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    高中数学人教A版选修4-5高考难度模拟卷

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    这是一份高中数学人教A版选修4-5高考难度模拟卷,共15页。试卷主要包含了单项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    年级: 班级: 姓名: 考号:

    装 订 线
    数学选修4-5

    题 目
    第一题
    第二题
    第三题
    总 分
    得 分




    阅卷人





    第Ⅰ卷

    一、单项选择题:(共31题,每小题5分,共155分)
    1、下列各式中,最小值等于的是( )
    A B C D
    答案:D


    2、若且满足,则的最小值是( )
    A B C D
    答案:D

    3、设, ,则的大小关系是( )
    A B C D
    答案:B ,即

    4、若,且恒成立,则的最小值是( )
    A B C D
    答案:B ,
    ,而,
    即恒成立,得

    5、函数的最小值为( )
    A B C D
    答案:A

    6、不等式的解集为( )
    A B
    C D
    答案:D ,得


    7、设,且恒成立,则的最大值是( )
    A B C D
    答案:C
    ,而恒成立,得

    8、若,则函数有( )
    A 最小值 B 最大值
    C 最大值 D 最小值
    答案: C

    9、设,,,则的大小顺序是( )
    A B C D
    答案:B ,即;
    又,即,所以

    10、设不等的两个正数满足,则的取值范围是( )
    A B C D
    答案:B ,而
    所以,得

    11、设,且,若,则必有( )
    A B C D
    答案:D


    12、若,且, ,则与的大小关系是
    A B C D
    答案:A
    ,即

    13、 若,则的最小值是( )
    A B C D
    答案:A 由得,


    14、,设,
    则下列判断中正确的是( )
    A B C D
    答案: B

    即,,,,
    得,
    即,得,所以

    15、若,则函数的最小值为( )
    A B C D 非上述情况
    答案:B

    16、设,且,, , ,,则它们的大小关系是( )
    A B
    C D
    答案:A 为平方平均数,它最大

    17、已知集合,则( )
    A. B. C. D.

    答案:C

    18、欲证,只需证( )
    A. B.
    C. D.
    答案:A

    19、设,,,,则A.B的大小关系是( )
    A. B. C. D.不能确定
    答案:B

    20、若,则的最小值为( )
    A.2 B.4 C.6 D.8

    答案:C

    21、如果命题对成立,则它对也成立,又命题对成立,则下列结论正确的是( )
    A.命题对所有正整数n成立 B.命题对所有大于2的正整数n成立
    C.命题对所有奇正整数n成立 D.命题对所有偶正整数n成立
    答案:D

    22、已知,用反证法证明不能都大于时,反设正确的是( )
    A.都大于 , B.都小于
    C.都大于或等于 D.都小于或等于

    答案:A

    23、已知都是实数,那么“”是“”的( )
    A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
    C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件
    答案:D

    24、已知不等式对任意正实数,恒成立,则实数的最大值为( )
    A.2 B.4 C. D.16

    答案:B

    25、已知,且,则( )
    A. B. C. D.

    答案:B

    26、已知,满足,则( )
    A. B. C. D.

    答案:C

    27、若,则的最小值是( )
    A B C D

    答案:A 由得,


    28、,设,则下列判断中正确的是( )
    A B C D
    答案:B

    即,,,,
    得,
    即,得,所以


    29、若,则函数的最小值为( )
    A B C D 非上述情况

    答案:B

    30、设,且,, , ,,则它们的大小关系是( )
    A B
    C D
    答案:A 为平方平均数,它最大

    31、对于不等式,某学生的证明过程如下:
    (1), 不等式成立。
    (2)假设时不等式成立,即不等式成立。
    由上述(1).(2)得原不等式成立( )
    A. 过程全部正确 B. n=1时验证不正确
    C. 归纳假设不正确 D. 从n=k到n=k+1的推理不正确
    答案:D

    二、填空题:(共28题,每小题5分,共140分)
    1、 若,则的最小值是_____________
    答案:

    2、若,则, , , 按由小到大的顺序排列为
    答案: 由糖水浓度不等式知,
    且,得,即

    3、已知,且,则的最大值等于_____________
    答案:

    4、设,则与的大小关系是_____________
    答案:

    5、函数的最小值为_____________
    答案:

    6、设,则函数的最大值是__________
    答案: ,即

    7、比较大小:
    答案: 设,则,得
    即,显然,则

    8、若实数满足,则的最小值为
    答案:
    即,

    9、若是正数,且满足,用表示
    中的最大者,则的最小值为__________
    答案:
    ,即

    10、若,且,则
    答案:


