江苏省无锡市江阴市长泾片2022-2023学年八年级上学期期期中考试数学试卷(含答案)

2022-2023学年第一学期期中考试试卷

（初二数学）

命题人：  审核人：

一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 下面是科学防控新冠知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（　　）

A．打喷嚏，捂口鼻      B．戴口罩，讲卫生 

C．勤洗手，勤通风     D．喷嚏后，慎揉眼

2. 如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）

A．∠A＝∠D B．AC＝BD C．∠ACB＝∠DBC D．AB＝DC

3. 已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是（　　）

A．8 B．8或10 C．10 D．无法确定

4. 如图，如果把△ABC沿AD折叠，使点C落在边AB上的点E处，那么折痕（线

AD）是△ABC的（　　）

A．中线   B．角平分线 C．高 D．既是中线，又是角平分线

5．下列说法正确的是（　　）

A．形状相同的两个三角形全等          B．角不是轴对称图形 

C．全等的两个三角形一定成轴对称      D．等腰三角形的底角必小于90°

6． 如图，已知△ABC中，∠B＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M、N．若M在PA的垂直平分线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（　　）

A．100° B．105° C．115° D．120°

7．如图，两个正方形的面积分别为64和49，则AC等于（　　）

A．15 B．17 C．23 D．113

8．  如图，在等边△ABC中，AD、CE是△ABC的两条中线，AD＝5，P是AD上一个动点，则PB+PE最小值的是（　　）

A．2.5 B．5 C．7.5 D．10

9． 如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得

△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（　　）

A．5个           B．6个            C．7个             D．8个

10. 已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，

  过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°

③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF．其中正确的是（　　）

A． ①②③          B．①③④        C．①②④     D．①②③④

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11．在等腰三角形ABC中，∠A=120°，则∠B=　   　°．

12．已知△ABC的三边长分别为6、8、10，则最长边上的中线长为　   　．

13．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为　   　．

14．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝BC，E是AC的中点．若AD＝12，DE＝10，则CD的长等于　   　．

15．如图，把一个长方形的纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点M、N的位置，如果∠EFB＝65°，那么∠AEM等于　   　．

16．如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点O，若∠1=39°，则∠AOC的度数为

　   　．

17．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为　   　．

18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，     以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，当CF取最小值时，△BDE 的周长为 　   　．

三、解答题（本大题有8小题，共66分）

19．（本题6分）已知：如图，点E、F在线段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝∠C．

求证：AB=CD．

20．（本题8分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1．

（1）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；

（2）在直线l上找一点P，使PB＝PC；

（要求在直线l上标出点P的位置）

（3）连接PA、PC，计算四边形PABC的面积．

21．(本题8分)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．

（1）按要求作出图形，则∠ADE的度数为　 　；（直接写出结果）

（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．

22．（本题8分）如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．

（1）若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；

（2）EF与AD有怎样的关系？并证明你的结论．

23．（本题8分）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．

（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．

（2）求四边形ABCD的面积．

24．(本题8分）定义：如图，等腰△ABC中，点E，F分别在腰AB，AC上，连结EF，若AE＝CF，则称EF为该等腰三角形的逆等线．

（1）如图1，EF是等腰△ABC的逆等线，若EF⊥AB，AB＝AC＝8，AE＝3，求逆等线EF的长；

（2）如图2，若直角三角形△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC底边BC上的中点，且点E，F分别在AB，AC上，求证：EF为等腰△ABC的逆等线．

25．(本题10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）若点P在BC上且满足PA＝PB，求此时t的值；

（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；

（3）在点P运动过程中，若△ACP为等腰三角形，则此时t＝　   　．

26．（本题10分）过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形．若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”．

（1）下列三角形中，不存在“友好分割线”的是 　    （只填写序号）．

①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为150°的等腰三角形．

（2）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接写出△ABC被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数；

（3）如图2，△ABC中，∠A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝2，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM⊥l，DN⊥l，垂足为M，N．若射线CD为△ABC的“友好分割线”，求CM +DN的最大值．

