数学八年级下册17.2 函数的图像综合与测试教学设计及反思

17．2　函数的图象

1　平面直角坐标系(第1课时)

教学目标

一、基本目标

1．理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念，并能画出平面直角坐标系．

2．结合平面直角坐标系，知道不同象限中点的坐标的特征．

二、重难点目标

【教学重点】

根据点的坐标在平面直角坐标系中找出点的位置，平面直角坐标系中点的坐标特征．

【教学难点】

平面直角坐标系中点的坐标特征．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P34～P35的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，就建立了平面直角坐标系．通常把其中水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两条数轴的交点O叫做坐标原点．

2．在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成四部分，右上方的部分叫做第一象限，其他三部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限、第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．

3．坐标轴上的点的坐标特征：横轴上点的纵坐标为0，纵轴上点的横坐标为0，原点的横、纵坐标都为0.

4．象限内点的坐标特点：点P(x，y)分别在：第一象限内，则x＞0，y＞0；第二象限内，则x＜0，y＞0；第三象限内，则x＜0，y＜0；第四象限内，则x＞0，y＜0.

5．平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的．

6．如图，直角坐标系中的五角星在(　B　)

A．第一象限　 B.第二象限

C．第三象限　 D．第四象限

7．小明建立了如图的直角坐标系，则点A的坐标是(1，2)．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】(1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：A(－5，0)、B(1，4)、C(3，3)、D(1，0)、E(3，－3)、F(1，－4)．

(2)依次连结A、B、C、D、E、F、A，得到什么图形？

(3)在平面直角坐标系中，点与实数对之间有何关系？

【互动探索】(引发学生思考)在平面直角坐标系中描出点的坐标，连线得出图形的形状．

【解答】(1)如题图所示．

(2)轴对称图形．

(3)在平面直角坐标系中，点与实数对之间是一一对应的关系．

【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应．(2)纵坐标相同的点所在直线平行(重合)于x轴；横坐标相同的点所在直线平行(重合)于y轴．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．坐标平面内的下列各点中，在x轴上的是(　B　)

A．(0，3)

B．(－3，0)

C．(－1，2)

D．(－2，－3)

2．在直角坐标系中，点P(2，－3)在 (　D　)

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

3．如图是画在方格纸上的某一小岛的示意图．

(1)分别写出点A、C、E、G、M的坐标；

(2)(3，6)，(7，9)，(8，7)，(3，3)所代表的点分别是什么？

解：(1)A(2，9)、C(5，8)、E(5，5)、G(7，4)、M(8，1)．

(2)(3，6)，(7，9)，(8，7)，(3，3)分别代表点B、D、F、H.

4．观察图形，并回答以下问题：

(1)写出多边形ABCDEF各个顶点的坐标；

(2)线段BC、CE的位置各有什么特点？

(3)计算多边形ABCDEF的面积．

解：(1)A(－2，0)、B(0，－3)、C(3，－3)、D(4，0)、E(3，3)、F(0，3)．

(2)线段BC平行于x轴(或线段BC垂直于y轴)，线段CE垂直于x轴(或线段CE平行于y轴)．

(3)S多边形ABCDEF＝S△ABF＋S长方形BCEF＋S△CDE＝×6×2＋3×6＋×6×1＝6＋18＋3＝27.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例2】已知点P(a－2，2a＋8)，分别根据下列条件求出点P的坐标．

(1)点P在x轴上；

(2)点P在y轴上；

(3)点Q的坐标为(1，5)，直线PQ∥y轴；

(4)点P到x轴、y轴的距离相等．

【互动探索】在x轴上、y轴上的点的坐标各有什么特征？平行于x轴、y轴的直线上的点的坐标又有什么特征？

【解答】(1)因为点P(a－2，2a＋8)在x轴上，

所以2a＋8＝0，解得a＝－4.

故a－2＝－4－2＝－6，则P(－6，0)．

(2)因为点P(a－2，2a＋8)在y轴上，

所以a－2＝0，解得a＝2.

故2a＋8＝2×2＋8＝12，则P(0，12)．

(3)因为点Q的坐标为(1，5)，直线PQ∥y轴，

所以a－2＝1，解得a＝3.

故2a＋8＝14，则P(1，14)．

(4)因为点P到x轴、y轴的距离相等，

所以a－2＝2a＋8，或a－2＋2a＋8＝0，

解得a＝－10，或a＝－2.

