专题09 平面向量【多选题】（原卷版）+解析版

专题09 平面向量

1．下列命题中不正确的是（    ）

A．两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同

B．若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线

C．若非零向量 与 共线，则

D．四边形ABCD是平行四边形，则必有

【答案】ABC

【解析】根据相等向量,相反向量,共线向量的概念逐一分析可得.

A中，相等向量的始点相同，则终点一定也相同，所以A中命题不正确；

B中，向量与共线，只能说明、所在直线平行或在同一条直线上，所以B中命题不正确；

C中，向量 与 共线，说明 与方向相同或相反， 与不一定相等，所以C中命题不正确；[来源:学科网]

D中，因为四边形ABCD是平行四边形，所以与是相反向量，所以，所以D中命题正确.

故选:ABC

2．已知单位向量、，则下面正确的式子是（    ）

A． B．  C． D．

【答案】BD

【解析】根据单位向量的概念和性质，对四个选项进行判断，从而得到答案.

因为向量、为两个单位向量，[来源:Z,xx,k.Com]

所以，当与的夹角不为时，不能得到，，故选项A、C错误；

因为向量、为两个单位向量，所以，所以，都成立，故选项B、D正确.

故选：BD

3．已知向量，，则下列叙述中，不正确是（    ）

A．存在实数x，使 B．存在实数x，使

C．存在实数x，m，使 D．存在实数x，m，使

【答案】ABC

【解析】对选项逐一利用向量平行的坐标表示进行验证，由此确定正确选项.

由，得，无实数解，故A中叙述错误；，由，得，即，无实数解，故B中叙述错误；，由，得，即，无实数解，故心中叙述错误；由，得，即，所以，，故D中叙述正确．

故选：ABC

4．已知向量，，若向量，则可使成立的可能是 （    ）

A．(1,0) B．(0,1) C．(−1,0) D．(0,−1)

【答案】AC

【解析】用表示出向量的坐标,利用平面向量基本定理求出,逐项判断是否满足题意.

若,则,解得,,满足题意;

若,则,解得,,不满足题意;

因为向量与向量共线,所以向量也满足题意.

故选:AC

5．若点D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，且，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．[来源:学科网ZXXK]

C． D．

【答案】ABC

【解析】结合图形，根据向量的加法、减法及数乘运算一一判断。

如图，

在中，，故A正确；

，故B正确；

，，故C正确；

，故D不正确．

故选：ABC

6．已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是(    )

A．且

B．存在相异实数，使

C．（其中实数满足）

D．已知梯形．其中

【答案】AB

【解析】利用向量共线的条件判断A的正误；[来源:Zxxk.Com]

利用平面向量共线定理判断B的正误；

利用共线向量定理判断C的正误；

利用梯形形状判断D的正误；

对于A，向量是两个非零向量，且，

，此时能使共线，故A正确；

对于B，存在相异实数，使，要使非零向量是共线向量，由共线定理即可成立，故B正确；

对于C，（其中实数满足）如果则不能使共线，故C不正确；

对于D，已知梯形中， ，，如果是梯形的上下底，则正确，否则错误；

故选：AB

7．中,，，,在下列命题中,是真命题的有(  )

A．若>0，则为锐角三角形

B．若=0.则为直角三角形[来源:Zxxk.Com]

C．若,则为等腰三角形

D．若,则为直角三角形

【答案】BCD

【解析】由平面向量数量积的运算及余弦定理，逐一检验即可得解．

如图所示，

中，，，，

①若，则是钝角，是钝角三角形，错误；

②若，则，为直角三角形，正确；

③若，，，，取中点，则，所以，即为等腰三角形，正确，

④若，则，即，即，

由余弦定理可得：，即，即，即为直角三角形，即正确，

综合①②③④可得：真命题的有，

故选：

8．已知向量，是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝x+y时，则称有序实数对（x，y）为点P的广义坐标．若点A、B的广义坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），关于下列命题正确的是：（）

A．线段A、B的中点的广义坐标为（）；

B．A、B两点间的距离为；

C．向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1；

D．向量垂直于的充要条件是x1y2+x2y1＝0

【答案】AC

【解析】运用向量的坐标，共线向量，向量垂直的充要条件，两点间的距离公式可得．

根据题意得，由中点坐标公式知A正确；

只有平面直角坐标系中两点间的距离公式B才正确，未必是平面直角坐标系因此B错误；

由向量平行的充要条件得C正确；

与垂直的充要条件为x1x2+y1y2＝0，因此D不正确；

故选：AC．

9．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（  ）

A．若，则点是边的中点

B．若，则点在边的延长线上

C．若，则点是的重心

D．若，且，则的面积是的面积的

【答案】ACD

【解析】判断命题真假；将前面条件进行化简，去判断点M的位置（D中若能判断M位置也是一定得出面积比值）.

A中：,即：

,则点是边的中点

B. ,则点在边的延长线上，所以B错误.

C.

设中点D,则,，由重心性质可知C成立.

D．且设

所以，可知三点共线，所以的面积是面积的

故选择ACD

10．定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有（   ）

A．在方向上的投影为

B．

C．

D．若，则与平行

【答案】BD

【解析】本题首先根据投影的定义判断出是否正确，然后通过即可判断出是否正确，再然后通过取即可判断出是否正确，最后通过计算得出即可判断出是否正确并得出答案．

由向量投影的定义可知，A显然不成立；

，故B成立；

，当时不成立，故C不成立；

由，得，即两向量平行，故D成立．

综上所述，故选BD．