初中数学第一章 三角形的证明4 角平分线教学设计

4　角平分线

第1课时　角平分线

教学目标

一、基本目标

1．掌握角平分线的性质定理及其逆定理．

2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步提高学生的推理证明意识和能力．

二、重难点目标

【教学重点】

角平分线的性质定理及其逆定理．

【教学难点】

掌握角平分线的性质定理及其逆定理并进行证明．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P28～P29的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

2．角平分线定理的逆定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．

3．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是(　C　)

A．OE是∠AOB的平分线

B．OC＝OD

C．点C、D到OE的距离不相等

D．∠AOE＝∠BOE

4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC的距离为2 cm.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　)

A．6　 B．5　　

C．4　 D．3

【互动探索】(引发学生思考)角平分线上的点有什么特征？怎样将求AC的长转化为与△ABC的面积有关的式子？

【分析】如图，过点D作DF⊥AC于点F.∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝×4×2＋×AC×2＝7，解得AC＝3.

【答案】D

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．

【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF.求证：

(1)CF＝EB；

(2)AB＝AF＋2EB.

【互动探索】(引发学生思考)(1)已知AD是∠BAC的平分线，结合图形，考虑证Rt△DCF≌Rt△DEB，从而得到CF＝EB；(2)怎样证明不在同一直线上的线段和(差)关系？(转化法)→怎样将AB转化为与AF、EB有关？(利用全等证相关线段相等)

【证明】(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵ ∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)，∴CF＝EB.

(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在Rt△ADC和Rt△ADE中，∵ ∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.

【互动总结】(学生总结，老师点评)角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝16，BD＝10，则点D到AB的距离是(　D　)

A．9　 B．8　　

C．7　 D．6

2．如图所示，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于(　C　)

A．10　 B．7　　

C．5　 D．4

3．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝40，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，且DC∶DB＝3∶5，则点D到AB的距离是15.

4．如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．

证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴△BDE与△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵ ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线．

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线．

【互动探索】分别过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，DG⊥AC，垂足分别为E、F、G，然后根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可知DE＝DG，从而根据“到角两边距离相等的点在角平分线上”证得结论．

【证明】如题图，分别过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，DG⊥AC，垂足分别为E、F、G.∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线．

【互动总结】(学生总结，老师点评)遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

角平分线

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时　三角形三条内角的平分线

教学目标

一、基本目标

1．在角平分线的基础上归纳出三角形三条内角的平分线的相关性质．

2．能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题．

3．提高学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力．

二、重难点目标

【教学重点】

在角平分线的基础上归纳出三角形三条内角的平分线的相关性质．

【教学难点】

能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P30～P31的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．通过阅读理解教材P30例2得出：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．

2．如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，则PC与PD的大小关系是(　B　)

A．PC>PD　 B．PC＝PD

C．PC<PD　 D．不能确定

3．如图，a、b、c三条公路的位置成三角形，现决定在三条公路之间修建一个购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在(　D　)

A．在a、b两边高线的交点处

B．在b、c两边中线的交点处

C．在a、b两边中垂线的交点处

D．在∠1、∠2两内角平分线的交点处

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例题】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：

(1)可选择的地点有几处？

(2)你能画出塔台的位置吗？

【互动探索】(引发学生思考)到两条相交直线的距离相等的点怎样确定？(角平分线的点到角两边的距离相等)→三条直线呢？(角平分线的点到角两边的距离相等)

【解答】(1)如图，P1、P2、P3、P4为可选择的地点，共4处．

(2)能．如上图，根据角平分线性质作三直线相交的角平分线，平分线的交点就是所求的点．

【互动总结】(学生总结，老师点评)三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线或两外角平分线的交点，这一结论在以后的学习中会经常用到．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为40,50,60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(　D　)

A．1∶2∶3　 B．2∶3∶4　　

C．3∶4∶5　 D．4∶5∶6

2．在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝70°，则∠BOC的度数为(　B　)

A．110°　 B．125°　　

C．130°　 D．140°

3．如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D.若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是3.

4．如图所示，P是AD上一点，在△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．

解：AD平分∠BAC.理由如下：∵点D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上，∴∠1＝∠2.∵PE∥AB，∴∠1＝∠3.同理，∠2＝∠4，∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC.

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应练习！