高中数学人教A版选修4-5高考难度模拟卷
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数学选修4-5
题 目
第一题
第二题
第三题
总 分
得 分
阅卷人
第Ⅰ卷
一、单项选择题:(共31题,每小题5分,共155分)
1、下列各式中,最小值等于的是( )
A B C D
答案:D
2、若且满足,则的最小值是( )
A B C D
答案:D
3、设, ,则的大小关系是( )
A B C D
答案:B ,即
4、若,且恒成立,则的最小值是( )
A B C D
答案:B ,
,而,
即恒成立,得
5、函数的最小值为( )
A B C D
答案:A
6、不等式的解集为( )
A B
C D
答案:D ,得
7、设,且恒成立,则的最大值是( )
A B C D
答案:C
,而恒成立,得
8、若,则函数有( )
A 最小值 B 最大值
C 最大值 D 最小值
答案: C
9、设,,,则的大小顺序是( )
A B C D
答案:B ,即;
又,即,所以
10、设不等的两个正数满足,则的取值范围是( )
A B C D
答案:B ,而
所以,得
11、设,且,若,则必有( )
A B C D
答案:D
12、若,且, ,则与的大小关系是
A B C D
答案:A
,即
13、 若,则的最小值是( )
A B C D
答案:A 由得,
而
14、,设,
则下列判断中正确的是( )
A B C D
答案: B
即,,,,
得,
即,得,所以
15、若,则函数的最小值为( )
A B C D 非上述情况
答案:B
16、设,且,, , ,,则它们的大小关系是( )
A B
C D
答案:A 为平方平均数,它最大
17、已知集合,则( )
A. B. C. D.
答案:C
18、欲证,只需证( )
A. B.
C. D.
答案:A
19、设,,,,则A.B的大小关系是( )
A. B. C. D.不能确定
答案:B
20、若,则的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案:C
21、如果命题对成立,则它对也成立,又命题对成立,则下列结论正确的是( )
A.命题对所有正整数n成立 B.命题对所有大于2的正整数n成立
C.命题对所有奇正整数n成立 D.命题对所有偶正整数n成立
答案:D
22、已知,用反证法证明不能都大于时,反设正确的是( )
A.都大于 , B.都小于
C.都大于或等于 D.都小于或等于
答案:A
23、已知都是实数,那么“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:D
24、已知不等式对任意正实数,恒成立,则实数的最大值为( )
A.2 B.4 C. D.16
答案:B
25、已知,且,则( )
A. B. C. D.
答案:B
26、已知,满足,则( )
A. B. C. D.
答案:C
27、若,则的最小值是( )
A B C D
答案:A 由得,
而
28、,设,则下列判断中正确的是( )
A B C D
答案:B
即,,,,
得,
即,得,所以
29、若,则函数的最小值为( )
A B C D 非上述情况
答案:B
30、设,且,, , ,,则它们的大小关系是( )
A B
C D
答案:A 为平方平均数,它最大
31、对于不等式,某学生的证明过程如下:
(1), 不等式成立。
(2)假设时不等式成立,即不等式成立。
由上述(1).(2)得原不等式成立( )
A. 过程全部正确 B. n=1时验证不正确
C. 归纳假设不正确 D. 从n=k到n=k+1的推理不正确
答案:D
二、填空题:(共28题,每小题5分,共140分)
1、 若,则的最小值是_____________
答案:
2、若,则, , , 按由小到大的顺序排列为
答案: 由糖水浓度不等式知,
且,得,即
3、已知,且,则的最大值等于_____________
答案:
4、设,则与的大小关系是_____________
答案:
5、函数的最小值为_____________
答案:
6、设,则函数的最大值是__________
答案: ,即
7、比较大小:
答案: 设,则,得
即,显然,则
8、若实数满足,则的最小值为
答案:
即,
9、若是正数,且满足,用表示
