2022-2023学年江西省南昌市南昌县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省南昌市南昌县九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 把抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图所示的二次函数图象中，某同学观察得出下面四条信息：；；；你认为其中正确的信息有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

5. 方程有两个相等实根，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图所示，在平面直角坐标系中，点坐标为，为等腰直角三角形，且，点是线段的中点，将绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第秒时点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7. 如果点关于原点对称的点在第一象限，则的取值范围是______．
8. 若抛物线经过原点，则______．
9. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮框内已知篮圈中心距离地面高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为______ ．

10. 如图，边长为的正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，则图中阴影部分的面积为______．

11. 若二次函数自变量满足，则函数的最小值是______．
12. 如图，在正方形中，边绕点顺时针旋转角度，得到线段，连接，当是等腰三角形时，的值为______所有可能．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
14. 本小题分
    如图，利用函数的图象，直接回答：
    方程的解是______ ；
    当 ______ 时，随的增大而减小；
    当满足______ 时，函数值大于；
    当时，的取值范围是______ ．

15. 本小题分
    如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中点、、都是格点．
    将绕点按顺时针向旋转得到，请画出；
    作出关于点成中心对称的；
    以、、三个顶点为顶点作出个平行四边形，并直接写出作出的平行四边形的周长______ ．

16. 本小题分
    已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：

求二次函数的解析式；
写出该函数图象开口方向，并求出该函数的对称轴和顶点坐标．

17. 本小题分
    已知关于的方程．
    求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根；
    若是该方程的一个根，求方程的另一个根．
18. 本小题分
    某商场以每件元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于元，经市场调查发现：该商品每天的销售量件与每件售价元之间符合一次函数关系，如图所示．
    求与之间的函数关系式；
    该商场销售这种商品要想每天获得元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
    设商场销售这种商品每天获利元，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？

19. 本小题分
    如图，是等边内的一点，且，，，将绕点逆时针旋转，得到．
    旋转角为______度；
    求点与点之间的距离；
    求的度数．

20. 本小题分
    如图，一高尔夫球员从山坡下的点处打出一球，球向山坡上的球洞点处飞去，球的飞行路线为抛物线．如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度时，球移动的水平距离为已知山坡与水平方向的夹角为，、两点间的距离为
    建立适当的直角坐标系，求球的飞行路线所在抛物线的函数表达式．
    这一杆能否把高尔夫球从点处直接打入点处球洞？

21. 本小题分
    【说读材料】我们已经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现：
    当，时：
    ，．
    ，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为．
    【学以致用】根据上面材料回答下列问题：
    已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______；
    已知，求当值为多少时，分式取到最小值，最小值是多少？
    用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
22. 本小题分
    综合与实践
    某兴趣小组为研究特殊三角形旋转时“点、线、面”在特殊位置时的特殊结论，小组成员选取了两个完全相同的含角的三角尺如图摆放，其中，，保持不动，将绕着直角顶点顺时针旋转一个角度，与边交于点如图．
    如图，当时，与的位置关系是______，判断此时的形状并证明．
    如图，当______时，是等腰三角形．
    如图，当继续旋转至点、、三点共线时，连接，求的长．
     
23. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于、两点点在点左边，与轴交于点直线经过、两点，点是抛物线上一动点．
    求抛物线的解析式；
    当点在下方运动时，求面积的最大值．
    连接，把沿着轴翻折，使点落在的位置，四边形能否构成菱形，若能，求出点的坐标，如不能，请说明理由；
    把抛物线向上平移个单位，再向左平移个单位，使顶点落在内部，求直接写出点的取值范围．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
A、，所以方程有两个不相等的实数解，所以选项的结论正确；
B、因为是一元二次方程的实数根，则，所以选项的结论正确；
C、，所以选项的结论正确；
D、，所以选项的结论错误．
故选：．
根据判别式的意义对进行判断；根据一元二次方程根的定义对进行判断；根据根与系数的关系对、进行判断．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

3.【答案】 

【解析】解：抛物线，
顶点坐标为，
把点向左平移个单位，再向下平移个单位得到．
故选：．
先得到抛物线的顶点坐标为，则把点向左平移个单位，再向下平移个单位后得到．
本题考查了二次函数图象与几何变换：把抛物线平移的问题转化为抛物线的顶点平移问题进行解决．
 

