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福建省福州市八县（市、区）一中2022-2023学年高三数学上学期期中联考试题（Word版附答案）
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这是一份福建省福州市八县（市、区）一中2022-2023学年高三数学上学期期中联考试题（Word版附答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校： 高三年 班 号 姓名： 准考证号：
2022—2023学年度第一学期八县(市、区)一中期中联考
高中三年数学科试卷
命题学校：长乐一中 命题教师：高三集备组
考试时间：11月9日 完卷时间：120分钟 满 分：150分
一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若z＝1+i，则 |i z+3| ＝（ ）
A． B． C． D．
2．设全集为R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，B＝{x|y＝}，则A∩(∁R B)＝( )
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|0＜x＜1} C． D．{x|0＜x＜2}
3．已知f（x）＝ex，若a＞0，b＞0，且f（a）•f（2b）＝e3，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．5
4．已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，那么下列命题正确的是（ ）
y
P(-1,4)
x
A．如果α∥β，m∥α，l∥β，那么l∥m
B．如果l∥α，m⊂α，且l，m共面，那么l∥m
C．如果α⊥β，l⊥α，那么l∥β
D．如果l⊥m，l⊥α，那么m∥α
5．已知角θ的大小如图所示，则＝（ ）
A．﹣ B． C．﹣4 D．4
6．2022年10月16日中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，这是全党全国各族人民在全面建设社会主义现代化新征程的一次盛会，其中《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗
的长a1，a2，a3，a4，a5 （单位：cm）成等差数列，对应的宽为b1，b2，b3，b4，b5（单位：cm ）
且每种规格的党旗长与宽之比都相等．已知a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝（ ）
A．160 B．128 C．96 D．64
7．已知向量满足＝5，＝6，＝﹣6，则cos ＜，＞ ＝（ ）
高三数学 第 1 页 共4页 高三数学 第2 页 共4页
A．﹣ B．﹣ C． D．
8．已知实数满足，（其中是自然对数的底数），则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得2分）
9．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点中心对称，则（ ）
A．f（x）在区间单调递减
B．f（x）在区间内有两个极值点
C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴
D．函数f（x）的图像向右平移个单位长度可以到到函数g（x）＝sin（2x +）
10．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）+f（x+2）＝2 ，若f（x）的图象关于点（1，1）
对称，f（0）＝0，则（ ）
A．f（2）＝4 B．f（x）的图象关于直线x＝2对称
C．f（x）＝f（x+4） D．f（2k）＝12
11．如图，已知正方体ABCD—的棱长为1，P为正方形
底面ABCD内一动点，则下列结论正确的有( )
A． 三棱锥-的体积为定值
B． 存在点P，使得
C． 若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹是线段AC
D．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面α垂直于平面，则
平面α截正方体的截面周长为3
12．已知函数f（x）＝ex ln（1+x），则以下判断正确的是（ ）
A．函数y＝f（x）的零点是（0，0）
B．不等式f（x）>0的解集是（0，+∞）．
C．设g（x）＝f′（x），则g（x）在[0，+∞）上不是单调函数
D．对任意的s，t∈（0，+∞），都有f（s+t）＞f（s）+f（t）．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设a，b∈R，写出一个使a＜b和同时成立的充分条件，可以是 ．
14．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为 ．
15． 在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4， 点M为边AB的中点， 点P在边BC上，
则的最小值为 ．
16． 如图，在直三棱柱中，,，
，，点E,F分别是AA1，AB上的动点，
那么的长度最小值是 ，
此时三棱锥外接球的表面积为 .
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分10分）在等差数列中，其前项和为且满足 （1）求通项公式； （2）设，的前项和为，证明：
18.（本小题满分12分） 在锐角△ABC中，b＝， ，
（1）求角B； （2）求△ABC的周长l的取值范围．
① ，且；
②，f（B）＝ ;
③cosB（2a﹣c）＝bcosC；
在这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并对其进行求解．
（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．）
B
C
D
A
P
19.（本小题满分12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，
CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1， AB＝2，DP＝．
（1） 证明：BD⊥PA；
（2） 点F在线段PD上，试确定点F的位置使BF
与平面PAB所成的角的正弦值为．
高三数学 第 3 页 共4页 高三数学 第 4 页 共4页
20. （本小题满分12分）记的内角的对边分别为，且 ，(1) 求的值; (2)若边b=4，当角最大时，求的面积.