当a＝－10时，a－2＝－12，2a＋8＝－12，则P(－12，－12)；

当a＝－2时，a－2＝－4，2a＋8＝4，则P(－4，4)．

综上所述，点P的坐标为(－12，－12)或(－4，4)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)横轴上的点的纵坐标为0，纵轴上的点的横坐标为0.平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同．

【例3】如图，在一次部队军事对抗演习中甲方已经找到了乙方坐标为A(2，1)和B(－2，1)的两个警卫营的位置，并且知道乙方的指挥所的位置为(3，3)，除此之外不知道其他信息，如何确定乙方的指挥所所处的位置？

B(－2.1)　　A(2.1)

·　     　·

【互动探索】观察A、B的坐标，有什么特征？由此能否建系确定原点的位置？

【解答】连结AB，作线段AB的中垂线记为y轴，以AB的中点为起点，以AB长的为一个单位长度向下作一个单位为坐标原点，过原点作AB的平行线记为x轴，建立平面直角坐标系，找到坐标(3，3)即可．如图，点C所示位置即为乙方的指挥所所处的位置．

【互动总结】(学生总结，老师点评)两点的纵坐标相等，横坐标互为相反数时，连结两点所成线段的中垂线即为y轴所在直线．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

1．平面直角坐标系

2．平面直角坐标系中的点一一对应，有序数对

练习设计

请完成本课时对应练习！

2　函数的图象(第2课时)

教学目标

一、基本目标

1．理解并掌握描点法，会根据描点法在平面直角坐标系中画出函数的图象．

2．根据函数图象解决实际问题．

二、重难点目标

【教学重点】

描点法画函数图象．

【教学难点】

根据函数图象解决实际问题．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P36～P40的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．一般来说，函数的图象是由平面直角坐标系中一系列的点组成的．图象上每一点的坐标(x，y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一值，纵坐标y表示该自变量对应的函数值．

2．描点法通常可概括为三步，即列表、描点、连线．

3．在实际问题中，为了表达的方便，平面直角坐标系的横轴和纵轴的单位长度可以不一致，这不影响对问题的表达和理解．

4．上周周末放学，小华的妈妈来学校门口接他回家，小华离开教室后不远便发现把文具盒遗忘在了教室里，于是以相同的速度折返回去拿，到了教室后碰到班主任，并与班主任交流了一下周末计划才离开，为了不让妈妈久等，小华快步跑到学校门口，则小华离学校门口的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象是(　B　)

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】在同一直角坐标系中，画出函数y1＝－和y2＝－x－1的图象．

【互动探索】(引发学生思考)按列表、描点、连线的方法解决问题．

【解答】列表如下：

描点、连线，得两函数图象如下：

【互动总结】(学生总结，老师点评)作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．连线时，一定要用平滑的曲线将各点连起来．

【例2】甲、乙两名运动员在一次赛跑中，路程(米)与时间(秒)之间的关系图象如图所示，请根据图象回答下列问题：

(1)这次比赛的距离是多少？

(2)甲、乙两人中先到达终点的是谁？

(3)乙在这次赛跑中的平均速度是多少？

【互动探索】(引发学生思考)图中两条直线各表示什么意思？由图象可以得到哪些信息？如何利用得到的信息求解？

【解答】(1)由图象可知，甲、乙的终点的纵坐标均为100，故这次比赛的距离是100米．

(2)由图知，甲、乙两人同时出发，甲到达终点所用的时间较少，故甲、乙两人中先到达终点的是甲．

(3)由图知，乙到达终点时，横坐标t＝12.5，纵坐标s＝100，即乙跑完100米用了12.5秒，则v＝＝＝8，故乙在这次赛跑中的平均速度是8米/秒．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要仔细读图，从图中找出有用信息，进而求解．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为折线)，这个容器的形状可以是 (　C　)

第1题

第2题

2．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是15分钟．

3．如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断：当该公司盈利(收入大于成本)时，销售量必须大于4.

4．画出函数y＝2x2－4x－6的图象．

解：列表如下：

描点、连线，得函数y＝2x2－4x－6的图象如下：

5．小刘从家里骑自行车出发，去镇上超市途中碰到妹妹甜甜走路从镇上回家，小刘在超市买完东西回家，在回去的路上又碰到了甜甜，便载甜甜一起回家，结果小刘比正常速度回家的时间晚了3 min，二人离镇的距离s(km)和小刘从家出发后的时间t(min)之间的关系如图所示．(假设二人之间交流时间忽略不计)

(1)小刘家离镇上的距离8 km；

(2)小刘和甜甜第1次相遇时离镇上距离是多少？

(3)小刘从家里出发到回家所用时间是多少？

解：(2)＝0.2(km/min)，0.2×15＝3(km)，故小刘和甜甜第1次相遇时离镇上距离是8－3＝5(km)．

(3)40＋20＋15＋(8－6)÷＋3＝83(min)，故小刘从家里出发到回家所用时间是83 min.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是________．

图1

图2

【互动探索】根据图象可知点P在BC上运动时，BP不断增大，而从点C向点A运动时，BP先变小后变大，由此可求出BC与AC的长度．

【分析】由图象可知，点P从点B向点C运动时，BP的最大值为5，即BC＝5.

点P由点C向点A运动时，M是曲线部分的最低点，此时BP最小，即满足BP⊥AC，且BP＝4，则在Rt△BPC中，由勾股定理，得PC＝＝3.

又图象的曲线部分是轴对称图形，所以PA＝PC＝3，所以AC＝6，所以S△ABC＝AC·BP＝×6×4＝12.

【答案】12

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是结合图象求出BC与AC的长度．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

1．描点法：列表、描点、连线．

2．读函数图象，解决实际问题．

练习设计

请完成本课时对应练习！