4.【答案】 

【解析】解：由图像可知，不符合题意；
抛物线与轴有两个交点，，符合题意；
，，，，不符合题意；
时，即，符合题意；
故选：．
抛物线与轴交点在和之间；
抛物线与轴有两个交点；
，，得，得；
时，即．
本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质，会利用对称轴的范围求与的关系以及根的判别式的熟练运用，二次函数的性质的熟练运用是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故选：．
利用判别式得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

6.【答案】 

【解析】解：将绕点以每秒的速度顺时针旋转，，
秒循环一次，
余数为，
第秒时，点旋转到如图处，
点坐标为，为等腰直角三角形，
，
点是线段的中点，
，
作于，，
由题意，都是等腰直角三角形，
，，

故选：．
将矩形绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，，秒循环一次，因为余数为，推出第秒时，点旋转到如图处，作于，，利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．
本题考查矩形的性质，旋转变换，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：点关于原点的对称点在第一象限，
点在第三象限，
，
解得．
故答案为：．
根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数判断出，然后解不等式即可．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线经过原点，
将代入得：，
．
故答案为：．
将代入抛物线解析式，求得值即可．
本题考查了二次函数的图象经过原点时的性质特点，属于二次函数基础知识的考查，比较简单．
 

9.【答案】 

【解析】解：当球运动的水平距离为时，达到最大高度，
抛物线的顶点坐标为，
设此抛物线的解析式为，
由图象可知，篮圈中心与轴的距离为：，且篮圈中心距离地面高度为，
篮圈中心的坐标为，代入，得：
，
，
．
故答案为：．
由题意，先求得抛物线的顶点坐标，再设其解析式为；由图象得出篮圈中心的坐标，代入抛物线解析式，求得的值，则问题得解．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设与交于点，连接．
在与中，，
，
≌，
．
，，
，
．
．
阴影部分的面积．
设与交于点由于阴影部分的面积，又因为，所以关键是求为此，连接根据易证≌，得出在直角中，由正切的定义得出再利用三角形的面积公式求出．
本题主要考查了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定及性质，图形的面积以及三角函数等知识，综合性较强，有一定难度．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该函数图象开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
，
当时，取得最小值，最小值为
故答案为：．
先把函数解析式化为顶点式，找到对称轴，再根据自变量的取值范围确定最小值即可．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

12.【答案】或或或或 

【解析】解：如图，当时，

，是等腰三角形；
如图，当时，

，是等腰三角形；
如图，当时，点与点重合，

，是等腰三角形；
如图，当时，
，是等腰三角形；

如图，当时，
，是等腰三角形；

综上所述，的值为或或或或，
故答案为或或或或．
由旋转的性质分别画出或或或或时的图形，根据图形即可得到答案．
本题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质的知识，解答本题的关键是进行分类讨论求的值．
 

13.【答案】解：，
，，，
，
，
，；
，
，
或，
，． 

【解析】利用公式法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

14.【答案】，    或   

【解析】解：由图象可得，
当时，或，
故方程的解是，，
故答案为：，；
由图象可得，
当时，时，随的增大而减小，
故答案为：；
由图象可得，
当或时，函数值大于，
故答案为：或；
由图象可得，
函数的对称轴是直线，当时，该函数取得最小值，
当时，取得最小值，时的值为，
即当时，的取值范围是，
故答案为：．
根据函数图象，可以得到方程的解；
根据函数图象，可以写出当为何值时随的增大而减小；
根据函数图象可以写出，当为何值时，函数值大于；
根据函数图象和二次函数的性质，可以得到当时，的取值范围．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】或或 

【解析】解：如图，为所作；
如图，为所作；

，，，
当以为对角线时，作出的平行四边形的周长；
当以为对角线时，作出的平行四边形的周长；
当以为对角线时，作出的平行四边形的周长；
综上所述，作出的平行四边形的周长为或或．
故答案为或或．
利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、即可；
利用网格特点和中心对称的性质画出、、的对应点、、即可；
分别以的三边为对角线画出对应的平行四边形，然后求出对应的平行四边形的周长．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

