，a粒子的偏转角大，因此运动的时间长，D错误．
5.如图4所示，粒子a和粒子b所带的电荷量相同，以相同的动能从A点射入匀强磁场中，做圆周运动的半径ra＝2rb，则下列说法正确的是(重力不计)( )
图4
A．两粒子都带正电，质量之比eq \f(ma,mb)＝eq \f(2,4)
B．两粒子都带负电，质量之比eq \f(ma,mb)＝eq \f(4,1)
C．两粒子都带正电，质量之比eq \f(ma,mb)＝eq \f(1,4)
D．两粒子都带负电，质量之比eq \f(ma,mb)＝eq \f(1,4)
答案 B
解析 由qa＝qb、Eka＝Ekb，动能Ek＝eq \f(1,2)mv2和粒子做圆周运动的半径r＝eq \f(mv,qB)，可得m＝eq \f(r2q2B2,2Ek)，可见质量m与半径r的平方成正比，故eq \f(ma,mb)＝eq \f(4,1)，再根据左手定则可知两粒子都带负电，故B正确．
6.如图5所示，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于纸面的匀强磁场(未画出)，一带电粒子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿越铝板后到达PQ的中点O.已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变，不计重力．铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为( )
图5
A．2 B.eq \r(2) C．1 D.eq \f(\r(2),2)
答案 D
解析 根据几何关系可知，带电粒子在铝板上方做匀速圆周运动的轨迹半径r1是其在铝板下方做匀速圆周运动的轨迹半径r2的2倍，设粒子在P点的速度大小为v1，根据牛顿第二定律可得qv1B1＝eq \f(mv\\al(12),r1)，则B1＝eq \f(mv1,qr1)＝eq \f(\r(2mEk),qr1)；同理，B2＝eq \f(mv2,qr2)＝eq \f(\r(2m·\f(1,2)Ek),qr2)＝eq \f(\r(mEk),qr2)，则eq \f(B1,B2)＝eq \f(\r(2)r2,r1)＝eq \f(\r(2),2)，D正确．
7．氕、氘、氚的电荷数相同，质量之比为1∶2∶3，它们由静止经过相同的加速电压加速，之后垂直进入同一匀强磁场，不计重力和它们间的相互作用，则( )
A．运动半径之比为eq \r(3)∶eq \r(2)∶1
B．运动半径之比为3∶2∶1
C．运动周期之比为1∶2∶3
D．运动周期之比为3∶2∶1
答案 C
解析 经过电压U加速后速度v＝eq \r(\f(2qU,m))，根据半径公式r＝eq \f(mv,qB)＝eq \r(\f(2mU,qB2))，半径与质量的平方根成正比，即运动半径之比为1∶eq \r(2)∶eq \r(3)，A、B错；根据周期公式T＝eq \f(2πm,qB)，可知周期之比等于质量之比，为1∶2∶3，C对，D错．
8.如图6所示，一束质量、速度和电荷量不同的正离子垂直地射入匀强磁场和匀强电场正交的区域里，结果发现有些离子保持原来的运动方向，有些发生偏转．如果让这些不偏转的离子进入另一匀强磁场中，发现这些离子又分裂成几束，对这些进入另一磁场的离子，可得出结论( )
图6
A．它们的动能一定各不相同
B．它们的电荷量一定各不相同
C．它们的质量一定各不相同
D．它们的电荷量与质量之比一定各不相同
答案 D
解析 从第一个磁场进入另一磁场的离子一定满足qE＝qvB1，即v＝eq \f(E,B1)，这些离子速度相同．在另一磁场中，r＝eq \f(mv,qB2)，由于v、B2相同，而r不同，所以eq \f(q,m)一定不同，故D项正确．
9.如图7所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处与x轴正方向成θ角(0