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    第2讲 平面向量(原卷版)+解析版

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    这是一份第2讲 平面向量(原卷版)+解析版,文件包含第2讲平面向量原卷版docx、第2讲平面向量解析版pdf等2份试卷配套教学资源,其中试卷共29页, 欢迎下载使用。


    2  平面向量

    一:奔驰定理

    1:奔驰定理内容---三角形的面积比等于其所对应的系数比

    已知内的一点,的面积分别为,求证:

    2.推导过程

    证明方法一:如图延长边相交于点

     

       

     

    推论内的一点,且,则

    .极化恒等式

    2.推导过程:

    三.三角形的四心

    1.推论

    (1)重心:中线的交点,

    的重心

    ②中线长度分成2:1

    =

    (2)内心:角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等

    的内心

    (3)外心:

    的外心

     

     

    (4)垂心:高线的交点,高线与对应边垂直

    的垂心:         

    证明:如图为三角形的垂心,

    同理得

    ,得,即,所以.同理可证

    技巧1  奔驰定理

    【例1内一点,满足,则   

    A B C D

    【举一反三】

    1.已知所在平面内一点,满足,则的面积的比值为(   

    A B C D

     

    2.广东省深圳外国语学校2020所在平面上一点,若,则的面积之比是(   

    A3 B2 C D

     

    3.天津市红桥区2019已知点O内一点,满足,则实数m为(   

    A2 B-2 C4 D-4

     

    技巧2  三角形的四心

    【例2-1】点OABC所在平面内的一点,满足,则点O__________心.

     

    【例2-2黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学中,设,则动点M的轨迹必通过的(    

    A.垂心 B.内心 C.重心 D外心

     

    【举一反三】

    1.河北省保定市内一点任作一条直线,再分别过顶点的垂线,垂足分别为,若恒成立,则点的(   

    A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心

     

    2辽宁朝阳柳城高中设点P△ABC所在平面内一点,,则点P△ABC

    A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心

     

    3.设点O是三角形ABC所在平面上一点,若,则点O是三角形ABC________心.

     

    4.设是平面内一定点,为平面内一动点,若,则的(   

    A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心

     

    技巧3  极化恒等式

    【例31)(2020福建省南平市中,若边上中线长为3,则   

    A-7 B7 C-28 D28

    2)(2020届河南省八市重点高中联盟领军中,,点上,且,若,则的值是(   

    A B C D

     

    【举一反三】

    1.2018•天津)如图,在平面四边形中,.若点为边上的动点,则的最小值为  

    A B C D3

     

    2.2017年新课标2已知是边长为4的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是

    A B C D

     

    32020届湖北省武汉市已知等边ABC内接于圆x2+ y2=1,且P是圆τ上一点,则的最大值是(   

    A B1 C D2

     

     

     

     

     

    12020上海市控江中学内部,且满足,则的面积与面积之和的比为________

     

    2.已知点P△ABC所在的平面内,若2343,则△PAB△PBC的面积的比值为__________

     

    32020届山西省太原市第五中学校设点的外部,且,则         

     

    4(2020·哈尔滨三模)已知O为正三角形ABC内一点,且满足,若OAB的面积与OAC的面积比值为3,则λ的值为            

     

    52020届海南省全国大联考设点的重心,且满足,则             

     

    6.若在 ,,其外接圆圆心满足,则__________.

     

    7.已知是锐角的外心,.若,则实数______

     

    8.(2020湖北省重点高中联考协作)已知是平面上一定点,满足,则的轨迹一定通过  (外心              、垂心、重心、内心)

     

    9.已知ONP所在平面内,且,且,则点ONP依次是                 (填三角形的四心)

     

    10.(2020河南省八市重点高中联盟)已知是半径为1的圆的一条直径,点是圆上一动点,则的最大值等于     

     

    11.(2020届江苏省无锡市)正方形的边长为2,圆内切于正方形为圆的一条动直径,点为正方形边界上任一点,则的取值范围是______.

     

    12.(2020届江苏省苏州市张家港市)已知正方形的边长为4,的中点,动点在正方形的内部或其边界移动,并且满足,则的最小值是______.

     

    13.(2020届江苏省沭阳县)如图所示,在中,,则的最小值是__________

     

    14.(2020届浙江省湖州市)正方形的边长为2,分别为的中点,点是以为圆心,为半径的圆上的动点,点在正方形的边上运动,则的最小值是______.

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