16.【答案】解：根据图表知，该二次函数的图象经过点、、，

解得，，
该二次函数的解析式是：；
，
该二次函数图象的开口向上，对称轴是：，顶点为． 

【解析】利用待定系数法求得该二次函数的解析式即可；
化成顶点式，根据的符号以及顶点式即可求得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标．
本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象的性质．解答该题的关键是根据图表提取关键性信息．
 

17.【答案】证明：

，
方程有两个不相等的实数根．
解：是该方程的一个根，
，解得，
方程为，
解得：，，
方程的另一个根为． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此可证出方程有两个不相等的实数根；
把代入方程，求得，即可得出，然后解方程即可求出方程的另一个根．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．
 

18.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
由所给函数图象可知：，
解得，
故与的函数关系式为；

根据题意，得：，
整理，得：，
解得：或不合题意，舍去，
答：每件商品的销售价应定为元；

，


，
当时，，
售价定为元件时，每天最大利润元． 

【解析】利用待定系数法求解即可；
根据“每件利润销售量总利润”列出一元二次方程，解之可得；
根据以上相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数性质求解可得．
本题主要考查一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．
 

19.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转，
，
为等边三角形，
，
旋转角度为，
故答案为：；
连接，
是等边三角形，

，，
是绕点逆时针旋转得到的，
≌，
，，，
，，
是等边三角形，
；
即点与点之间的距离是；
，，，
而，
，
是直角三角形，且，
是等边三角形，
，
．
根据旋转角度的定义进行解答便可；
连接，根据等边三角形的性质得，，由旋转的性质得，，，，，于是可判断是等边三角形，所以；
先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再加上，然后计算即可．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是本题的关键．
 

20.【答案】解：如右图建立平面直角坐标系，
则点的坐标为，
设球的飞行路线所在抛物线的函数表达式为，
该抛物线过点，
，得，
即球的飞行路线所在抛物线的函数表达式为；
，，，
，，
当时，，
，
这一杆不能把高尔夫球从点处直接打入点处球洞． 

【解析】本题考查二次函数的应用．
根据题意，可以建立合适的平面直角坐标系，并求出球的飞行路线所在抛物线的函数表达式；
根据山坡与水平方向的夹角为，、两点间的距离为，可以求得和的长，然后将的长代入中的函数解析式，可以求得对应的的值，然后与长比较大小，即可解答本题．
 

21.【答案】   

【解析】解：当时，，
当时，的最小值是；
即当时，的最小值是；
故答案为：；；
令，
当且仅当时，取最小值为，
当时，．
设这个矩形的长为米，则宽为米，所用的篱笆总长为米，
根据题意得：，
由上述性质知：

，
此时，，
．
答：当这个长方形的长、宽各为米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米．
根据阅读材料计算；
将原函数变为：，则原函数的最大值，即为现在函数的最小值．
设这个矩形的长为米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据：求解．
本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
 

22.【答案】  或或 

【解析】解：当时，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
故答案为：；
当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：或或；
延长交于，

，，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，
．
根据内错角相等，两直线平行可证明，再说明，可得的形状；
分三种情形，分别是当时，，当时，，当时，；
延长交于，利用含角的三角形的性质可得，，再利用勾股定理可得答案．
本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：对于直线，
令，则，
，
令，则，
，
，
将点，坐标代入抛物线中，得，
，
抛物线的解析式为；

过点作轴交于点，

设，则，
，
，
当时，的值最大，最大值为；

如图，

由翻折得，点、关于轴对称，
垂直平分，
当垂直平分时，四边形能构成菱形，
点的纵坐标为，
当时，，
，
四边形能构成菱形，点的坐标为或；

，
平移后抛物线的解析式为，
平移后抛物线的顶点坐标为，
，当时，，
或，
，，
设直线的解析式，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
；
直线的解析式为，
当时，，
，
，
；
综上所述，的取值范围为． 

【解析】先求出点，坐标，再代入抛物线解析式中，即可得出结论；
过点作轴交于点，设，则，则，，再求解即可；
由翻折得，点、关于轴对称，可得垂直平分，当垂直平分时，四边形能构成菱形，则点的纵坐标为，代入求出的值，即可求解；
平移后抛物线的解析式为，然后求得直线的解析式为，由抛物线的顶点在的内部即可求得的取值范围．
本题是二次函数综合题，考查一次函数的应用、平移变换、翻折变换，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．