专题05 平面向量多选题(原卷版)+解析版

专题05  平面向量

1．已知向量是同一平面内的两个向量，则下列结论正确的是（    ）

A．若存在实数，使得，则与共线

B．若与共线，则存在实数，使得

C．若与不共线，则对平面内的任一向量，均存在实数，使得

D．若对平面内的任一向量，均存在实数，使得，则与不共线

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据平面向量共线、平面向量的基本定理判断出正确选项.

【详解】

根据平面向量共线的知识可知A选项正确.

对于B选项，若与共线，可能，当为非零向量时，不存在实数，使得，所以B选项错误.

根据平面向量的基本定理可知C、D选项正确.

故选：ACD

【点睛】

本小题主要考查平面向量共线、平面向量的基本定理，属于基础题.

2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABC

【解析】

【分析】

利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题．

【详解】

解：∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，

由向量加法的三角形法则得

，A对；

∵，∴，

∴，

又F为AE的中点，∴，B对；

∴，C对；

∴，D错；

故选：ABC．

【点睛】

本题主要考查向量加法的三角形法则、数乘运算，考查平面向量基本定理，属于基础题．

3．设向量，，则下列叙述错误的是(    )

A．若时，则与的夹角为钝角

B．的最小值为

C．与共线的单位向量只有一个为

D．若，则或

【答案】CD

【解析】

【分析】

根据与的夹角为钝角，得出且与不共线，求出的取值范围，可判断A选项的正误；根据平面向量的模长公式结合二次函数的基本可判断出B选项的正误；根据与共线的单位向量为可判断C选项的正误；利用平面向量的模长公式可判断出D选项的正误.

【详解】

对于A选项，若与的夹角为钝角，则且与不共线，则，

解得且，A选项中的命题正确；

对于B选项，，当且仅当时，等号成立，B选项中的命题正确；

对于C选项，，与共线的单位向量为，即与共线的单位向量为或，C选项中的命题错误；

对于D选项，，即，解得，D选项中的命题错误.

故选：CD.

【点睛】

本题考查向量有关命题真假的判断，涉及向量的夹角、模长以及单位向量等相关知识，考查推理能力，属于中等题.

4．下列命题中，是真命题的是（    ）

A．已知非零向量，若则

B．若则

C．在中，“”是“”的充要条件

D．若定义在R上的函数是奇函数，则也是奇函数

【答案】ABD

【解析】

【分析】

对A，对等式两边平方；对B，全称命题的否定是特称命题；对C，两边平方可推得或；对D，由奇函数的定义可得也为奇函数.

【详解】

对A，，所以，故A正确；

对B，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故B正确；

对C，，

所以或，显然不是充要条件，故C错误；

对D，设函数，其定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数，故D正确；

故选：ABD.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积与模的关系、全称命题的否定、解三角形与三角恒等变换、奇函数的定义等知识，考查逻辑推理能力，注意对C选项中得到的是的两种情况.

5．已知向量，，若向量，则可使成立的可能是 （    ）

A．(1,0) B．(0,1) C．(−1,0) D．(0,−1)

【答案】AC

【解析】

【分析】

用表示出向量的坐标,利用平面向量基本定理求出,逐项判断是否满足题意.

【详解】

若,则,解得,,满足题意;

若,则,解得,,不满足题意;

因为向量与向量共线,所以向量也满足题意.

故选:AC

【点睛】

本题考查平面向量基本定理的应用,属于基础题.

6．已知单位向量、，则下面正确的式子是（    ）

A． B．  C． D．

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据单位向量的概念和性质，对四个选项进行判断，从而得到答案.

【详解】

因为向量、为两个单位向量，

所以，当与的夹角不为时，不能得到，，故选项A、C错误；

因为向量、为两个单位向量，所以，所以，都成立，故选项B、D正确.

故选：BD

【点睛】

本题考查单位向量的概念和性质，向量的数量积运算，属于简单题.

7．在平面上的点，，，，下面结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据给出的点坐标，分别写出四个选项中对应的向量的坐标，由向量的坐标运算进行判断，从而得到答案.

【详解】

点，，，

选项A中，，，，所以，故错误；

选项B中，，，，所以成立，故正确；

选项C中，，，，所以成立，故正确；

选项D中，，，，所以，故错误.