    即,而均不小于
    得,
    此时,或,或,
    得,或,或


    11、函数的值域是
    答案: ,得


    12、若,且,则的最大值是
    答案:

    13、已知,比较与的大小关系为
    答案: 构造单调函数,则,
    ,即,恒成立,
    所以,即

    14、若,则的最大值为
    答案: 设,则,即
    再令,
    即时,是的减函数,得时,

    15、 若是正数,且满足,则的最小值为______
    答案:

    16、不等式的解集是: ;
    答案:

    17、函数的最大值为: ;
    答案:3

    18、用数学归纳法证明时,从“”到“”,左边需添加的代数式为: ;
    答案:

    19、经计算发现下列不等式正确:,,
    ,……,根据以上不等式的规律,请你写出一个类似的不等式: ;

    答案:(答案不唯一)

    20、有4人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s,4s,3s,7s,每个人接完水后就离开,则他们总的等候时间最短为: ;
    答案:41

    21、若由不等式,,……,可以推广到,则实数的值为: ;
    答案:

    22、生物实验课上,在还原性糖的鉴定实验中需要用天平称出20g氢氧化钠粉末, 某同学发现自己所用的天平是不准的(其两臂不等长),因此,他采用了下列操作方法:
    第一步:选10g的法码放入左盘, 把氢氧化钠粉末放到右盘使之平衡,取出氢氧化钠粉末,
    第二步:将10g法码放于右盘, 把氢氧化钠粉末放到左盘, 平衡后再取出。
    他这样称两次得到的氢氧化钠粉末之和应该 20g。(填“大于”,“小于”,“等于”)

    答案:大于

    23、函数的值域是

    答案: ,得


    24、若,且,则的最大值是
    答案:

    25、已知,比较与的大小关系为
    答案: 构造单调函数,则,
    ,即,恒成立,
    所以,即


    26、若,则的最大值为
    答案: 设,则,即
    再令,
    即时,是的减函数,得时,

    27、若是正数,且满足,则的最小值为______

    答案:

    28、用数学归纳法证明不等式成立起始值至少应取为________.
    答案:8

    三、解答题:(共34题,每小题12分,共408分)
    1、已知,求证:
    答案:证明:



    另法一:


    另法二:
    即,

    2、解不等式
    答案:解:原不等式化为
    当时,原不等式为
    得,即;
    当时,原不等式为
    得,即;
    当时,原不等式为
    得,与矛盾;
    所以解为

    3、 求证:
    答案:证明:



    4、 证明:
    答案:证明:



    5、如果关于的不等式的解集不是空集,求参数的取值范围
    答案:解:

    当时,解集显然为,所以

    6、求证:
    答案:证明:



    7、当时,求证:
    答案:证明:
    (本题也可以用数学归纳法)

    8、已知实数满足,且有
    求证:
    答案:证明:
    是方程的两个不等实根,
    则,得

    即,得
    所以,即

    9、设,且,求证:
    答案:证明:



    10、已知,求证:
    答案:证明:





    11、已知,比较与的大小
    答案:解:取两组数:与,显然是同序和,
    是乱序和,所以

    12、求函数的最大值
    答案:解:函数的定义域为,且




    13、已知,且
    求证:
    答案:证明:显然
    是方程的两个实根,
    由得,同理可得,


    14、已知,求证:.
    答案:已知,求证:
    方法一:作差比较:
    方法二:排序不等式:不妨设,
    根据排序不等式:


    15、解不等式:
    答案:解:方法一:零点分段讨论:
    方法二:数形结合法:


    16、①、已知:,,证明;
    ②、已知:,,证明;
    并类比上面的结论,写出推广后的一般性结论(不需证明)。

    答案:解:①、根据柯西不等式:
    ,,
    ②、根据柯西不等式:
    ,,
    可以推广:,则:;


    17、已知数列的前n项和为
    (1)求;(2)猜想数列的通项公式并证明你的结论。
    答案:解: (1)由,得 ∴
    又,即,得 .
    又,即,得 .
    (2) 猜想数列的通项公式:
    证法一:数学归纳法:当n=k+1时,

    ,命题成立。
    证法二:当n>1时,
    得所以是首项为,公比为的等比数列. 所以,


    18、观察下列式子:



    ……
    由此猜想一个一般性的结论,并证明你的结论。
    (可供参考:)

    答案:解:一般性结论:
    证法一:

