还剩29页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 江苏省常州市溧阳市2021～2022学年八年级上学期期中质量调研测试 数学【试卷+答案】 试卷 0 次下载
- 江苏省扬州市邗江区2021-2022学年八年级上学期数学期中检测卷 试卷 0 次下载
- 江苏省泰州市姜堰区2021-2022学年八年级上学期期中调研测试数学【试卷+答案】 试卷 0 次下载
- 江苏省无锡市华庄中学2021-2022学年八年级上学期期中考试数学【试卷+答案】 试卷 1 次下载
- 江苏省南通市2021-2022学年八年级上学期数学期中学业质量监测【试卷+答案】 试卷 0 次下载
- 江苏省宜兴市树人中学教育集团2021-2022学年八年级上学期期中学业质量测试数学【试卷+答案】 试卷 0 次下载
江苏省无锡市积余集团2021-2022学年八年级上学期期中考试数学【试卷+答案】
展开
这是一份江苏省无锡市积余集团2021-2022学年八年级上学期期中考试数学【试卷+答案】，共32页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省无锡市梁溪区积余教育集团八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．两个全等三角形一定成轴对称
B．全等三角形的对应边上的中线相等
C．两个三角形全等，对应边不一定相等
D．等腰三角形都只有一条对称轴
3．如图，已知AB＝AC，添加下列条件仍不能使△ABD≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠C＝90° B．AD平分∠BAC C．AD平分∠BDC D．BD＝CD
4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．a2＝1，b2＝2，c2＝3
C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
5．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝8，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，则△AEF的周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．18
6．如图，在△ABC中，AB＝BC，△BDE的顶点D、E分别在AB、AC上，且∠DBE＝100°，BD＝BE．若∠C＝30°，则∠AED的度数为（ ）
A．20° B．10° C．15° D．18°
7．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝6，则△BCD的面积为（ ）
A．9 B．6 C．10 D．12
8．如图，△ABC中，∠A＝30°，BC＝4，△ABC的面积12．点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置
9．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则周长是 cm．
10．若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角为 ．
11．直角三角形的直角边分别为6和8，则斜边是 ．
12．已知△ABC≌△DEF，AC＝2，BC＝1，则EF的长为 ．
13．如图，BA⊥AC，CD∥AB．BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2，CD＝6，则AE＝ ．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，AB＝8，则BD+CD＝ ．
15．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，那么△ABD的面积是 ．
16．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 分米．
17．如图，已知△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D是BC上一点，DE⊥AC于点E，连接AD和BE，若AD＝2a，则BE2＝ ．
18．如图，等边△ABC中，AD⊥BC，E是线段AD上的一个动点，连接BE，BE沿直线BA翻折得到线段BF，连接DF，在点E运动的过程中，当DF的长取得最小值时，∠FDA为 °．
三、解答题（本大题共8小题，共76分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．已知：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠E，AC＝EF．求证：BC∥DF．
20．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，D是AB上一点，且CD＝12，BD＝8．
（1）求△ADC的面积．
（2）求BC的长．
21．如图，已知△ABC，点P为BC的垂直平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F，若BE＝CF，求证：点P在∠BAC的平分线上．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O．
（1）求证：BO＝CO．
（2）若BE＝4，BO＝5，求AC的长．
23．三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB◆AC＝AO2﹣BO2．
（1）在图中，若∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，AO是BC边上的中线，则AB◆AC＝ ，OC◆OA＝ ．
（2）在△ABC中，AB＝AC＝10，△ABC的面积是48，求AB◆AC的值．
24．如图，已知四边形ABCD．
（1）在边BC上找一点P，使得△APD的周长最小，在图①中画出点P．
（2）请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）．
①在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图②中作出点M；
②若∠B是锐角，请在线段BC上找一点N，使得点N到边AB的距离等于NC，请在图③中作出点N．
25．【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明．
【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；
【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，则CD＝ ．
26．如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝5，AD＝13，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DA向终点A运动，运动时间为t秒，连接CP，设点D关于直线CP的对称点为点E．
（1）如图②，射线PE恰好经过点B，求出此时t的值；
（2）当射线PE与边BC交于点F时，是否存在这样的t值，使得FE＝FB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在动点P从点D到点A的整个运动过程中，若点E到直线BC的距离等于3，则此时t＝ ．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．
解：A、不是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意；
故选：A．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．两个全等三角形一定成轴对称
B．全等三角形的对应边上的中线相等
C．两个三角形全等，对应边不一定相等
D．等腰三角形都只有一条对称轴
【分析】根据各选项提供的已知条件，结合全等三角形和轴对称的性质逐一判断．
解：A、两个全等三角形不一定成轴对称，不符合题意；
B、全等三角形对应边上的中线相等，符合题意；
C、若两个三角形全等，则对应边一定相等，不符合题意；
D、等边三角形有3条对称轴，不符合题意．
故选：B．