2022-2023学年第一学期期中数学考试试卷

参考答案与评分标准

2022.11

一、选择题（每题3分） B B C B D  C B B B D

二、填空题（每空3分）

11.30°  12. 5   13.  4   14. 16   15. 50°  16. 78°   17. 5  18. 18   

三、解答题

19. 证明：∵BE＝DF，

∴BE+EF＝DF+EF

即BF＝DE，，………………………（2分）

∵AB∥CD，

∴∠B＝∠D，……………………………………………（3分）

在△ABF和△CDE中，

，

∴△ABF≌△CDE（AAS）………………………………………（5分）

∴AB=CD．………………………………………………………（6分）

20.解：（1）△A1B1C1如图所示；………………………（2分）

（2）如图所示，过BC中点D作DP⊥BC交直线l于点P，此时PB＝PC；

………………………………………………（5分）

（3）S四边形PABC＝S△ABC+S△APC＝×5×2+×5×1＝．………………………（8分）

21.解：（1）作图如图所示．…………………（2分）

∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，

∴∠ADE=90°．

故答案是：90°；………………………………（3分）

（2）∵MN是线段AC的垂直平分线，

∴EA=EC，……………………………………………（4分）

在Rt△ABC中，BC=， 

…………………………………………（6分）

∴C△ABE=AB+BE+EA=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7．…………（8分）

22.解：（1）∵E、F分别是AB、AC的中点，

∴AE＝AB＝5，AF＝AC＝4，………………………………………（1分）

∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，

∴DE＝AB＝5，DF＝AC＝4，………………………………………（3分）

∴四边形AEDF的周长＝AE+ED+DF+FA＝18；………………………………………（4分）

（2）EF垂直平分AD．………………………………………（5分）

证明：∵AD是ABC的高，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵E是AB的中点，

∴DE＝AE，

同理：DF＝AF，

∴E、F在线段AD的垂直平分线上，………………………………………（7分）

∴EF垂直平分AD．………………………………………（8分）

（只有垂直或只有平分得一半分）

23解：（1）∠D是直角．………………………………………（1分）

理由：连接AC，

∵∠B＝90 °，

∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，………………………（2分）

∵DA2+CD2＝242+72＝625，

∴AC2＝DA2+DC2，………………………………………（4分）

∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；………………………………………（5分）

（2）∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，………………………………………（6分）

∴S四边形ABCD＝AB•BC+AD•CD 

＝×20×15+×24×7      

＝234．………………………………………（8分） 

24.解：（1）解：∵EF是等腰△ABC的逆等线，

∴CF＝AE＝3，………………………………………（1分）

又∵AB＝AC＝8，

∴AF＝5，………………………………………（2分）

∵EF⊥AB，

∴EF＝＝＝4；………………………………………（4分）

（2）证明：连接AD，

在等腰Rt△ABC中，点D为底边上中点，

∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∠BAD＝∠C＝45°…………………………………（5分）

又∵∠EDF＝90°，

∴∠EDA＝90°﹣∠ADF＝∠FDC，………………………………………（6分）

在△EDA和△FDC中，

，

∴△EDA≌△FDC（ASA），

∴AE＝CF，………………………………………（7分）

∴EF为等腰△ABC的逆等线．………………………………………（8分）

25.（1）解：（1）如图，设PB＝PA＝x，则PC＝4﹣x，

∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，

∴AC＝3cm，……………………………………………（1分）

在Rt△ACP中，AC2+PC2＝AP2，

∴32+（4﹣x）2＝x2，

解得x＝，

∴BP＝，……………………………………………（2分）

∴t＝＝＝．……………………………………………（3分）

（2）如图，过P作PD⊥AB于D，

BP平分∠ABC，∠C＝90°，

∴PD＝PC，BC＝BD＝4，

∴AD＝5﹣4＝1，

设PD＝PC＝y，则AP＝3﹣y，

在Rt△ADP中，AD2+PD2＝AP2，

∴12+y2＝（3﹣y）2，

解得y＝，

∴CP＝，……………………………………………（4分）

∴t＝＝＝，……………………………………………（5分）

当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，

此时，t＝＝．

综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为或．……………………………………………（6分）

（3）或或或3．（每个数据对得1分）

26解：（1）．② …………………………（1分）

（2）满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：20°，40°，60°，80°或100°；（每个数据对得1分，共5分）

（ 3）解：如图2中，作AG⊥l于点G．

∵CD为AB边上的高，

∴∠CDB＝∠CDA＝90°．

∴∠ACD＝90°﹣∠A＝60°．

∴△CDA不是等腰三角形．

∵CD为△ABC的“友好分割线”，

∴△CDB和△CDA中至少有一个是等腰三角形．

∴△CDB是等腰三角形，且CD＝BD＝2．…………………………（7分）

∵∠A＝30°，

∴AC＝2CD＝4．

∵DN⊥l于N，

∴∠DNE＝∠AGE＝90°．

∵E为AD的中点，

∴BE＝AE．在△DNE和△AGE中，

∴△DNE≌△AGE（ASA），

∴DN＝AG．……………………………………………………（9分）

在Rt△AGF和Rt△CMF中，∠CMF＝∠AGF＝90°，

∴CM≤CF，AG≤AF，∴CM+AG≤CF+AF，即CM+AG≤AC，∴CM+DN≤4，

∴CM+DN的最大值为4．…………………………（10分）