北师大版八年级下册4 多边形的内角与外角和教学设计及反思

4　多边形的内角和与外角和

第1课时　多边形的内角和

教学目标

一、基本目标

1．理解并掌握多边形的内角和定理，且能够证明它．

2．能够应用多边形的内角和定理解决有关的问题．

3．经历多边形的内角和定理的探究过程，进一步体会转化的数学思想．

二、重难点目标

【教学重点】

应用多边形内角和解决有关的问题．

【教学难点】

多边形内角和定理的推导．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P153～P154的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n－2)·180°.

2．在平面内，每个内角都相等，每条边也都相等的多边形叫做正多边形．正n边形的内角是.

3．如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．

4．若一个多边形增加一条边，那么它的内角和增加180°.

5．一个多边形的内角和为1440°，则它是十边形．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的边数是________．

【互动探索】(引发学生思考)n边形的内角和是(n－2)·180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．

【分析】根据n边形的内角和公式，得(n－2)·180＝1080，解得n＝8.∴这个多边形的边数是8.

【答案】8

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．

【例2】如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数．

【互动探索】(引发学生思考)作辅助线构造五边形，把所求的七个角的和转移到五边形中去．

【解答】如图．∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，

∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝(5－2)×180°＝540°.

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了灵活运用五边形的内角和定理．根据图形特点，将不规则图形的角转化到规则图形中，体现了转化思想．

活动2　 巩固练习(学生独学)

1．一个多边形的内角和为540°，则它是(　B　)

A．四边形　 B．五边形

C．六边形　 D．七边形

2．一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为(　D　)

A．1620°　 B．1800°

C．1980°　 D．以上答案都有可能

3．多边形每一个内角都等于150°，则该多边形的边数是(　C　)

A．10　 B．11　　

C．12　 D．13

4．m边形与n边形内角和的差为720°，则m与n的差为(　C　)

A．2　 B．3　　

C．4　 D．5

5．已知甲多边形的内角和是乙多边形内角和的2倍，而从甲多边形一个顶点出发所引对角线的条数与从乙多边形一个顶点出发所引对角线的条数的比是7∶3，那么甲是十边形，乙是六边形．

活动3　 拓展延伸(学生对学)

【例3】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？

【互动探索】由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这个多边形的内角和，确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数．

【解答】设此多边形的内角和为x，则有

1125°＜x＜1125°＋180°，

即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°.

∵x为多边形的内角和，∴x＝180°×7＝1260°.

∴7＋2＝9,1260°－1125°＝135°.

∴少算的这个内角是135°，这个多边形是九边形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的内角和．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n－2)·180°.

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时 多边形的外角和

教学目标

一、基本目标

1．理解并掌握多边形的外角和定理，且能够证明它．

2．能够综合应用多边形的内角和、外角和定理解决有关的问题．

3．经历多边形的外角和定理的探究过程，进一步体会转化的数学思想．

二、重难点目标

【教学重点】

应用多边形外角和定理解决有关的问题．

【教学难点】

多边形外角和定理的推导．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P155～P156的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．

2．多边形外角和定理：多边形的外角和都等于360°.

3．正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正十边形．

4．一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是三角形．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角都等于它的相邻内角的，求这个多边形的边数及内角和．

【互动探索】(引发学生思考)如何用字母表示出这个多边形的内角与外角的度数？

【解答】设这个多边形的边数为n.

则＝×4，解得n＝10.

内角和：(n－2)·180°＝1440°.

即这个多边形的边数为10，内角和为1440°.

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题也可由每个内角与相邻的外角互补，求出每个内角的度数，继而求出内角和，再由多边形的内角和定理求出边数．

活动2　 巩固练习(学生独学)

1．在一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角(　C　)

A．1个　 B．2个　　

C．3个　 D．4个

2．如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是(　D　)

A．六边形　 B．五边形　　

C．四边形　 D．三角形

3．各内角都相等的多边形，它的一个内角与一个外角的比是3∶2，则它是(　B　)

A．四边形　 B．五边形　　

C．六边形　 D．八边形

4．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝300°.

5．一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角大36°，求这个正多边形的边数．

解：设外角为x°，则内角为x°＋36°，x＋36＋x＝180，所以x＝72,360°÷72°＝5.即这个正多边形的边数为5.

活动3　 拓展延伸(学生对学)

【例2】如图所示，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转40°，再沿直线前进10米后，又向左转40°……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了______米．

【互动探索】由题意知，如果小明能走回A点，那么他走过的路线即可构成一个边长为10米，每个外角都是40°的正多边形．因为360°÷40°＝9，所以他走过的路线可以构成一个边长为10的正九边形，所以他回到A点所走的路程为10×9＝90(米)．

【答案】90

【互动总结】(学生总结，老师点评)从“转弯”的实际问题中抽象出正多边形的数学问题是解题的关键，然后利用多边形外角和定理进行解答．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

多边形外角和定理：多边形的外角和都等于360°.

练习设计

请完成本课时对应练习！