3．如图，已知AB＝AC，添加下列条件仍不能使△ABD≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠C＝90° B．AD平分∠BAC C．AD平分∠BDC D．BD＝CD
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等还有HL定理，根据以上定理判断即可．
解：A、符合HL定理，能推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；
B、符合SAS定理，能推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；
C、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACD，故本选项正确；
D、符合SSS定理，能推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；
故选：C．
4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．a2＝1，b2＝2，c2＝3
C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
解：A、由条件∠A＝∠B+∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，可求得∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
B、∵a2＝1，b2＝2，c2＝3，∴a2+b2＝3＝c2，故△ABC是直角三角形；
C、由条件可得到a2+c2＝b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，可求得∠C≠90°，故△ABC不是直角三角形．
故选：D．
5．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝8，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，则△AEF的周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．18
【分析】根据平行线的性质得到∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，根据角平分线的性质得到∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，等量代换得到∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，于是得到ED＝EB，FD＝FC，即可得到结果．
解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，
∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，
∴ED＝EB，FD＝FC，
∵AB＝5，AC＝8，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝5+8＝13．
故选：B．
6．如图，在△ABC中，AB＝BC，△BDE的顶点D、E分别在AB、AC上，且∠DBE＝100°，BD＝BE．若∠C＝30°，则∠AED的度数为（ ）
A．20° B．10° C．15° D．18°
【分析】由AB＝BC知∠A＝∠C＝30°，根据∠ABE＝100°、BD＝BE知∠BDE＝40°，利用三角形外角的性质得∠AED＝∠BDE﹣∠A，即可得答案．
解：∵AB＝BC，∠C＝30°，
∴∠A＝∠C＝30°，
又∵∠DBE＝100°，BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝40°，
∴∠AED＝∠BDE﹣∠A＝10°，
故选：B．
7．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝6，则△BCD的面积为（ ）
A．9 B．6 C．10 D．12
【分析】首先作AE⊥BC于E，作DF⊥CB交CB的延长线于F．根据等腰三角形三线合一的性质，得出CE＝BE＝BC，证明△ABE≌△BDF，得出△BCD的高即为EB，即可求得面积．
解：作AE⊥BC于E，作DF⊥CB交CB的延长线于F．
∵AB＝AC，BC＝6，
∴CE＝BE＝BC＝3，
∵∠ABD＝90°，DF⊥CB，
∴∠ABC+∠DBF＝∠BDF+∠DBF，
∴∠ABC＝∠BDF，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠BFD＝90°，
在△ABE和△BDF中，
，
∴△ABE≌△BDF（AAS），
∴DF＝BE＝3，△BCD的高即为DF，
∴S△BCD＝BC•DF＝×6×3＝9．
故选：A．
8．如图，△ABC中，∠A＝30°，BC＝4，△ABC的面积12．点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】作AE⊥BC于点E，作点E关于AB的对称点E′，作点E关于AC的对称点E″，根据∠A＝30°可以证明△AE′E″是等边三角形，连接E′E″，交AB于点D，交AC于点F，连接DE、DF，对称性可得△DEF周长的最小值即为E′E″的长，然后根据三角形ABC的面积即可求出AE的长，进而可得DEF周长的最小值．
解：如图，作AE⊥BC于点E，作点E关于AB的对称点E′，
∴AE＝AE′，∠EAB＝∠E′AB，
作点E关于AC的对称点E″，
∴AE＝AE″，∠EAC＝∠E″AC，
∴AE′＝AE″，
∵∠BAC＝30°，
∴∠E′AE″＝60°，
∴△AE′E″是等边三角形，
∴E′E″＝AE′＝AE，
连接E′E″，交AB于点D，交AC于点F，连接DE、DF，
∴DE＝DE′，EF＝E″F，
∴△DEF周长的最小值即为E′E″的长，
∵S△ABC＝BC•AE，
即12＝×4AE，
解得AE＝6，
∴E′E″＝AE＝6，
所以△DEF周长的最小值为6．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置
9．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则周长是 20 cm．
【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况．
解：等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，
当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm＝8cm不满足三角形的三边关系；
当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，8cm+4cm＞8cm，满足三角形的三边关系，三角形的周长是8+8+4＝20（cm）．
故答案为：20．
10．若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角为 65° ．
【分析】等腰三角形中，给出了顶角为50°，可以结合等腰三角形的性质及三角形的内角和直接求出底角，答案可得．
解：∵三角形为等腰三角形，且顶角为50°，
∴底角＝（180°﹣50°）÷2＝65．
故填65．
11．直角三角形的直角边分别为6和8，则斜边是 10 ．
【分析】根据勾股定理即可得到答案．
解：∵直角三角形的直角边分别为6和8，
∴斜边＝＝10，
故答案为：10．
12．已知△ABC≌△DEF，AC＝2，BC＝1，则EF的长为 1 ．
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：∵△ABC≌△DEF，BC＝1，
∴EF＝BC＝1，
故答案为：1．
13．如图，BA⊥AC，CD∥AB．BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2，CD＝6，则AE＝ 4 ．
【分析】先证明∠BCA＝∠D，则利用“AAS”可判断△ABC≌△CED，所以AB＝CE＝2，AC＝CD＝6，然后计算AC﹣CE即可．
解：∵BA⊥AC，
∴∠A＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠DCE＝90°，
∵BC⊥DE，
∴∠DCB+∠D＝90°，
∵∠DCB+∠BCA＝90°，
∴∠BCA＝∠D，
在△ABC和△CED中
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝CE＝2，AC＝CD＝6，