    证法二:数学归纳法:当n=k+1时,

    当n=k+1时,成立。

    19、设不等式组所表示的平面区域为,记内的整点个数为,(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点).
    (1)求、;
    (2)猜想的通项公式(不需证明);
    (3)记;,
    若求的值.
    答案:
    (2)
    (3) n=2008

    20、设,且,求证:

    答案:证明:




    21、已知,求证:

    答案:证明:




    22、已知,比较与的大小

    答案:解:取两组数:与,显然是同序和,
    是乱序和,所以


    23、求函数的最大值
    答案:解:函数的定义域为,且




    24、已知,且
    求证:

    答案:证明:显然
    是方程的两个实根,
    由得,同理可得,

    25、已知
    求证:
    答案:

    26、已知
    答案:左:


    =16

    27、设
    求证:
    答案:证:
    =

    =
    =


    28、

    答案:证:(




    29、求证:
    (1) ;
    (2)
    答案:证明:(1) 同除以abc

    (2) 由(1) ,于是由顺序和乱序和得



    30、求证:
    答案:证明:由所证不等式的对称性,不妨设
    于是
    由顺序和乱序和得

    将上面两个同向不等式相加,再除以2,得


    31、已知数列中,,.
    (Ⅰ)求的通项公式;
    (Ⅱ)若数列中,,,证明:,.
    答案:解:(Ⅰ)由题设:




    所以,数列是首项为,公比为的等比数列,

    即的通项公式为,.
    (Ⅱ)用数学归纳法证明.
    (ⅰ)当时,因,,所以,结论成立.
    (ⅱ)假设当时,结论成立,即,也即.
    当时,

    又,
    所以

    也就是说,当时,结论成立.
    根据(ⅰ)和(ⅱ)知,.

    32、已知m,n为正整数.
    (Ⅰ)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;
    (Ⅱ)对于n≥6,已知,求证,m=1,1,2…,n;
    (Ⅲ)求出满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.
    答案:解法l: (Ⅰ)证;用数学归纳法证明:
    (i)当时,原不等式成立,当时,左边=,右边=,因为, 所以左边右边.原不等式成立.
    (ii)俏设当时,不等式成立.即,则当时,∵x>-1,∴.于是在不等式两边同时乘以,得

    所以.即当时,不等式也成立.
    综合(i), (ii)知,对一切正整数,不等式都成立.
    (Ⅱ)证:当时,由(Ⅰ)得,
    ,.
    (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,
    ,
    ∴,即
    ,
    即当时.不存在满足该等式的正整数.
    故只需要讨论,=1,2,3,4,5的情形:
    当=1时,3≠4等式不成立.
    当=2 时,,等式成立:
    当=3 时,,等式成立.
    当=4时, 为偶数.而为奇数.
    故=5时,同=4的情形可分析出,等式不成立.
    综上,所求的只有=2,3.
    解法 2 :(Ⅰ)证:当x=0或 m=1 时.原不等式中等号显然成立.下用数学归纳法证明:当x>-1,且x ≠0时, , ①
    (i)当时,左边=,右边=,因为,所以, 即左边>右边,不等式①成立.
    (ii)假设时, 不等式①成立,即,则当时, ∵x>-1,∴.又因为x ≠0时, ,所以.
    于是在不等式两边同时乘以,得

    所以.即当时,不等式①也成立.
    综上所述,所证不等式成立.
    (Ⅱ)证:当时,∵,∴,
    而由(Ⅰ)得,

    (Ⅲ)解,假设存在正整数使等式成立,即有. ②
    又由(Ⅱ)可得
    ,与②式矛盾,
    故当时.不存在满足该等式的正整数n. 下 同解法1 .

    33、已知函数且存在使
    (I)证明:是R上的单调增函数;
    设其中 
    (II)证明:
    (III)证明:
    答案:解: (I)∵f '(x)=3x2-2x+ = 3(x-)2+ >0 , ∴f(x)是R上的单调增函数.
    (II)∵0 又x2=f(x1)=f(0)=>0 =x1, y2=f(y1)=f()=<=y1,综上, x1 用数学归纳法证明如下:
    (1)当n=1时,上面已证明成立.
    (2)假设当n=k(k≥1)时有xk 当n=k+1时,由f(x)是单调增函数,有f(xk) 由(1)(2)知对一切n=1,2,…,都有xn (III) = = yn2+xnyn+xn2-(yn+xn)+ ≤(yn+xn)2-(yn+xn)+
    =[(yn+xn)-]2+ . 由(Ⅱ)知 0 ∴ < ()2+ =

    34、设求的最大值.

    答案:
    当且仅当 且
    F有最小值




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