故选：BC.

【点睛】

本题考查平面向量线性运算的坐标运算，属于简单题.

8．已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．在方向上的投影为

【答案】BCD

【解析】

【分析】

以E为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.

【详解】

由题E为AB中点，则，

以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

所以，，

设，∥，

所以，解得：，

即O是CE中点，，所以选项B正确；

，所以选项C正确；

因为，，所以选项A错误；

，，

在方向上的投影为，所以选项D正确.

故选：BCD

【点睛】

此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.

9．已知向量，，，则可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】

【分析】

设出的坐标，根据已知条件列方程组，解方程组求得的可能取值.

【详解】

设，依题意有，解得或.

故选：BD

【点睛】

本小题主要考查平面向量模的坐标运算，考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题.

10．已知非零向量，，，满足，，则以下结论正确的是（    ）

A．若与不共线，与共线，则

B．若与不共线，与共线，则

C．存在k，使得与不共线，与共线

D．不存在k，使得与不共线，与共线

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据向量共线的充要条件判断即可。

【详解】

非零向量，，，满足，

若与不共线，与共线，可得，即，，解得．所以A正确，B错误．

若与共线，可得，，，

可得与共线，所以C错误，D正确．

故选:AD．

【点睛】

本题考查向量共线的充要条件、平面向量基本定理，属于基础题。

11．已知向量，，函数，下列命题，说法正确的选项是（    ）

A．的最小正周期为

B．的图象关于点对称

C．的图象关于直线对称

D．的单调增区间为

【答案】AB

【解析】

【分析】

由数量积运算计算出并化为一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质验证各选择支．

【详解】

，

其最小正周期是，A正确；

又，因此图象关于点对称，B正确；

得，因此是图象的一条对称轴，C错误；

由，得，即增区间，，D错误．

故选：AB．

【点睛】

本题考查平面向量的数量积，考查三角函数的图象与性质．三角函数问题常常把函数化为形式，然后利用正弦函数的性质求解．

12．已知向量，则与共线的单位向量（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据向量数乘的概念，可知单位向量的求法， ，即可求出．

【详解】

设与共线的单位向量为，所以，因而，得到．

故，而，所以或．

故选：AC．

【点睛】

本题主要考查单位向量的求法以及共线向量定理的应用．

13．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（  ）

A．若，则点是边的中点

B．若，则点在边的延长线上

C．若，则点是的重心

D．若，且，则的面积是的面积的

【答案】ACD

【解析】

【分析】

判断命题真假；将前面条件进行化简，去判断点M的位置（D中若能判断M位置也是一定得出面积比值）.

【详解】

A中：,即：

,则点是边的中点

B. ,则点在边的延长线上，所以B错误.

C.

设中点D,则,，由重心性质可知C成立.

D．且设

所以，可知三点共线，所以的面积是面积的

故选择ACD

【点睛】

通过向量加减运算，进行化简去判断点M的位置，难度较大.

14．对于任意的平面向量，下列说法错误的是（  ）

A．若且，则

B．

C．若，且，则

D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

A．与任何向量都共线,这里没有传递性；B中是向量数量积的分配律，所以成立.而没有结合律所以D错误，向量和数是有差别，不能两边除同一向量.

【详解】

A. ,命题不成立；C.若和都垂直，显然最少在模长方面没有任何关系，所以命题不成立；

D.

很多时候是不成立的，如上图：

若则与是一个分别和、共线的向量，显然命题不成立

B是分配律显然成立的.

所以答案是ACD

【点睛】

考查向量的运算法则，不可忽略，向量运算不能乱套用.

15．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】

【分析】

由平面向量的数量积运算可得：，=，

再结合直角三角形中的射影定理可得选项A,B正确，由的符号可得选项C错误，由三角形全等可得选项D正确，综合可得解.

【详解】

解：由,由射影定理可得，

即选项A正确，

由=,由射影定理可得，

即选项B正确，

由,又，即选项C错误，

由图可知，所以，

由选项A,B可得 ，即选项D正确，

故选ABD.

【点睛】

本题考查了平面向量的数量积运算、直角三角形中的射影定理及三角形全等，属中档题.