∴AE＝AC﹣CE＝6﹣2＝4．
故答案为4．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，AB＝8，则BD+CD＝ 8 ．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD＝BD，可得BD+CD＝AD+CD＝AC，由AB＝AC，AB＝8即可求解．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴BD+CD＝AD+CD＝AC，
∵AB＝8，AB＝AC，
∴BD+CD＝AB＝8．
故答案为：8．
15．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，那么△ABD的面积是 2 ．
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得出CD＝DE＝1，根据三角形的面积公式求出即可．
解：过D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，CD＝1，
∴DE＝CD＝1，
∵AB＝4，
∴△ABD的面积是AB•DE＝×4×1＝2，
故答案为：2．
16．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 分米．
【分析】根据题意把图形的侧面展开，利用勾股定理求解即可．
解：情形1：平面展开图所示，
AB＝＝13（分米）．
情形2：平面展开图如图所示：
AB＝＝（分米），
∵＜13，
答：它需要爬行的最短路径的长是分米．
17．如图，已知△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D是BC上一点，DE⊥AC于点E，连接AD和BE，若AD＝2a，则BE2＝ 2a2 ．
【分析】过点E作EF⊥BC于点E，设AB＝x，BD＝y，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理列出关于x，y的式子，在Rt△EFB中，利用勾股定理和整体代入的方法即可求得结论．
解：过点E作EF⊥BC于点E，如图，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠C＝∠BAC＝45°．
∵DE⊥AC，
∴△DEC为等腰直角三角形．
∴DE＝EC，EF＝CD．
∵EF⊥BC，
∴CF＝FD＝CD．
设AB＝x，BD＝y，则BC＝x．CD＝x﹣y，
∴EF＝FD＝（x﹣y）．
∴FB＝FD+BD＝（x+y）．
在Rt△EFB中，
∵BE2＝EF2+BF2＝，
∴＝．
在Rt△ABD中，
∵AB2+BD2＝AD2，
∴x2+y2＝（2a）2＝4a2．
∴BE2＝．
故答案为：2a2．
18．如图，等边△ABC中，AD⊥BC，E是线段AD上的一个动点，连接BE，BE沿直线BA翻折得到线段BF，连接DF，在点E运动的过程中，当DF的长取得最小值时，∠FDA为 30 °．
【分析】过点D作DH⊥AF于H，首先证明∠BAF＝30°，推出点F的在射线AF上运动，根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，DF的值最小，于是得到结论．
解：过点D作DG⊥AF于G，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵线段BF与线段BE关于直线BA对称，
∴∠BAF＝∠BAE＝30°，∠DAF＝60°，
∴点F的在射线AF上运动，
根据垂线段最短可知，当点F与G重合时，DF的值最小，
∵∠DAG＝60°，∠AGD＝90°，
∴∠ADG＝30°，
∴∠ADF＝30°，
故答案为：30．
三、解答题（本大题共8小题，共76分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．已知：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠E，AC＝EF．求证：BC∥DF．
【分析】由全等三角形的判定定理SAS得到△ACB≌△EFD，则其对应角相等∠ABC＝∠EDF．所以最后利用平行的判定定理证得结论．
【解答】证：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，即AB＝DE．
在△ACB和△EFD中，
∴△ACB≌△EFD（SAS）．
∴∠ABC＝∠EDF．
∴BC∥DF．
20．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，D是AB上一点，且CD＝12，BD＝8．
（1）求△ADC的面积．
（2）求BC的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到∠ADC＝90°，根据三角形的面积公式计算即可；
（2）根据勾股定理计算，得到答案．
解：（1）∵AB＝13，BD＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝5，
∴AC＝13，CD＝12，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形，
∴△ADC的面积＝×AD×CD＝×5×12＝30；
（2）在Rt△BDC中，∠BDC＝180°﹣90°＝90°，
由勾股定理得：BC＝＝＝4，即BC的长是4．
21．如图，已知△ABC，点P为BC的垂直平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F，若BE＝CF，求证：点P在∠BAC的平分线上．
【分析】连接PB、PC，证△BEP≌△CFP，得BP＝CP，证出点P在BC的垂直平分线上．
【解答】证明：连接PB、PC，如图所示：
∵点P为∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PE＝PF，∠PEB＝∠PFC＝90°，
在△BEP和△CFP中，
，
∴△BEP≌△CFP（SAS），
∴BP＝CP，
∴点P在BC的垂直平分线上．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O．
（1）求证：BO＝CO．
（2）若BE＝4，BO＝5，求AC的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到OE＝＝3，根据全等三角形的性质得到CD＝BE＝4，根据勾股定理即可得到答案．．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
在△BCE与△CBD中，
，
∴△BCE≌△CBD（AAS），
∴∠DBC＝∠ECB，
∴OB＝OC；
（2）解：∵∠BEO＝90°，BE＝4，BO＝5，
∴OE＝＝3，
∵△BCE≌△CBD，
∴CD＝BE＝4，
∵OC＝OB＝5，
∴CE＝8，
∵AB＝AC，
∴AE＝AD，
在Rt△AEC中，∵AE2+CE2＝AC2，
∴AD2+82＝（AD+4）2，
∴AD＝6，
∴AC＝AD+CD＝6+4＝10．
23．三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB◆AC＝AO2﹣BO2．
（1）在图中，若∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，AO是BC边上的中线，则AB◆AC＝ 0 ，OC◆OA＝ 7 ．
（2）在△ABC中，AB＝AC＝10，△ABC的面积是48，求AB◆AC的值．
【分析】（1）根据已知条件利用勾股定理求得斜边的长，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边上的中线的长，利用三角形两边的“极化值”的定义即可求得结论；作出AC边上的中线，利用三角形的中位线定理可求中线的长，利用三角形两边的“极化值”的定义可求结论；
（2）根据已知条件利用勾股定理和三角形的面积公式分别求得第三边上的中线和第三边的一半，利用角形两边的“极化值”的定义即可求得结论．
解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝＝10．
∵AO是BC边上的中线，
∴AO＝BC＝5．
∵BO＝OC＝BC＝5，
∴AO2﹣BO2＝0；
作AC边的中线，如图，
∵BO＝OC，CD＝AD，
∴DO为△ABC的中位线，
∴OD＝AB＝4．
∵CD＝AD＝＝3，
∴OC◆OA＝OD2﹣AD2＝16﹣9＝7．
故答案为：0；7；
