专题11 三角恒等变换与解三角形【多选题】（原卷版）+解析版

专题11 三角恒等变换与解三角形

1．下面各式中，正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】根据两角和与差的正弦公式，直接化简，即可求出结果.

∵，∴A正确；

∵，∴B正确；[来源:学科网ZXXK]

∵，∴C正确；

∵，∴D不正确.

故选ABC

2．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（   ）

A． B．是钝角三角形

C．的最大内角是最小内角的倍 D．若，则外接圆半径为

【答案】ACD

【解析】

由已知可设，求得，利用正弦定理可得A正确；利用余弦定理可得，三角形中的最大角为锐角，可得B错误；利用余弦定理可得，利用二倍角的余弦公式可得：，即可判断C正确，利用正弦定理即可判断D正确；问题得解.

因为

所以可设：（其中），解得：

所以，所以A正确；

由上可知：边最大，所以三角形中角最大，[来源:Zxxk.Com]

又，所以角为锐角，所以B错误；

由上可知：边最小，所以三角形中角最小，[来源:学科网ZXXK]

又，

所以,所以

由三角形中角最大且角为锐角可得：，

所以，所以C正确；

由正弦定理得：，又

所以，解得：，所以D正确；

故选：ACD

3．设函数，则(    )

A．是偶函数 B．在单调递减

C．最大值为2 D．其图像关于直线对称

【答案】ABD

【解析】利用辅助角公式、诱导公式化简函数的解析式，然后根据余弦函数的性质对四个选项逐一判断即可.

.

选项A：，它是偶函数，本说法正确；

选项B：，所以，因此是单调递减，本说法正确；

选项C：的最大值为，本说法不正确；

选项D：当时，，因此当时，函数有最小值，因此函数图象关于对称，本说法正确.

故选：ABD

4．下面选项正确的有（   ）

A．存在实数，使；

B．若是锐角的内角，则；

C．函数是偶函数；

D．函数的图象向右平移个单位，得到的图象.

【答案】ABC

【解析】依次判断各个选项，根据的值域可知存在的情况，则正确；根据，结合角的范围和的单调性可得，则正确；利用诱导公式化简函数解析式，利用偶函数定义可判断得到正确；根据三角函数左右平移求得平移后的解析式，可知错误.

选项：，则

又    存在，使得，可知正确；

选项：为锐角三角形    ，即

    ，又且在上单调递增

，可知正确；

选项：，则，则为偶函数，可知正确；

选项：向右平移个单位得：，可知错误.

5．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．最小正周期是 B．是偶函数 C．在上递增

D．是图象的一条对称轴 E.的值域是

【答案】ABCE

【解析】利用同角三角函数、二倍角公式可化简函数为；根据余弦型函数最小正周期、奇偶性、单调性、对称轴和值域的求解方法依次判断各个选项即可.

最小正周期，正确；

    为偶函数，正确；

当时，，此时单调递增    单调递增，正确；

当时，，不是的对称轴，错误；

    ，即值域为，正确.

故选：

6．已知，，，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C．

D． E.

【答案】AC

【解析】根据题意，得到，两式分别平方相加，根据两角差的余弦公式，得到，可判断AB；根据，结合题意，得到，求出，即可判断出结果.

由已知，得.

两式分别平方相加，得.

∴，∴，∴A正确；B错误.

∵，∴，∴，∴C正确，D、E错误，

故选：AC.

7．在△ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．,则

【答案】ABD

【解析】利用正弦定理和同角关系对每一个选项分析判断得解.

A. 若，则所以，所以该选项是正确的；

B. 若，则，所以该选项是正确的；

C. 若，设,所以该选项错误.

D. ,则所以,故该选项正确.

故选：A,B,D.

8．已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（    ）

A．若，则一定是等边三角形

B．若，则一定是等腰三角形

C．若，则一定是等腰三角形

D．若，则一定是锐角三角形

【答案】AC

【解析】利用正弦定理可得，可判断；由正弦定理可得，可判断；由正弦定理与诱导公式可得，可判断；由余弦定理可得角为锐角，角不一定是锐角，可判断.

由，利用正弦定理可得，即，是等边三角形，正确；

由正弦定理可得，或，

是等腰或直角三角形，不正确；

由正弦定理可得，即，

则等腰三角形，正确；[来源:学,科,网]

由正弦定理可得，角为锐角，角不一定是锐角，不正确，故选AC.

9．中,，，,在下列命题中,是真命题的有(  )

A．若>0，则为锐角三角形

B．若=0.则为直角三角形

C．若,则为等腰三角形

D．若,则为直角三角形

【答案】BCD

【解析】由平面向量数量积的运算及余弦定理，逐一检验即可得解．

如图所示，

中，，，，

①若，则是钝角，是钝角三角形，错误；

②若，则，为直角三角形，正确；

③若，，，，取中点，则，所以，即为等腰三角形，正确，

④若，则，即，即，

由余弦定理可得：，即，即，即为直角三角形，即正确，

综合①②③④可得：真命题的有，

故选：

10．将函数的图像向右平移个单位,得到的图像关于轴对称,则（    ）

A．的周期的最大值为 B．的周期的最大值为 C．当的周期取最大值时,平移后的函数在上单调递增 D．当的周期取最大值时,平移后的函数在上单调递减

【答案】AC

【解析】将函数利用辅助角公式变形后，利用平移后函数图象的特点求解出的最小值，此时有周期的最大值，再据此分析出平移后函数在上的单调性.

因为，

所以向右平移个单位后得到，

又因为平移后得到的函数图象关于轴对称，所以，

所以，所以，所以，

又因为，令，

所以，当时，

所以在上单调递增.
故选：AC.

[来源:学科网ZXXK]