第1讲 函数相关技巧（原卷版）+解析版

第1讲 函数相关技巧

一．分式函数求值域-----分子分母为同类型函数

（一）注意事项

1. 求值域前先求定义域，如果给出区间则不用求定义域
2. 几个极限值

（二）模式

二.奇偶性

1. 常见函数的奇偶性（前提定义域关于原点对称）

2. 有对称轴函数解不等式或比较大小----比较的是两个自变量与对称轴距离的远近

当函数的对称轴为x=a，则f(x1)>f(x2)

（1）当函数的先增后减时，

（2）当函数的先减后增时，

3. 奇偶性的运算

同性相加减的同性，异性相加减为非奇非偶

同性乘除为偶函数，异性乘除为奇函数

三.    函数模型为f(x)=g(x)+k，其中g(x)为奇函数，所给区间要关于原点对称

1. f(x)+f(-x)=2k

推导：f(x)+f(-x)=g(x)+k+g(-x)+k=g(x)-g(-x)+2k=2k

2. f(x)max+f(x)min=2k

推导 :f(x)max+f(x)min=g(x)max+k+g(x)min+k=2k(奇函数的最大值与最小值成相反数）

3. 如何找k---f(0)=k

推导:f(0)=g(0)+k=k

技巧1  分式函数求值域

【例1】（1）（2020山西省太原市实验中学）已知函数的取值范围           。

（2）（2020湖南省长沙市第一中学）函数的值域为           。

【答案】（1）【，】（2）

【解析】，则其值域【，】

（2）常规法：分离常数由已知:,.

技巧法：t=x2,t0，则函数y=f(x)=,f(0)=-1,f()=1(取不到，开区间），

【举一反三】

1．（2019上海市普陀区曹杨第二中学函数），的值域是________；

【答案】；

【解析】技巧法：f(0)=,f(2)=故答案为：

常规法：,因为,故,

故.故答案为：

2．（2020广东省东莞市北师大东莞石竹附属学校）函数的值域是                 。

【答案】，

【解析】技巧法：t=x2,t0，则函数y=f(x)=,f(0)=1,f()=-1(取不到，开区间），即函数的值域是，．

常规法：，

，，则，．

即函数的值域是，．

3.（2020陕西省西安市高新一中）函数的值域为________.

【答案】

【解析】技巧法：的定义域为，则y

故答案为：

常规法：由题.

因为的值域为,故的值域为,

故的值域为.

故的值域为故答案为：

技巧2  口算奇偶性求参数

【例2】（1）（2020·福建漳州·高三其他（文））若函数是偶函数，则实数（    ）

A． B．0 C．1 D．

（2）（2020·河南高三月考（理））已知是奇函数，且实数满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】（1）C（2）D

【解析】（1）技巧法：因为函数为偶函数，正弦为奇函数，所以对数为奇函数，根据常见函数可知

常规法：因为是偶函数，是奇函数，

所以是奇函数，所以，

所以，所以，

所以，所以，故选：C.

（2）因为是定义域为的奇函数，所以，可得，

此时，易知在上为减函数.

又因为，所以，所以.故选：D.

【举一反三】

1．（2020·沙坪坝·重庆南开中学高三月考（理））已知函数，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】技巧法：根据常见奇偶性函数可知f(x)为偶函数，根据对勾函数已知二次函数可知x>0函数为单调递增，则x<0函数为单调递减，，即，解得，故选：D.

常规法：设，由，当时，，

当时，，则在上单调递减，在上单调递增，

由二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又，所以为偶函数.由可知，

，即，解得，故选：D.

2．（2020·河北桃城·衡水中学高三其他（文））若函数，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】技巧法：根据常见函数可知f(x)为奇函数求为单调递增则可化为所以原不等式等价于不等式.

①当时，可化为，所以；

②当时，可化为，所以.

综上，原不等式的解集为.

常规法：因为函数的定义域为，

且满足，

所以为上的奇函数，

则可化为，

因为恒成立，所以为上的增函数.

所以原不等式等价于不等式.

①当时，可化为，所以；

②当时，可化为，所以.

综上，原不等式的解集为.故选：A.

3．（2020·河南罗山·高三月考（理））已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意是偶函数，且在上单调递增，

∴不等式可变为，∴，解得．故选：B．

技巧3  形如f(x)=奇函数+常数

【例3】（1）（2020·河南平顶山·高三月考（文））已知函数，若，则（    ）

A． B． C．1 D．2

（2）（2019秋•市中区校级月考）已知，，，若的最大值为，的最小值为，则等于　　

A．0 B．2 C． D．

（3）（2020·五华·云南师大附中高三月考（文））已知函数，则

（    ）

A．2019 B．2020 C．4038 D．4040

【答案】（1）C（2）B（3）C

【解析】（1）因为是奇函数，∴.故选：C.

（2）函数为奇函数，，即，，即．故选：．

（3）

所以

.故选：C

【举一反三】

1．（2019秋•椒江区校级期中）已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于　　

A．2 B．4 C． D．

【答案】B

【解析】设，则是奇函数，的最大值和最小值互为相反数，且的最大值为，最小值为，．故选：．

2．（2021·宁夏银川二十四中高三月考（理））若，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，则，所以，

则，所以.故选：B.