（2）如图，AD为BC边上的中线，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AB⊥BC．
∴．
解得：或．
∴AB◆AC＝AD2﹣BD2＝28或﹣28．
答：AB◆AC的值为28或﹣28．
24．如图，已知四边形ABCD．
（1）在边BC上找一点P，使得△APD的周长最小，在图①中画出点P．
（2）请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）．
①在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图②中作出点M；
②若∠B是锐角，请在线段BC上找一点N，使得点N到边AB的距离等于NC，请在图③中作出点N．
【分析】（1）作点A关于直线BC的对称点A′，连接DA′交BC于点P，连接PD，点P即为所求；
（2）①作线段BC的垂直平分线EF，交AC于点M，点M即为所求；
②过点C作BC的垂线交BA的延长线于点O，作∠BOC的角平分线交BC于点N，点N即为所求．
解：（1）如图①中，点P即为所求；
（2）①如图②中，点M即为所求；
②如图③中，点N即为所求．
25．【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明．
【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；
【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，则CD＝ 8 ．
【分析】（1）BD＝CE，由已知条件证明△ABD≌△AEC，推得结论；
（2）在△ABC的外部作Rt△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接BE、CE，先证明△EAC≌△BAD，可得EC＝BD，再证明∠CBE＝90°，根据勾股定理求出EC2的值，即得到BD2的值；
（3）先证明△ABC是等边三角形，再将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转60°，得到△BCE，可得△ECD是等边三角形，求得∠BED＝90°，根据勾股定理求出ED的长，即可得到CD的长．
解：（1）如图1，BD＝CE．
理由：∵∠CAD＝∠BAE＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC＝90°+∠BAC，
∵AB＝AE，AD＝AC，
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴BD＝CE．
（2）如图2，在△ABC的外部作Rt△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接BE、CE．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴∠CAD＝90°，AC＝AD，
∴∠EAC＝∠BAD＝90°+∠BAC，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴EC＝BD，
∴EC2＝BD2，
∵∠ABE＝∠AEB＝45°，∠ABC＝45°，
∴∠CBE＝45°+45°＝90°，
∵AE＝AB＝5，∠BAE＝90°，
∴BE2＝AB2+AE2＝52+52＝50，
∵BC＝2，
∴EC2＝BC2+BE2＝22+50＝54，
∴BD2＝54．
（3）如图3，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转60°，得到△BCE，
则CE＝CD，∠ECD＝60°，
∴△ECD是等边三角形，
∴∠CED＝60°，ED＝CD，
由旋转得∠BEC＝∠ADC＝30°，BE＝AD＝6，
∴∠BED＝30°+60°＝90°，
∴BD＝10，
∴ED＝＝＝8，
∴CD＝8，
故答案为：8．
26．如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝5，AD＝13，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DA向终点A运动，运动时间为t秒，连接CP，设点D关于直线CP的对称点为点E．
（1）如图②，射线PE恰好经过点B，求出此时t的值；
（2）当射线PE与边BC交于点F时，是否存在这样的t值，使得FE＝FB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在动点P从点D到点A的整个运动过程中，若点E到直线BC的距离等于3，则此时t＝ 或10 ．
【分析】（1）由对称的性质得∠CEP＝∠D＝90°，DP＝EP，CD＝CE＝5，∠DPC＝∠EPC，再求出BP＝BC＝13，然后由勾股定理求出BE＝12，进而求解；
（2）①当点E在矩形ABCD内部时，过点P作PM⊥BC于M，过点F作FN⊥AD于N，则NF＝PM＝AB＝5，CF＝DN，由勾股定理得PF2＝25+NP2，再证PF＝CF，然后证NP＝，则CF＝NP+DP＝，得＝，即可求解；
②当点E在矩形ABCD的外部时，同①得PF＝CF，再证BC＝t，则t＝BC＝13（此时P与A重合）；
（3）①点E在BC的上方时，过点E作GH⊥BC，交AD于G，交BC于H，由对称的性质得CE＝CD＝5，DP＝EP，再由勾股定理PE2＝GE2+PG2，解得PD＝即可；
②点E在BC的下方时，过点E作EK⊥DC交DC的延长线于K，连接DE交CP于R，由对称的性质得CE＝CD＝5，DE⊥CP，DR＝DE，再由勾股定理得EK＝4，则DE＝4，DR＝2，然后由勾股定理和三角形面积求出DP＝10即可．
解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D＝90°，BC＝AD＝13，AB＝CD＝5，AD∥BC，
∴∠DPC＝∠PCB，
∵点D关于直线CP的对称点为点E，
∴∠CEP＝∠D＝90°，DP＝EP，CD＝CE＝5，∠DPC＝∠EPC，
∴∠BEC＝90°，∠BPC＝∠PCB，
∴BP＝BC＝13，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE＝＝＝12，
∴DP＝EP＝AP﹣BE＝13﹣12＝1，
∵DP＝t，
∴t＝1；
（2）存在，分两种情况：
①当点E在矩形ABCD内部时，过点P作PM⊥BC于M，过点F作FN⊥AD于N，如图③所示：
则四边形ABFN、四边形NFCD、四边形CDPM都是矩形，
∴NF＝PM＝AB＝5，CF＝DN，
在Rt△PNF中，由勾股定理得：PF2＝NF2+NP2＝52+NP2＝25+NP2，
由（1）得：∠DPC＝∠PCB，∠DPC＝∠EPC，
∴∠PCB＝∠EPC，
∴PF＝CF，
∵FE＝PF﹣PE＝PF﹣DP＝PF﹣t，FE＝FB，
∴FB＝PF﹣t，
∵PF+FB＝BC＝13，
∴PF+PF﹣t＝13，
∴PF＝，
∵CF＝DN＝NP+DP，
∴（NP+DP）2＝25+NP2，
∵DP＝t，
∴（NP+t）2＝25+NP2，
解得：NP＝，
∴CF＝NP+DP＝+t＝，
∴＝，
解得：t＝；
②当点E在矩形ABCD的外部时，如图④所示：
同①得：PF＝CF，
∵FE＝PE﹣PF＝DP﹣CF＝t﹣CF，FE＝FB，
∴FB＝t﹣CF，
∴BC﹣CF＝t﹣CF，
∴BC＝t，
∴t＝BC＝13（此时P与A重合），
综上，存在这样的t值，使得FE＝FB，t的值为或13；
（3）∵四边形ABCD是长方形，
∴CD＝AB＝5，
分两种情况：
①点E在BC的上方时，过点E作GH⊥BC，交AD于G，交BC于H，如图⑤所示：
则GH⊥AD，EH＝3，四边形CDMN时矩形，
∴GH＝CD＝5，DG＝CH，
∴GE＝GH﹣EH＝5﹣3＝2，
由对称的性质得：CE＝CD＝5，DP＝EP，
在Rt△CHE中，由勾股定理得：CH＝＝＝4，
∴PG＝DG﹣DP＝CH﹣DP＝4﹣DP，
在Rt△PGE中，由勾股定理得：PE2＝GE2+PG2，
即PD2＝22+（4﹣PD）2，
解得：PD＝，
∴t＝；
②点E在BC的下方时，过点E作EK⊥DC交DC的延长线于K，连接DE交CP于R，如图⑥所示：
∵点E到直线B的距离等于3，
∴KC＝3，
∴DK＝CD+KC＝8，
由对称的性质得：CE＝CD＝5，DE⊥CP，DR＝DE，
∴EK＝＝＝4，
∴DE＝＝＝4，
∴DR＝2，
∵CP2＝CD2+DP2，S△CDP＝CD•DP＝CP•DR，
∴CD2•DP2＝（CD2+DP2）•DR2，
即25DP2＝（25+DP2）×（2）2，
解得：DP＝10（负值已舍去），
∴t＝10；
