高中数学高考全真模拟卷03（理科）（原卷版）

2021年理科数学一模模拟试卷（三）

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知，且为虚数单位，则的最大值是 （    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

3．在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”成立的（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

4．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（    ）

A． B． C． D．

5．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

6．设x，y满足约束条件，且的最大值为1，则的最小值为（    ）

A．64 B．81 C．100 D．121

7．运行如图所示的程序框图，输出的结果为，则判断框中可以填（    ）

A．

B．

C．

D．

8．如图，正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是（    ）

A．

B．异面直线与不可能垂直

C．不可能是直角或者钝角

D．的取值范围是

9．已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的和为（    ）

A．1022 B．1023 C．2046 D．2047

10．已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

12．双曲线的右焦点为，设、为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ）

A．4 B．2 C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知数列是等比数列，，，且，则数列的公比___________ .

14．的展开式中，常数项为______．（用数字作答）

15．已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，为的重心，则________

16．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于、两点，且，若是直线上的一个动点，，则的最小值为_______.

三、三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．

（1）求的值；

（2）若的面积为，求的最小值．

18．（12分）某士特产超市为预估2021年元旦期间游客购买土特产的情况，对2020年元且期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表．

（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关．

（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为P（每次抽奖互不影响，且P的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望．

参考公式及数据：

，

附表：

19．（12分）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若平面且，求直线与平面所成角的正弦值.

20．（12分）已知圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2），是曲线上的两个动点，且，记中点为，，证明：为定值.

21．（12分）已知函数.

（1）若在处取到极值，求的值及函数的单调区间；

（2）若，求的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。

22．（10分）「选修4-4:坐标系与参数方程」

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）已知点，若直线与曲线相交于不同的两点，，求的值.

23．（10分）「选修4-5:不等式选讲」

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.