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第2讲 平面向量(原卷版)+解析版
展开这是一份第2讲 平面向量(原卷版)+解析版,文件包含第2讲平面向量原卷版docx、第2讲平面向量解析版pdf等2份试卷配套教学资源,其中试卷共29页, 欢迎下载使用。
第2讲 平面向量
一:奔驰定理
1:奔驰定理内容---三角形的面积比等于其所对应的系数比
已知是内的一点,的面积分别为,,,求证:
2.推导过程
证明方法一:如图延长与边相交于点则
推论是内的一点,且,则
二.极化恒等式
2.推导过程:
三.三角形的四心
1.推论
(1)重心:中线的交点,
①是的重心
②中线长度分成2:1
③=
(2)内心:角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等
①是的内心
②
(3)外心:
①是的外心
②
(4)垂心:高线的交点,高线与对应边垂直
①是的垂心:
证明:如图为三角形的垂心,
同理得,
②
由,得,即,所以.同理可证,.
技巧1 奔驰定理
【例1】是内一点,满足,则( )
A. B. C. D.
【举一反三】
1.已知所在平面内一点,满足,则与的面积的比值为( )
A. B. C. D.
2.(广东省深圳外国语学校2020)点是所在平面上一点,若,则与的面积之比是( )
A.3 B.2 C. D.
3.(天津市红桥区2019)已知点O是内一点,满足,,则实数m为( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
技巧2 三角形的四心
【例2-1】点O是△ABC所在平面内的一点,满足,则点O是的__________心.
【例2-2】(黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学)在中,设,则动点M的轨迹必通过的( )
A.垂心 B.内心 C.重心 D.外心
【举一反三】
1.(河北省保定市)过内一点任作一条直线,再分别过顶点作的垂线,垂足分别为,若恒成立,则点是的( )
A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心
2.(辽宁朝阳柳城高中)设点P是△ABC所在平面内一点,,则点P是△ABC
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
3.设点O是三角形ABC所在平面上一点,若,则点O是三角形ABC的________心.
4.设是平面内一定点,为平面内一动点,若,则为的( )
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
技巧3 极化恒等式
【例3】(1)(2020福建省南平市)在中,若,边上中线长为3,则( )
A.-7 B.7 C.-28 D.28
(2)(2020届河南省八市重点高中联盟领军)在中,,点在上,且,若,则的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三】
1.(2018•天津)如图,在平面四边形中,,,,.若点为边上的动点,则的最小值为
A. B. C. D.3
2.(2017年新课标2)已知是边长为4的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是
A. B. C. D.
3.(2020届湖北省武汉市)已知等边△ABC内接于圆:x2+ y2=1,且P是圆τ上一点,则的最大值是( )
A. B.1 C. D.2
1.(2020上海市控江中学)点在△内部,且满足,则△的面积与△、△面积之和的比为________
2.已知点P在△ABC所在的平面内,若2+3+4=3,则△PAB与△PBC的面积的比值为__________.
3.(2020届山西省太原市第五中学校)设点在的外部,且,则 。
4.(2020·哈尔滨三模)已知O为正三角形ABC内一点,且满足,若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3,则λ的值为 。
5.(2020届海南省全国大联考)设点是的重心,且满足,则 。
6.若在△ 中,,其外接圆圆心满足,则__________.
7.已知是锐角的外心,.若,则实数______.
8.(2020湖北省重点高中联考协作)已知是平面上一定点,满足,,,则的轨迹一定通过的 (外心 、垂心、重心、内心)
9.已知O,N,P在所在平面内,且,,且,则点O,N,P依次是的 (填三角形的四心)
10.(2020河南省八市重点高中联盟)已知是半径为1的圆的一条直径,点是圆上一动点,则的最大值等于 。
11.(2020届江苏省无锡市)正方形的边长为2,圆内切于正方形,为圆的一条动直径,点为正方形边界上任一点,则的取值范围是______.
12.(2020届江苏省苏州市张家港市)已知正方形的边长为4,是的中点,动点在正方形的内部或其边界移动,并且满足,则的最小值是______.
13.(2020届江苏省沭阳县)如图所示,在中,,则的最小值是__________
14.(2020届浙江省湖州市)正方形的边长为2,,分别为,的中点,点是以为圆心,为半径的圆上的动点,点在正方形的边上运动,则的最小值是______.