综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，若点E到直线BC的距离等于3，则此时t的值为或10，
故答案为：或10．
2021-2022学年江苏省无锡市梁溪区积余教育集团八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．两个全等三角形一定成轴对称
B．全等三角形的对应边上的中线相等
C．两个三角形全等，对应边不一定相等
D．等腰三角形都只有一条对称轴
3．如图，已知AB＝AC，添加下列条件仍不能使△ABD≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠C＝90° B．AD平分∠BAC C．AD平分∠BDC D．BD＝CD
4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．a2＝1，b2＝2，c2＝3
C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
5．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝8，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，则△AEF的周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．18
6．如图，在△ABC中，AB＝BC，△BDE的顶点D、E分别在AB、AC上，且∠DBE＝100°，BD＝BE．若∠C＝30°，则∠AED的度数为（ ）
A．20° B．10° C．15° D．18°
7．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝6，则△BCD的面积为（ ）
A．9 B．6 C．10 D．12
8．如图，△ABC中，∠A＝30°，BC＝4，△ABC的面积12．点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置
9．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则周长是 cm．
10．若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角为 ．
11．直角三角形的直角边分别为6和8，则斜边是 ．
12．已知△ABC≌△DEF，AC＝2，BC＝1，则EF的长为 ．
13．如图，BA⊥AC，CD∥AB．BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2，CD＝6，则AE＝ ．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，AB＝8，则BD+CD＝ ．
15．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，那么△ABD的面积是 ．
16．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 分米．
17．如图，已知△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D是BC上一点，DE⊥AC于点E，连接AD和BE，若AD＝2a，则BE2＝ ．
18．如图，等边△ABC中，AD⊥BC，E是线段AD上的一个动点，连接BE，BE沿直线BA翻折得到线段BF，连接DF，在点E运动的过程中，当DF的长取得最小值时，∠FDA为 °．
三、解答题（本大题共8小题，共76分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．已知：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠E，AC＝EF．求证：BC∥DF．
20．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，D是AB上一点，且CD＝12，BD＝8．
（1）求△ADC的面积．
（2）求BC的长．
21．如图，已知△ABC，点P为BC的垂直平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F，若BE＝CF，求证：点P在∠BAC的平分线上．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O．
（1）求证：BO＝CO．
（2）若BE＝4，BO＝5，求AC的长．
23．三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB◆AC＝AO2﹣BO2．
（1）在图中，若∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，AO是BC边上的中线，则AB◆AC＝ ，OC◆OA＝ ．
（2）在△ABC中，AB＝AC＝10，△ABC的面积是48，求AB◆AC的值．
24．如图，已知四边形ABCD．
（1）在边BC上找一点P，使得△APD的周长最小，在图①中画出点P．
（2）请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）．
①在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图②中作出点M；
②若∠B是锐角，请在线段BC上找一点N，使得点N到边AB的距离等于NC，请在图③中作出点N．
25．【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明．
【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；
【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，则CD＝ ．
26．如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝5，AD＝13，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DA向终点A运动，运动时间为t秒，连接CP，设点D关于直线CP的对称点为点E．
（1）如图②，射线PE恰好经过点B，求出此时t的值；
（2）当射线PE与边BC交于点F时，是否存在这样的t值，使得FE＝FB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在动点P从点D到点A的整个运动过程中，若点E到直线BC的距离等于3，则此时t＝ ．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．
解：A、不是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意；
故选：A．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．两个全等三角形一定成轴对称
B．全等三角形的对应边上的中线相等
C．两个三角形全等，对应边不一定相等
D．等腰三角形都只有一条对称轴
【分析】根据各选项提供的已知条件，结合全等三角形和轴对称的性质逐一判断．
解：A、两个全等三角形不一定成轴对称，不符合题意；
B、全等三角形对应边上的中线相等，符合题意；
C、若两个三角形全等，则对应边一定相等，不符合题意；
D、等边三角形有3条对称轴，不符合题意．
故选：B．
3．如图，已知AB＝AC，添加下列条件仍不能使△ABD≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠C＝90° B．AD平分∠BAC C．AD平分∠BDC D．BD＝CD
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等还有HL定理，根据以上定理判断即可．
解：A、符合HL定理，能推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；
B、符合SAS定理，能推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；
C、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACD，故本选项正确；
D、符合SSS定理，能推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；
故选：C．