3．已知函数f（x）=In（x+）+1，若实数a满足f（-a）=2，则f（a）等于（　　）

A．1 B．0 C． D．

【答案】B

【解析】∵函数f（x）=In（x+）+1，
实数a满足f（-a）=2，
∴，∴，∴=-1+1=0．故选：B．

4．（2020·云南师大附中高三月考（理））已知函数，则（    ）

A．2019 B．2020 C．4038 D．4040

【答案】C

【解析】，

令，则，所以为奇函数，

所以关于坐标原点对称，则关于成中心对称，

则有，所以.

故选：C．

5．（2020·全国高三月考（理））已知函数，则（    ）

A．2 B．0 C． D．

【答案】D

【解析】设．则

所以，即为奇函数，所以，所以．故选：D．

1．（2019江苏省盐城市）函数的值域为______．

【答案】.

【解析】技巧法：t=x2,t则f(t)=,f(0)=2018,f()=3故答案为.

故答案为.

2．函数的值域是______．

【答案】

【解析】技巧法：

常规法：由题知,

因为,所以,

所以,则

因此,

故答案为:.

3．（2020黑龙江省哈尔滨师范大学附中）函数的值域为________.

【答案】

【解析】技巧法：令，则故，

常规法：令，则，故，

由于，∴，，

∴，即函数的值域为，故答案为：.

4．（2020·江西省信丰中学高三月考（文））已知函数，且，则函数的值是     

A． B． C． D．

【答案】6

【解析】技巧法：，令，得，解得，

常规法：，令，

其中，所以函数为奇函数，

即，

可得，令，得，解得

5．（2020·山西大同·高三月考（文））设函数的最大值为5，则的最小值为     

【答案】1

【解析】技巧法：f(x)max+f(X)min=6,则f(x)的最小值为1

常规法：由题可知，，

设，其定义域为，

又，

即，

由于

，

即，所以是奇函数，

而，由题可知，函数的最大值为5，

则函数的最大值为：5-3=2，

由于是奇函数，得的最小值为-2，所以的最小值为：-2+3=1..

6（2020·广东霞山·湛江二十一中高三月考）已知函数的最大值为M，最小值为m，则       

【答案】4

【解析】技巧法：f(x)max+f(X)min=4

常规法：设，因为，所以为奇函数，

则的最大值为，最小值为，

由奇函数对称性知，两者相加为0，即，∴.

7．（2019·杏花岭·山西实验中学高三月考）已知函数，其中为函数的导数，则        

【答案】2

【解析】

令，则有

因为的定义域是R，

所以是奇函数，所以是偶函数

所以，

所以

故选：A

8．（2019·山东任城·济宁一中高三月考）设函数，若，        .

【答案】-2

【解析】因为，所以，

因此函数为奇函数，又，所以.

9．（2019·湖南娄底·高三期末（文））已知函数，其导函数为，则的值为            .

【答案】4

【解析】函数，

，，

.

10．（2019秋•渝中区校级月考）已知，则在区间，上的最大值最小值之和为     .

【答案】2

【解析】技巧法：f(0)=1,则最大值和最小值的和为2

常规法：由令，

可得是奇函数，

可得区间，上的最大值最小值之和为0．

那么在区间，上的最大值为，最小值为；

在区间，上的最大值最小值之和为2．．

11（2020秋•广东月考）已知函数在，上的最大值为，最小值为，则      

【答案】2

【解析】技巧法：所给区间不管原点对称需要换元，令t=x-1,则t

f(t)=(t2-1)sint+,f(0)=1,则f(x)的最大和最小值为2k=2

常规法：由令，，上，可得，；

那么转化为

由于是奇函数可得，，的最大值与最小值之和为0，

那么的最大值与最小值之和为2．．

12．（2019秋•宁波期中）已知函数的最大值为，最小值为，则   

【答案】2

【解析】

，

令，则，即为奇函数，图象关于原点对称，

，

，，且，

，

则．

13．（2020·陕西西安·高三月考（理））已知：，：函数为奇函数，则是成立的（    ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】技巧法：根据常见函数可知

常规法：当时，，

即有，

故有即为奇函数：

当为奇函数时，有，

即，

有：

∴综上，知：

故选：C

14．（2019·河南周口·高三月考）设函数，则使得成立的的取值范围是              .

【答案】

【解析】，所以，为上的偶函数，

又，当时，，故在上为增函数.

因，由 得到，

故，或

15．（2020·福建厦门双十中学高三月考（文））已知函数是奇函数，则的值等于         .

【答案】或3

【解析】技巧法：可知

当时，函数的解析式为：，，

当时，函数的解析式为：，，

综上可得：的值等于或3.

常规法：函数为奇函数，则：，即：恒成立，

整理可得：，即恒成立，，

当时，函数的解析式为：，，

当时，函数的解析式为：，，

综上可得：的值等于或3.

16．若函数为奇函数,则=        .

【答案】

【解析】由函数f（x）为奇函可得，f（﹣x）=﹣f（x）∴=，

∴﹣5x（4x﹣3）（x+a）=﹣5x（4x+3）（x﹣a）∴（4a﹣3）x2=0∴4a﹣3=0即a=

17.若函数是奇函数，则     。

【答案】

【解析】技巧法:由常见函数可知a=0

常规法：由得，∴，∴.

18.已知函数为偶函数，则        。

【答案】

【解析】技巧法：由常见函数可知所以。

常规法：由题意，函数为偶函数，又由函数为奇函数，

所以函数为奇函数，则，得，

所以，得，

所以。