中的最大者,则的最小值为__________
答案:
,即
10、若,且,则
答案:
而
即,而均不小于
得,
此时,或,或,
得,或,或
11、函数的值域是
答案: ,得
12、若,且,则的最大值是
答案:
13、已知,比较与的大小关系为
答案: 构造单调函数,则,
,即,恒成立,
所以,即
14、若,则的最大值为
答案: 设,则,即
再令,
即时,是的减函数,得时,
15、 若是正数,且满足,则的最小值为______
答案:
16、不等式的解集是: ;
答案:
17、函数的最大值为: ;
答案:3
18、用数学归纳法证明时,从“”到“”,左边需添加的代数式为: ;
答案:
19、经计算发现下列不等式正确:,,
,……,根据以上不等式的规律,请你写出一个类似的不等式: ;
答案:(答案不唯一)
20、有4人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s,4s,3s,7s,每个人接完水后就离开,则他们总的等候时间最短为: ;
答案:41
21、若由不等式,,……,可以推广到,则实数的值为: ;
答案:
22、生物实验课上,在还原性糖的鉴定实验中需要用天平称出20g氢氧化钠粉末, 某同学发现自己所用的天平是不准的(其两臂不等长),因此,他采用了下列操作方法:
第一步:选10g的法码放入左盘, 把氢氧化钠粉末放到右盘使之平衡,取出氢氧化钠粉末,
第二步:将10g法码放于右盘, 把氢氧化钠粉末放到左盘, 平衡后再取出。
他这样称两次得到的氢氧化钠粉末之和应该 20g。(填“大于”,“小于”,“等于”)
答案:大于
23、函数的值域是
答案: ,得
24、若,且,则的最大值是
答案:
25、已知,比较与的大小关系为
答案: 构造单调函数,则,
,即,恒成立,
所以,即
26、若,则的最大值为
答案: 设,则,即
再令,
即时,是的减函数,得时,
27、若是正数,且满足,则的最小值为______
答案:
28、用数学归纳法证明不等式成立起始值至少应取为________.
答案:8
三、解答题:(共34题,每小题12分,共408分)
1、已知,求证:
答案:证明:
另法一:
另法二:
即,
2、解不等式
答案:解:原不等式化为
当时,原不等式为
得,即;
当时,原不等式为
得,即;
当时,原不等式为
得,与矛盾;
所以解为
3、 求证:
答案:证明:
4、 证明:
答案:证明:
5、如果关于的不等式的解集不是空集,求参数的取值范围
答案:解:
当时,解集显然为,所以
6、求证:
答案:证明:
即
7、当时,求证:
答案:证明:
(本题也可以用数学归纳法)
8、已知实数满足,且有
求证:
答案:证明:
是方程的两个不等实根,
则,得
而
即,得
所以,即
9、设,且,求证:
答案:证明:
,
10、已知,求证:
答案:证明:
11、已知,比较与的大小
答案:解:取两组数:与,显然是同序和,
是乱序和,所以
12、求函数的最大值
答案:解:函数的定义域为,且
13、已知,且
求证:
答案:证明:显然
是方程的两个实根,
由得,同理可得,
14、已知,求证:.
答案:已知,求证:
方法一:作差比较:
方法二:排序不等式:不妨设,
根据排序不等式:
15、解不等式:
答案:解:方法一:零点分段讨论:
方法二:数形结合法:
16、①、已知:,,证明;
②、已知:,,证明;
并类比上面的结论,写出推广后的一般性结论(不需证明)。
答案:解:①、根据柯西不等式:
,,
②、根据柯西不等式:
,,
可以推广:,则:;
17、已知数列的前n项和为
(1)求;(2)猜想数列的通项公式并证明你的结论。
答案:解: (1)由,得 ∴
又,即,得 .
又,即,得 .
(2) 猜想数列的通项公式:
证法一:数学归纳法:当n=k+1时,
,命题成立。
证法二:当n>1时,
得所以是首项为,公比为的等比数列. 所以,
18、观察下列式子:
,
,
,
……
由此猜想一个一般性的结论,并证明你的结论。
(可供参考:)
答案:解:一般性结论:
证法一:
证法二:数学归纳法:当n=k+1时,
当n=k+1时,成立。
19、设不等式组所表示的平面区域为,记内的整点个数为,(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点).