4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．a2＝1，b2＝2，c2＝3
C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
解：A、由条件∠A＝∠B+∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，可求得∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
B、∵a2＝1，b2＝2，c2＝3，∴a2+b2＝3＝c2，故△ABC是直角三角形；
C、由条件可得到a2+c2＝b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，可求得∠C≠90°，故△ABC不是直角三角形．
故选：D．
5．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝8，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，则△AEF的周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．18
【分析】根据平行线的性质得到∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，根据角平分线的性质得到∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，等量代换得到∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，于是得到ED＝EB，FD＝FC，即可得到结果．
解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，
∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，
∴ED＝EB，FD＝FC，
∵AB＝5，AC＝8，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝5+8＝13．
故选：B．
6．如图，在△ABC中，AB＝BC，△BDE的顶点D、E分别在AB、AC上，且∠DBE＝100°，BD＝BE．若∠C＝30°，则∠AED的度数为（ ）
A．20° B．10° C．15° D．18°
【分析】由AB＝BC知∠A＝∠C＝30°，根据∠ABE＝100°、BD＝BE知∠BDE＝40°，利用三角形外角的性质得∠AED＝∠BDE﹣∠A，即可得答案．
解：∵AB＝BC，∠C＝30°，
∴∠A＝∠C＝30°，
又∵∠DBE＝100°，BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝40°，
∴∠AED＝∠BDE﹣∠A＝10°，
故选：B．
7．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝6，则△BCD的面积为（ ）
A．9 B．6 C．10 D．12
【分析】首先作AE⊥BC于E，作DF⊥CB交CB的延长线于F．根据等腰三角形三线合一的性质，得出CE＝BE＝BC，证明△ABE≌△BDF，得出△BCD的高即为EB，即可求得面积．
解：作AE⊥BC于E，作DF⊥CB交CB的延长线于F．
∵AB＝AC，BC＝6，
∴CE＝BE＝BC＝3，
∵∠ABD＝90°，DF⊥CB，
∴∠ABC+∠DBF＝∠BDF+∠DBF，
∴∠ABC＝∠BDF，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠BFD＝90°，
在△ABE和△BDF中，
，
∴△ABE≌△BDF（AAS），
∴DF＝BE＝3，△BCD的高即为DF，
∴S△BCD＝BC•DF＝×6×3＝9．
故选：A．
8．如图，△ABC中，∠A＝30°，BC＝4，△ABC的面积12．点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】作AE⊥BC于点E，作点E关于AB的对称点E′，作点E关于AC的对称点E″，根据∠A＝30°可以证明△AE′E″是等边三角形，连接E′E″，交AB于点D，交AC于点F，连接DE、DF，对称性可得△DEF周长的最小值即为E′E″的长，然后根据三角形ABC的面积即可求出AE的长，进而可得DEF周长的最小值．
解：如图，作AE⊥BC于点E，作点E关于AB的对称点E′，
∴AE＝AE′，∠EAB＝∠E′AB，
作点E关于AC的对称点E″，
∴AE＝AE″，∠EAC＝∠E″AC，
∴AE′＝AE″，
∵∠BAC＝30°，
∴∠E′AE″＝60°，
∴△AE′E″是等边三角形，
∴E′E″＝AE′＝AE，
连接E′E″，交AB于点D，交AC于点F，连接DE、DF，
∴DE＝DE′，EF＝E″F，
∴△DEF周长的最小值即为E′E″的长，
∵S△ABC＝BC•AE，
即12＝×4AE，
解得AE＝6，
∴E′E″＝AE＝6，
所以△DEF周长的最小值为6．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置
9．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则周长是 20 cm．
【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况．
解：等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，
当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm＝8cm不满足三角形的三边关系；
当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，8cm+4cm＞8cm，满足三角形的三边关系，三角形的周长是8+8+4＝20（cm）．
故答案为：20．
10．若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角为 65° ．
【分析】等腰三角形中，给出了顶角为50°，可以结合等腰三角形的性质及三角形的内角和直接求出底角，答案可得．
解：∵三角形为等腰三角形，且顶角为50°，
∴底角＝（180°﹣50°）÷2＝65．
故填65．
11．直角三角形的直角边分别为6和8，则斜边是 10 ．
【分析】根据勾股定理即可得到答案．
解：∵直角三角形的直角边分别为6和8，
∴斜边＝＝10，
故答案为：10．
12．已知△ABC≌△DEF，AC＝2，BC＝1，则EF的长为 1 ．
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：∵△ABC≌△DEF，BC＝1，
∴EF＝BC＝1，
故答案为：1．
13．如图，BA⊥AC，CD∥AB．BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2，CD＝6，则AE＝ 4 ．
【分析】先证明∠BCA＝∠D，则利用“AAS”可判断△ABC≌△CED，所以AB＝CE＝2，AC＝CD＝6，然后计算AC﹣CE即可．
解：∵BA⊥AC，
∴∠A＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠DCE＝90°，
∵BC⊥DE，
∴∠DCB+∠D＝90°，
∵∠DCB+∠BCA＝90°，
∴∠BCA＝∠D，
在△ABC和△CED中
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝CE＝2，AC＝CD＝6，
∴AE＝AC﹣CE＝6﹣2＝4．
故答案为4．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，AB＝8，则BD+CD＝ 8 ．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD＝BD，可得BD+CD＝AD+CD＝AC，由AB＝AC，AB＝8即可求解．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴BD+CD＝AD+CD＝AC，
∵AB＝8，AB＝AC，
∴BD+CD＝AB＝8．
故答案为：8．
15．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，那么△ABD的面积是 2 ．
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得出CD＝DE＝1，根据三角形的面积公式求出即可．
