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新高考数学一轮复习讲与练第09讲 平面向量（练）（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学一轮复习讲与练第09讲 平面向量（练）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习讲与练第09讲平面向量练原卷版doc、新高考数学一轮复习讲与练第09讲平面向量练解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】利用平面向量数量积的运算律计算求值即可．
【详解】 SKIPIF 1 < 0
故选：C
2．若平面向量 SKIPIF 1 < 0 两两的夹角相等，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据题意, 由平面向量 SKIPIF 1 < 0 两两的夹角相等可得夹角为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 , 对夹角的取值分类讨论即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】由平面向量 SKIPIF 1 < 0 两两的夹角相等, 得夹角为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
当夹角为 SKIPIF 1 < 0 时,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
当夹角为 SKIPIF 1 < 0 时,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故选：A
3．已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由已知可得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用平面向量数量积的运算性质求出 SKIPIF 1 < 0 的值，结合平面向量夹角的取值范围可求得结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
4．在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 边上， SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据平面向量的加法法则和减法法则即可求解.
【详解】如图所示：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .故选：A
5．若非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，化简结合已知条件和夹角公式可求出结果.
【详解】设向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C
6．已知向量 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用向量相等列方程即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D
7．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据向量的运算公式及向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
8．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方结合数量积的性质可求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______．
【答案】2
【分析】由已知条件可得 SKIPIF 1 < 0 的值，再由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，通过计算即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：2.
10．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角；
(2)当k为何值时，向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直？
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故当 SKIPIF 1 < 0 时，向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直.
11．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
1．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据题意化简得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合向量的夹角公式和基本不等式，即可求解.
【详解】由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
2． SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由已知条件利用两个向量的数量积的运算法则求得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用余弦定可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用正弦定理统一成边的形式化简可得结果.
【详解】因为在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
3．在等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可.
【详解】因为在等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以可得： SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B.
4．在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边均不相等的三角形
【答案】A
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 推出 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 求得角 SKIPIF 1 < 0 ，则答案可求．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别表示 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 方向上的单位向量，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的角平分线上，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形．故选：A.
5．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．5B．10C．15D．20
【答案】A
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用坐标运算求得x，进而得到 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再利用数量积的坐标运算求解.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A
6．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为平面内任意三点，则“ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用利用数量积的运算性质及余弦定理，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角时， SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为钝角或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以“ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件，故选：B
7．已知任意平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 绕其起点沿逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 角得到向量 SKIPIF 1 < 0 ，叫做把点 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 沿逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 角得到点 SKIPIF 1 < 0 .已知平面内点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，把点 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 沿逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 得到点 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为___________.（用坐标作答）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设点 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用投影向量的公式求解.
【详解】解：设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意若将 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
而由A、B两点坐标可知 SKIPIF 1 < 0 ，
故： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
8．已知 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的点，F是抛物线C的焦点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】2023
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用抛物线的定义求解.
【详解】解:设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的点，F是抛物线C的焦点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
又由抛物线的定义，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：2023
9．已知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 内一点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的________心．
【答案】重
【分析】如图，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，利用向量的加减法运算得到 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，进一步得到 SKIPIF 1 < 0 三点共线，且 SKIPIF 1 < 0 ，结合重心的性质可判断 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心．
【详解】
如图，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 ．得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有公共点 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 三点共线，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因此可得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心．
故答案为：重.
10．如图，在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E为边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.125
【分析】将 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 利用线性运算表示成 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，运用数量积运算即可得到答案
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0
三、解答题
11．如图所示，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别表示 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0
代入 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
12．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
设向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
1．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．5D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：C
2．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】先求得 SKIPIF 1 < 0 ，然后求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
3．（2022年北京市高考数学试题）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．P为 SKIPIF 1 < 0 所在平面内的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，表示出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上运动，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；故选：D
4．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0
∴9 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 故选：C.
5．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知O为坐标原点，过抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 及抛物线方程求得 SKIPIF 1 < 0 ，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，联立抛物线求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 判断B选项；由抛物线的定义求出 SKIPIF 1 < 0 即可判断C选项；由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为钝角即可判断D选项.
【详解】
对于A，易得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上，则 SKIPIF 1 < 0 点横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入抛物线可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B，由斜率为 SKIPIF 1 < 0 可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立抛物线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：ACD.
6．（2022年高考天津卷（回忆版）数学真题）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D是AC中点， SKIPIF 1 < 0 ，试用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 为___________，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为____________
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为基底，表示出 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点 SKIPIF 1 < 0 为原点建立平面直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即可根据几何性质可知，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切时， SKIPIF 1 < 0 最大，即求出．
【详解】方法一：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
方法二：如图所示，建立坐标系：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切时， SKIPIF 1 < 0 最大，此时 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2021年天津高考数学试题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， SKIPIF 1 < 0 且交AB于点E． SKIPIF 1 < 0 且交AC于点F,则 SKIPIF 1 < 0 的值为____________； SKIPIF 1 < 0 的最小值为____________．
【答案】 1 SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可求出；将 SKIPIF 1 < 0 化为关于 SKIPIF 1 < 0 的关系式即可求出最值.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为边长为1的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：1； SKIPIF 1 < 0 .
