第4讲 数列（原卷版）+解析版

第4讲  数 列

一．等比数列前n项和规律

二．单一条件口算结果-----实质考查等比或等差中项

1.无论是等差还是等比数列，如果只知道一个条件是取法确定具体的数列，那么可以处理为非0的常数数列，因为非0的常数数列即是等差也是等比数列。（常数数列：每一项都是相同的）

三．公式法口算通项----an=Sn-Sn-1(n

四．口算错位相减法的结果

五．斐波那数列---黄金分割数列---

4. 数列特点：0 1 1 2 3 5 8 13 21 34...

三个数据为一组，第一数据为偶数，第二、三个数据为奇数

技巧1  等比数列前n项和规律

【例1】（2020·福建省厦门第六中学）已知等比数列的前项和（为常数），则（    ）

A． B． C．1 D．2

【举一反三】

1．（2020·安徽含山（理））已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+2+3t，则t＝（    ）

A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣9

2．（2020·安徽屯溪一中）已知等比数列的前项和为，则的值为(    )

A． B． C． D．

技巧2  单一条件口算结果

【例2-1】（1）（2020·宁夏高三其他（文））为等差数列的前项和，若，则（    ）.

A．-1 B．0 C．1 D．2

（2）（2020·山西省长治市第二中学校高三月考（理））已知各项为正数的等比数列满足﹐则的值为（    ）

A． B． C． D．

【例2-2】（2020·河南）已知等差数列，的前项和分别为和，且，则（    ）

A． B． C． D．

【举一反三】

1．设是等差数列的前项和,若,则

A． B． C． D．

2．（2020·广东云浮·）在正项等比数列中，若，则（    ）．

A．5 B．6 C．10 D．11

3．（2020·浙江宁波）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则的值是（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·全国高三其他（理））已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，，则（    ）

A． B． C． D．2

技巧3  公式法口算通项

【例3】（2020·南京市秦淮中学高三其他）已知数列的前项和，则数列的通项公式为______．

【举一反三】

1．（2020·湖南湘潭·高考模拟（文））已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为___．

2．（2020·山西大同·高三一模（文））已知为数列的前项和，若，则数列的通项公式为___________.

技巧4 错位相减法口算结果

【例4】（2020·江西东湖·南昌二中高三其他（文））已知数列的前项和为，点，在函数的图象上，数列满足，

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【举一反三】

1．（2020·河南高三其他（文））已知数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）如果数列，求数列的前项和．

2．（2019·甘肃天水·高考模拟（文））在正项等比数列{}中，且成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列{}满足，求数列{}的前项和．

技巧5 斐波那数列

【例5】（2020·吉林前郭尔罗斯县第五中学）“斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的．数列中的一系列数字常被人们称为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，…，即从该数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若，则（    ）

A． B． C． D．

【举一反三】

1．（2020·河北高三月考）数列、、、、、、、、、称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前项中，偶数的个数为（    ）

A． B． C． D．

2．（2019·福建高三（理））斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”.如图，矩形是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分.在矩形内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（    ）

A． B． C． D．

1．（2020·湖北黄州·黄冈中学高三其他（理））已知数列为等差数列，为其前 项和，，则（   ）

A． B． C． D．

2．（2020·甘肃高三其他（文））已知等比数列的前项和为，则a=（    ）

A．0 B． C． D．1

3．（2020·辽源市田家炳高级中学校高二期末（理））斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，画出来的螺旋曲线.如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为的扇形，将其圆弧连接起来得到的.若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·安徽高三月考（理））裴波那契数列（Fibonacci sequence ）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列满足：，，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是（    ）

A． B． C． D．

5．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三（文））意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：，，，，，，，，，，，……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，.若从该数列的前项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．（2020·江西高三（文））意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，.若从该数列的前120项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．（2020·嘉祥县第一中学高三其他）设数列，均为等差数列，它们的前项和分别为，，若，则（    ）

A． B． C． D．

8．（2020·合肥一六八中学高三其他（理））已知数列为等差数列，且满足，则数列的前11项和为（    ）

A．40 B．45 C．50 D．55

9．（2019·河南高二月考）两等差数列，的前n项和分别为，，且，则　　

A． B． C． D．2

10．(多选）（2020·福建省永泰县第一中学高三月考）斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为，则的通项公式为（    ）

A．

B．且

C．

D．

12．（2020·福建漳州·高三其他（文））若是等差数列的前项和，且，则__________.

13．（2020·陕西渭南·（理））已知数列{an}的前n项和Sn=n(n+1)+2,其中,则an=_____.

14．（2020·湖北高三月考（理））设为数列的前项和，若，则____

15．（2020·浙江高三其他）已知数列的前n项和，则____________；数列的通项公式为____________．

16．（2020·浙江高三月考）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，，记其前项和为，设(为常数)，则______；______.

17．（2020·陕西西安中学）斐波那契数列(Fibonaccisequence)，又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契(LeonardodaFibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……在数学上，斐波那契数列以如下递推的方法定义：a1=1，a2=1，(n≥3，n∈N*)，记其前n项和为Sn，设a2019=t(t为常数)，则________(用t表示)，________(用常数表示).

18．（2020·全国高三其他（理））已知数列的前项和为，且．

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

19．（2020·河南高二其他（文））设等差数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足， 求数列的前项和.