解：过D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，CD＝1，
∴DE＝CD＝1，
∵AB＝4，
∴△ABD的面积是AB•DE＝×4×1＝2，
故答案为：2．
16．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 分米．
【分析】根据题意把图形的侧面展开，利用勾股定理求解即可．
解：情形1：平面展开图所示，
AB＝＝13（分米）．
情形2：平面展开图如图所示：
AB＝＝（分米），
∵＜13，
答：它需要爬行的最短路径的长是分米．
17．如图，已知△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D是BC上一点，DE⊥AC于点E，连接AD和BE，若AD＝2a，则BE2＝ 2a2 ．
【分析】过点E作EF⊥BC于点E，设AB＝x，BD＝y，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理列出关于x，y的式子，在Rt△EFB中，利用勾股定理和整体代入的方法即可求得结论．
解：过点E作EF⊥BC于点E，如图，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠C＝∠BAC＝45°．
∵DE⊥AC，
∴△DEC为等腰直角三角形．
∴DE＝EC，EF＝CD．
∵EF⊥BC，
∴CF＝FD＝CD．
设AB＝x，BD＝y，则BC＝x．CD＝x﹣y，
∴EF＝FD＝（x﹣y）．
∴FB＝FD+BD＝（x+y）．
在Rt△EFB中，
∵BE2＝EF2+BF2＝，
∴＝．
在Rt△ABD中，
∵AB2+BD2＝AD2，
∴x2+y2＝（2a）2＝4a2．
∴BE2＝．
故答案为：2a2．
18．如图，等边△ABC中，AD⊥BC，E是线段AD上的一个动点，连接BE，BE沿直线BA翻折得到线段BF，连接DF，在点E运动的过程中，当DF的长取得最小值时，∠FDA为 30 °．
【分析】过点D作DH⊥AF于H，首先证明∠BAF＝30°，推出点F的在射线AF上运动，根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，DF的值最小，于是得到结论．
解：过点D作DG⊥AF于G，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵线段BF与线段BE关于直线BA对称，
∴∠BAF＝∠BAE＝30°，∠DAF＝60°，
∴点F的在射线AF上运动，
根据垂线段最短可知，当点F与G重合时，DF的值最小，
∵∠DAG＝60°，∠AGD＝90°，
∴∠ADG＝30°，
∴∠ADF＝30°，
故答案为：30．
三、解答题（本大题共8小题，共76分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．已知：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠E，AC＝EF．求证：BC∥DF．
【分析】由全等三角形的判定定理SAS得到△ACB≌△EFD，则其对应角相等∠ABC＝∠EDF．所以最后利用平行的判定定理证得结论．
【解答】证：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，即AB＝DE．
在△ACB和△EFD中，
∴△ACB≌△EFD（SAS）．
∴∠ABC＝∠EDF．
∴BC∥DF．
20．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，D是AB上一点，且CD＝12，BD＝8．
（1）求△ADC的面积．
（2）求BC的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到∠ADC＝90°，根据三角形的面积公式计算即可；
（2）根据勾股定理计算，得到答案．
解：（1）∵AB＝13，BD＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝5，
∴AC＝13，CD＝12，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形，
∴△ADC的面积＝×AD×CD＝×5×12＝30；
（2）在Rt△BDC中，∠BDC＝180°﹣90°＝90°，
由勾股定理得：BC＝＝＝4，即BC的长是4．
21．如图，已知△ABC，点P为BC的垂直平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F，若BE＝CF，求证：点P在∠BAC的平分线上．
【分析】连接PB、PC，证△BEP≌△CFP，得BP＝CP，证出点P在BC的垂直平分线上．
【解答】证明：连接PB、PC，如图所示：
∵点P为∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PE＝PF，∠PEB＝∠PFC＝90°，
在△BEP和△CFP中，
，
∴△BEP≌△CFP（SAS），
∴BP＝CP，
∴点P在BC的垂直平分线上．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O．
（1）求证：BO＝CO．
（2）若BE＝4，BO＝5，求AC的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到OE＝＝3，根据全等三角形的性质得到CD＝BE＝4，根据勾股定理即可得到答案．．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
在△BCE与△CBD中，
，
∴△BCE≌△CBD（AAS），
∴∠DBC＝∠ECB，
∴OB＝OC；
（2）解：∵∠BEO＝90°，BE＝4，BO＝5，
∴OE＝＝3，
∵△BCE≌△CBD，
∴CD＝BE＝4，
∵OC＝OB＝5，
∴CE＝8，
∵AB＝AC，
∴AE＝AD，
在Rt△AEC中，∵AE2+CE2＝AC2，
∴AD2+82＝（AD+4）2，
∴AD＝6，
∴AC＝AD+CD＝6+4＝10．
23．三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB◆AC＝AO2﹣BO2．
（1）在图中，若∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，AO是BC边上的中线，则AB◆AC＝ 0 ，OC◆OA＝ 7 ．
（2）在△ABC中，AB＝AC＝10，△ABC的面积是48，求AB◆AC的值．
【分析】（1）根据已知条件利用勾股定理求得斜边的长，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边上的中线的长，利用三角形两边的“极化值”的定义即可求得结论；作出AC边上的中线，利用三角形的中位线定理可求中线的长，利用三角形两边的“极化值”的定义可求结论；
（2）根据已知条件利用勾股定理和三角形的面积公式分别求得第三边上的中线和第三边的一半，利用角形两边的“极化值”的定义即可求得结论．
解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝＝10．
∵AO是BC边上的中线，
∴AO＝BC＝5．
∵BO＝OC＝BC＝5，
∴AO2﹣BO2＝0；
作AC边的中线，如图，
∵BO＝OC，CD＝AD，
∴DO为△ABC的中位线，
∴OD＝AB＝4．
∵CD＝AD＝＝3，
∴OC◆OA＝OD2﹣AD2＝16﹣9＝7．
故答案为：0；7；
（2）如图，AD为BC边上的中线，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AB⊥BC．
∴．
解得：或．
∴AB◆AC＝AD2﹣BD2＝28或﹣28．
答：AB◆AC的值为28或﹣28．
24．如图，已知四边形ABCD．
（1）在边BC上找一点P，使得△APD的周长最小，在图①中画出点P．
（2）请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）．
①在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图②中作出点M；
②若∠B是锐角，请在线段BC上找一点N，使得点N到边AB的距离等于NC，请在图③中作出点N．
【分析】（1）作点A关于直线BC的对称点A′，连接DA′交BC于点P，连接PD，点P即为所求；
（2）①作线段BC的垂直平分线EF，交AC于点M，点M即为所求；
②过点C作BC的垂线交BA的延长线于点O，作∠BOC的角平分线交BC于点N，点N即为所求．