四、填空题
8．（2022年浙江省高考数学试题）设点P在单位圆的内接正八边形 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设 SKIPIF 1 < 0 ，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用 SKIPIF 1 < 0 即可解出．
【详解】以圆心为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系，如图所示：
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ,于是 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】利用平面向量数量积的运算律计算求值即可．
【详解】 SKIPIF 1 < 0
故选：C
2．若平面向量 SKIPIF 1 < 0 两两的夹角相等，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据题意, 由平面向量 SKIPIF 1 < 0 两两的夹角相等可得夹角为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 , 对夹角的取值分类讨论即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】由平面向量 SKIPIF 1 < 0 两两的夹角相等, 得夹角为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
当夹角为 SKIPIF 1 < 0 时,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
当夹角为 SKIPIF 1 < 0 时,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故选：A
3．已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由已知可得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用平面向量数量积的运算性质求出 SKIPIF 1 < 0 的值，结合平面向量夹角的取值范围可求得结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
4．在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 边上， SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据平面向量的加法法则和减法法则即可求解.
【详解】如图所示：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .故选：A
5．若非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，化简结合已知条件和夹角公式可求出结果.
【详解】设向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C
6．已知向量 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用向量相等列方程即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D
7．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据向量的运算公式及向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
8．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方结合数量积的性质可求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______．
【答案】2
【分析】由已知条件可得 SKIPIF 1 < 0 的值，再由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，通过计算即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：2.
10．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角；
(2)当k为何值时，向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直？
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故当 SKIPIF 1 < 0 时，向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直.
11．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
1．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据题意化简得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合向量的夹角公式和基本不等式，即可求解.
【详解】由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
2． SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由已知条件利用两个向量的数量积的运算法则求得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用余弦定可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用正弦定理统一成边的形式化简可得结果.
【详解】因为在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
3．在等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可.
【详解】因为在等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以可得： SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B.
4．在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边均不相等的三角形
【答案】A
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 推出 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 求得角 SKIPIF 1 < 0 ，则答案可求．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别表示 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 方向上的单位向量，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的角平分线上，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形．故选：A.
5．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．5B．10C．15D．20
【答案】A
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用坐标运算求得x，进而得到 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再利用数量积的坐标运算求解.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A
6．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为平面内任意三点，则“ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用利用数量积的运算性质及余弦定理，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角时， SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为钝角或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以“ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件，故选：B
7．已知任意平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 绕其起点沿逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 角得到向量 SKIPIF 1 < 0 ，叫做把点 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 沿逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 角得到点 SKIPIF 1 < 0 .已知平面内点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，把点 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 沿逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 得到点 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为___________.（用坐标作答）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设点 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用投影向量的公式求解.
【详解】解：设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意若将 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
而由A、B两点坐标可知 SKIPIF 1 < 0 ，
故： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
8．已知 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的点，F是抛物线C的焦点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】2023
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用抛物线的定义求解.
【详解】解:设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的点，F是抛物线C的焦点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
又由抛物线的定义，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：2023
9．已知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 内一点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的________心．
【答案】重
【分析】如图，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，利用向量的加减法运算得到 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，进一步得到 SKIPIF 1 < 0 三点共线，且 SKIPIF 1 < 0 ，结合重心的性质可判断 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心．
【详解】
如图，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 ．得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有公共点 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 三点共线，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因此可得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心．
故答案为：重.
10．如图，在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E为边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.125
【分析】将 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 利用线性运算表示成 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，运用数量积运算即可得到答案
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0
三、解答题
11．如图所示，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别表示 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0
代入 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
12．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
设向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
1．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．5D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：C
2．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】先求得 SKIPIF 1 < 0 ，然后求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
3．（2022年北京市高考数学试题）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．P为 SKIPIF 1 < 0 所在平面内的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，表示出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上运动，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；故选：D
4．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0
∴9 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 故选：C.
5．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知O为坐标原点，过抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 及抛物线方程求得 SKIPIF 1 < 0 ，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，联立抛物线求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 判断B选项；由抛物线的定义求出 SKIPIF 1 < 0 即可判断C选项；由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为钝角即可判断D选项.
【详解】
对于A，易得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上，则 SKIPIF 1 < 0 点横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入抛物线可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B，由斜率为 SKIPIF 1 < 0 可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立抛物线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：ACD.
6．（2022年高考天津卷（回忆版）数学真题）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D是AC中点， SKIPIF 1 < 0 ，试用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 为___________，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为____________
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为基底，表示出 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点 SKIPIF 1 < 0 为原点建立平面直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即可根据几何性质可知，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切时， SKIPIF 1 < 0 最大，即求出．
【详解】方法一：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
方法二：如图所示，建立坐标系：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切时， SKIPIF 1 < 0 最大，此时 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2021年天津高考数学试题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， SKIPIF 1 < 0 且交AB于点E． SKIPIF 1 < 0 且交AC于点F,则 SKIPIF 1 < 0 的值为____________； SKIPIF 1 < 0 的最小值为____________．
【答案】 1 SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可求出；将 SKIPIF 1 < 0 化为关于 SKIPIF 1 < 0 的关系式即可求出最值.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为边长为1的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：1； SKIPIF 1 < 0 .
四、填空题
8．（2022年浙江省高考数学试题）设点P在单位圆的内接正八边形 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设 SKIPIF 1 < 0 ，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用 SKIPIF 1 < 0 即可解出．
【详解】以圆心为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系，如图所示：
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ,于是 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
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