(1)求、;
(2)猜想的通项公式(不需证明);
(3)记;,
若求的值.
答案:
(2)
(3) n=2008
20、设,且,求证:
答案:证明:
,
21、已知,求证:
答案:证明:
22、已知,比较与的大小
答案:解:取两组数:与,显然是同序和,
是乱序和,所以
23、求函数的最大值
答案:解:函数的定义域为,且
24、已知,且
求证:
答案:证明:显然
是方程的两个实根,
由得,同理可得,
25、已知
求证:
答案:
26、已知
答案:左:
=16
27、设
求证:
答案:证:
=
=
=
28、
答案:证:(
29、求证:
(1) ;
(2)
答案:证明:(1) 同除以abc
(2) 由(1) ,于是由顺序和乱序和得
30、求证:
答案:证明:由所证不等式的对称性,不妨设
于是
由顺序和乱序和得
将上面两个同向不等式相加,再除以2,得
31、已知数列中,,.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)若数列中,,,证明:,.
答案:解:(Ⅰ)由题设:
,
.
所以,数列是首项为,公比为的等比数列,
,
即的通项公式为,.
(Ⅱ)用数学归纳法证明.
(ⅰ)当时,因,,所以,结论成立.
(ⅱ)假设当时,结论成立,即,也即.
当时,
,
又,
所以
.
也就是说,当时,结论成立.
根据(ⅰ)和(ⅱ)知,.
32、已知m,n为正整数.
(Ⅰ)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;
(Ⅱ)对于n≥6,已知,求证,m=1,1,2…,n;
(Ⅲ)求出满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.
答案:解法l: (Ⅰ)证;用数学归纳法证明:
(i)当时,原不等式成立,当时,左边=,右边=,因为, 所以左边右边.原不等式成立.
(ii)俏设当时,不等式成立.即,则当时,∵x>-1,∴.于是在不等式两边同时乘以,得
所以.即当时,不等式也成立.
综合(i), (ii)知,对一切正整数,不等式都成立.
(Ⅱ)证:当时,由(Ⅰ)得,
,.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,
,
∴,即
,
即当时.不存在满足该等式的正整数.
故只需要讨论,=1,2,3,4,5的情形:
当=1时,3≠4等式不成立.
当=2 时,,等式成立:
当=3 时,,等式成立.
当=4时, 为偶数.而为奇数.
故=5时,同=4的情形可分析出,等式不成立.
综上,所求的只有=2,3.
解法 2 :(Ⅰ)证:当x=0或 m=1 时.原不等式中等号显然成立.下用数学归纳法证明:当x>-1,且x ≠0时, , ①
(i)当时,左边=,右边=,因为,所以, 即左边>右边,不等式①成立.
(ii)假设时, 不等式①成立,即,则当时, ∵x>-1,∴.又因为x ≠0时, ,所以.
于是在不等式两边同时乘以,得
所以.即当时,不等式①也成立.
综上所述,所证不等式成立.
(Ⅱ)证:当时,∵,∴,
而由(Ⅰ)得,
.
(Ⅲ)解,假设存在正整数使等式成立,即有. ②
又由(Ⅱ)可得
,与②式矛盾,
故当时.不存在满足该等式的正整数n. 下 同解法1 .
33、已知函数且存在使
(I)证明:是R上的单调增函数;
设其中
(II)证明:
(III)证明:
答案:解: (I)∵f '(x)=3x2-2x+ = 3(x-)2+ >0 , ∴f(x)是R上的单调增函数.
(II)∵0
(1)当n=1时,上面已证明成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时有xk
=[(yn+xn)-]2+ . 由(Ⅱ)知 0
34、设求的最大值.
答案:
当且仅当 且
F有最小值
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