解：（1）如图①中，点P即为所求；
（2）①如图②中，点M即为所求；
②如图③中，点N即为所求．
25．【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明．
【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；
【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，则CD＝ 8 ．
【分析】（1）BD＝CE，由已知条件证明△ABD≌△AEC，推得结论；
（2）在△ABC的外部作Rt△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接BE、CE，先证明△EAC≌△BAD，可得EC＝BD，再证明∠CBE＝90°，根据勾股定理求出EC2的值，即得到BD2的值；
（3）先证明△ABC是等边三角形，再将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转60°，得到△BCE，可得△ECD是等边三角形，求得∠BED＝90°，根据勾股定理求出ED的长，即可得到CD的长．
解：（1）如图1，BD＝CE．
理由：∵∠CAD＝∠BAE＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC＝90°+∠BAC，
∵AB＝AE，AD＝AC，
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴BD＝CE．
（2）如图2，在△ABC的外部作Rt△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接BE、CE．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴∠CAD＝90°，AC＝AD，
∴∠EAC＝∠BAD＝90°+∠BAC，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴EC＝BD，
∴EC2＝BD2，
∵∠ABE＝∠AEB＝45°，∠ABC＝45°，
∴∠CBE＝45°+45°＝90°，
∵AE＝AB＝5，∠BAE＝90°，
∴BE2＝AB2+AE2＝52+52＝50，
∵BC＝2，
∴EC2＝BC2+BE2＝22+50＝54，
∴BD2＝54．
（3）如图3，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转60°，得到△BCE，
则CE＝CD，∠ECD＝60°，
∴△ECD是等边三角形，
∴∠CED＝60°，ED＝CD，
由旋转得∠BEC＝∠ADC＝30°，BE＝AD＝6，
∴∠BED＝30°+60°＝90°，
∴BD＝10，
∴ED＝＝＝8，
∴CD＝8，
故答案为：8．
26．如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝5，AD＝13，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DA向终点A运动，运动时间为t秒，连接CP，设点D关于直线CP的对称点为点E．
（1）如图②，射线PE恰好经过点B，求出此时t的值；
（2）当射线PE与边BC交于点F时，是否存在这样的t值，使得FE＝FB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在动点P从点D到点A的整个运动过程中，若点E到直线BC的距离等于3，则此时t＝ 或10 ．
【分析】（1）由对称的性质得∠CEP＝∠D＝90°，DP＝EP，CD＝CE＝5，∠DPC＝∠EPC，再求出BP＝BC＝13，然后由勾股定理求出BE＝12，进而求解；
（2）①当点E在矩形ABCD内部时，过点P作PM⊥BC于M，过点F作FN⊥AD于N，则NF＝PM＝AB＝5，CF＝DN，由勾股定理得PF2＝25+NP2，再证PF＝CF，然后证NP＝，则CF＝NP+DP＝，得＝，即可求解；
②当点E在矩形ABCD的外部时，同①得PF＝CF，再证BC＝t，则t＝BC＝13（此时P与A重合）；
（3）①点E在BC的上方时，过点E作GH⊥BC，交AD于G，交BC于H，由对称的性质得CE＝CD＝5，DP＝EP，再由勾股定理PE2＝GE2+PG2，解得PD＝即可；
②点E在BC的下方时，过点E作EK⊥DC交DC的延长线于K，连接DE交CP于R，由对称的性质得CE＝CD＝5，DE⊥CP，DR＝DE，再由勾股定理得EK＝4，则DE＝4，DR＝2，然后由勾股定理和三角形面积求出DP＝10即可．
解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D＝90°，BC＝AD＝13，AB＝CD＝5，AD∥BC，
∴∠DPC＝∠PCB，
∵点D关于直线CP的对称点为点E，
∴∠CEP＝∠D＝90°，DP＝EP，CD＝CE＝5，∠DPC＝∠EPC，
∴∠BEC＝90°，∠BPC＝∠PCB，
∴BP＝BC＝13，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE＝＝＝12，
∴DP＝EP＝AP﹣BE＝13﹣12＝1，
∵DP＝t，
∴t＝1；
（2）存在，分两种情况：
①当点E在矩形ABCD内部时，过点P作PM⊥BC于M，过点F作FN⊥AD于N，如图③所示：
则四边形ABFN、四边形NFCD、四边形CDPM都是矩形，
∴NF＝PM＝AB＝5，CF＝DN，
在Rt△PNF中，由勾股定理得：PF2＝NF2+NP2＝52+NP2＝25+NP2，
由（1）得：∠DPC＝∠PCB，∠DPC＝∠EPC，
∴∠PCB＝∠EPC，
∴PF＝CF，
∵FE＝PF﹣PE＝PF﹣DP＝PF﹣t，FE＝FB，
∴FB＝PF﹣t，
∵PF+FB＝BC＝13，
∴PF+PF﹣t＝13，
∴PF＝，
∵CF＝DN＝NP+DP，
∴（NP+DP）2＝25+NP2，
∵DP＝t，
∴（NP+t）2＝25+NP2，
解得：NP＝，
∴CF＝NP+DP＝+t＝，
∴＝，
解得：t＝；
②当点E在矩形ABCD的外部时，如图④所示：
同①得：PF＝CF，
∵FE＝PE﹣PF＝DP﹣CF＝t﹣CF，FE＝FB，
∴FB＝t﹣CF，
∴BC﹣CF＝t﹣CF，
∴BC＝t，
∴t＝BC＝13（此时P与A重合），
综上，存在这样的t值，使得FE＝FB，t的值为或13；
（3）∵四边形ABCD是长方形，
∴CD＝AB＝5，
分两种情况：
①点E在BC的上方时，过点E作GH⊥BC，交AD于G，交BC于H，如图⑤所示：
则GH⊥AD，EH＝3，四边形CDMN时矩形，
∴GH＝CD＝5，DG＝CH，
∴GE＝GH﹣EH＝5﹣3＝2，
由对称的性质得：CE＝CD＝5，DP＝EP，
在Rt△CHE中，由勾股定理得：CH＝＝＝4，
∴PG＝DG﹣DP＝CH﹣DP＝4﹣DP，
在Rt△PGE中，由勾股定理得：PE2＝GE2+PG2，
即PD2＝22+（4﹣PD）2，
解得：PD＝，
∴t＝；
②点E在BC的下方时，过点E作EK⊥DC交DC的延长线于K，连接DE交CP于R，如图⑥所示：
∵点E到直线B的距离等于3，
∴KC＝3，
∴DK＝CD+KC＝8，
由对称的性质得：CE＝CD＝5，DE⊥CP，DR＝DE，
∴EK＝＝＝4，
∴DE＝＝＝4，
∴DR＝2，
∵CP2＝CD2+DP2，S△CDP＝CD•DP＝CP•DR，
∴CD2•DP2＝（CD2+DP2）•DR2，
即25DP2＝（25+DP2）×（2）2，
解得：DP＝10（负值已舍去），
∴t＝10；
综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，若点E到直线BC的距离等于3，则此时t的值为或10，
故答案为：或10．
相关试卷
江苏省无锡市积余教育集团2023—2024学年九年级上学期期中数学试卷： 这是一份江苏省无锡市积余教育集团2023—2024学年九年级上学期期中数学试卷，文件包含初三数学期中试卷docx、九年级数学答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省无锡市积余教育集团八年级（下）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年江苏省无锡市积余教育集团八年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省无锡市积余教育集团2021-2022学年中考试题猜想数学试卷含解析： 这是一份江苏省无锡市积余教育集团2021-2022学年中考试题猜想数学试卷含解析，共26页。试卷主要包含了化简的结果为等内容，欢迎下载使用。
