专题07 不等式【多选题】（原卷版）+解析版

专题07 不等式

1．在下列函数中，最小值是2的是（    ）

A． B．

C．， D．

【答案】BD

【解析】对A，B，C的最小值运用基本不等式求解，对D的最小值利用二次函数的知识求解.[来源:学科网ZXXK]

对A，若，则最小值不为，故A错误；

对B，，等号成立当且仅当，故B正确；

对C，对，，但等号成立需，方程无解，故C错误；

对D，，当时取等，故D正确；

 故选：BD.

2．若，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】根据不等式的性质进行判断.

解：，

由反比例函数的性质可知，

，故正确；

，且，根据不等式的同向可加性知，即正确，

对于，，且，无法确定与的大小关系，

当，时，

故错误:

，

[来源:Z&xx&k.Com]

，故错误；

综上可得，正确的有

故选：

3．已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（     ）.

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】ABC

【解析】根据二次函数的图象分析列式可得,

设，其图像为开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示.

若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为,则

解得，.

又，故可以为6，7，8.

故选:ABC

4．已知，，满足，且，那么下列各式中一定成立（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】根据不等式的性质判断．需对每个选项进行判断．

∵，且，∴．

∴．，，，

故选：BCD．

5．不等式的解集为，则能使不等式成立的的集合为（     ）.

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】根据不等式的解集为,可得,代入可解得或,根据题意选.

因为不等式的解集为，

所以和是方程的两根且，

所以，，

所以,,

由，得,

得,

因为,所以,

所以或,

所以不等式的解集为或,

.故选:BC.

6．已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】A选项，利用基本不等式和可得出该不等式的正误；B选项，将不等式左边展开，然后利用基本不等式可验证该选项中的不等式是否成立；C选项，利用基本不等式以及可验证该选项中的不等式是否成立；D选项，取特殊值验证该选项中的不等式是否成立.

对于A，，当且仅当时等号同时成立；对于B，，当且仅当时取等号；

对于C，，当且仅当时取等号；

对于D，当，时，，，，

所以.

故选：AD.

7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（    ）

A．若且，则 B．若，则[来源:学&科&网Z&X&X&K]

C．若，则 D．若且，则

【答案】BC

【解析】．取，，即可判断出正误；．若，作差，即可比较出大小关系；．若，作出，即可比较出大小关系；[来源:学+科+网Z+X+X+K]

．若且，则，，而可能为0，即可比较出大小关系．

．取，，则不成立．

．若，则，，因此正确．

．若，则，，，正确；

．若且，则，，而可能为0，因此不正确．

故选：．

8．小王从甲地到乙地往返的速度分別为和，其全程的平均速度为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】设甲、乙两地的距离为，计算出全程的平均速度，然后利用基本不等式得出与和的大小关系，并利用作差法比较与的大小关系，从而得出正确选项.[来源:学#科#网]

设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为，.

，由基本不等式可得，，

另一方面，，

，则.

故选：AD.

9．已知，则的值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【解析】,有则且,分和打开 ，然后用重要不等式求出其最值，从而得到答案.

由，得，则且.

当时, =

=.

当且仅当即 时取等号.

当时, =

=.

当且仅当即 时取等号.

综上，.

故选：C D.

10．设，且，那么（    ）

A．有最小值 B．有最大值

C．有最大值 D．有最小值

【答案】AD

【解析】由题可知,由基本不等式可得.

不等式可化为,可解得的取值范围,即可解答,然后根据可求得的范围.

解：①由题已知得：,

故有,

解得或（舍）,

即（当且仅当时取等号）,A正确;

②因为,

所以,

又因为

,

有最小值,D正确.

故选：AD