21. （本小题满分12分）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测
出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，如图所示．当车速为v(米/秒)，且v∈(0，33.3]时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，k∈[1，2])
阶段
0. 准备
1. 人的反应
2. 系统反应
3. 制动
时间
t0
t1=0.8秒
t2=0.2秒
t3
距离
d0=10米
d1
d2
(1) 请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式d(v)，并求当k＝2，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；
(2) 若要求汽车不论在何种路面情况下行驶(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，k∈[1，2])，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？
22. （本小题满分12分） 已知函数，
（1）求函数y＝f（x）在处的切线方程；
（2）若函数y＝f（x）在区间内有唯一极值点，解答以下问题：
（I）求实数的取值范围； (II)证明：在区间内有唯一零点，且
2022-2023学年度第一学期八县（市）一中期中试卷
高中三年数学科试卷评分细则
一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1---4: DBBB 5---8: CBDA
二、选择题题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得2分）
9. AD 10.BC 11. ACD 12.BD
12题D选项证明
设g（x）＝，，
设m（x）＝ex，n（x）＝ln（x+1）+，则g（x）＝m（x）•n（x），
由指数函数的性质得m（x）＝ex上 （0，+∞）上是增函数，且m（x）＝ex＞0，
n′（x）＝＝，当x∈（0，+∞）时，n′（x）＞0，n（x）单调递增，
且当x∈（0，+∞）时，n（x）＝ln（x+1）+＞0，∴g（x）在[0，+∞）单调递增．
又g（0）＝1，故g（x）＞0在[0，+∞）恒成立，故f（x）在[0，+∞）单调递增，
设w（x）＝f（x+t）﹣f（x），w′（x）＝f′（x+t）﹣f′（x），
由（Ⅱ）有g（x）在[0，+∞）单调递增，又因为x+t＞x，所以f′（x+t）＞f′（x），
故w（x）单调递增，又因为s＞0，故w（s）＞w（0），
即：f（s+t）﹣f（s）＞f（t）﹣f（0），又因为函数f（0）＝0，故f（s+t）＞f（s）+f（t），得证．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. a＝﹣1，b＝1，（不唯一，满足a＜0＜b的均可） 14. 39
15. 16. 44
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分10分）
解：(1)设等差数列的公差为，，
所以，可得，………… ………………2分
两式相减可得：，所以，………… …………………………………………………3分
所以，可得：； ……………………………………5分
（2）由(1)知：，所以， ……………………………………6分
…………………………………………………………………………8分
， ………………………………………………………9分
，原命题得证． ………………………………………………………10分
18．（本小题满分12分）
解：（1）选①，∵，且，
∴，即cosB＝，∵，∴B＝．……6分
(没有注明角的范围的扣1分)
选②，∵cosB（2a﹣c）＝bcosC，
∴由正弦定理可得，cosB（2sinA﹣sinC）＝sinBcosC，
∴2sinAcosB＝sinBcosC+cosBsinC＝sin（B+C）＝sinA，∵sinA＞0，
∴2cosB＝1，即cosB＝，∵，∴B＝． ……………………………6分
(没有注明角的范围的扣1分)
选③，＝
＝＝
＝＝，
∵f（B）＝，∴， ∵，∴B＝．…………6分
(没有注明角的范围的扣1分)
（2）由正弦定理可得，， …………………………………7分
则△ABC的周长l＝a+c+b＝4sinA+4sinC+2
＝
＝
＝， …………………………………9分
∵，解得， ………………………………………10分
∴，∴，
∴＜≤3， ………………………………………11分
故△ABC的周长l的取值范围为（3+，3]． ……………………………………12分
19．（本小题满分12分）
证明：（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴PD⊥BD， …………………………1分
取AB中点E，连接DE， ∵AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，
∴∠DAB＝60°，又∵AE ＝AB＝AD＝1，∴DE＝1，∴DE＝， ………………………3分
∴△ABD为直角三角形，且AB为斜边， ∴BD⊥AD， ………………………………4分
又PD∩AD＝D，PD⊂面PAD，AD⊂面PAD，
∴BD⊥面PAD，又PA⊂面PAD，∴BD⊥PA； ………………………………6分
（2）由（1）知，PD，AD，BD两两互相垂直，分别以DA,DB,DP为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，
， 则，
…………………… ………………………………8分
设平面PAB的一个法向量为，
则，则可取， …………9分
设点F的坐标是，则BF的坐标是
设BF与平面PAB所成的角为θ，
则
解得 ……………………………………………………………………11分
点F在线段PD上，则，即点F在PD 的中点处满足题意 ……………………12分
若有其他解法，可酌情给分！
20．（本小题满分12分）
解：（1）∵，由正弦定理得：， ………………1分
∵，
∴， ∴， ………………4分
方程两边同时除以得： ∴， ………………6分
（2）方法一：∵
当且仅当，即时等号成立，此时A取到最大值. ………………9分
∵， ∴， 则，
由正弦定理得：，即，解得， ………………11分
当角A最大时， ………………12分
方法二：∵，∴，∴，∴，
∴，
当且仅当，即时等号成立，此时A取到最大值为， ………………10分
∵， ∴，
∴当A最大时， ………………12分
若有其他解法，可酌情给分！
21．（本小题满分12分）
解：(1) 由题意得d(v)＝d0＋d1＋d2＋d3，
所以d(v)＝10＋0.8v＋0.2v＋＝10＋v＋ ……………………………………2分
当k＝2时，d(v)＝10＋v＋， ……………………………………3分
t(v)＝＋＋1≥1＋2＝1＋1＝2(秒)． ……………………………………5分
即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒． ………………………………6分
(2) 根据题意要求对于任意k∈[1，2]，d(v)<50恒成立．
即对于任意k∈[1，2]，10＋v＋<50，即 < － 恒成立．……………………8分
由k∈[1，2]，得∈[，]．
所以<－，即v2＋20v－800<0，解得－40
22． （本小题满分12分）
解：(1)
切线方程： 即 ………………………………2分
(2)，当时，，，
（I）①当时，，在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；
②当时，显然在上递增，又因为，，
所以在上有唯一零点，所以，；，，所以 在上有唯一极值点，符合题意．综上，的取值范围是…………6分
另解：等价于在内有唯一解，即有唯一解
(若有其他解法，可酌情给分！)
(II)由（I）知，所以时，，
所以，，单调递减；，，单调递增，
所以时，，则，
又因为，所以在上有唯一零点，即在上有唯一零点.
因为，由(1)知，所以，
则， ……………………………………………9分
构造，，
所以，
记，则，
显然在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以， ……………………………………………11分
所以，所以在上单调递增，所以， 所以，
由前面讨论可知：，，且在单调递增，所以
………………………………………………12分
若有其他解法，可酌情给分！
学校： 高三年 班 号 姓名： 准考证号：
2022—2023学年度第一学期八县(市、区)一中期中联考
高中三年数学科试卷
命题学校：长乐一中 命题教师：高三集备组
考试时间：11月9日 完卷时间：120分钟 满 分：150分
一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若z＝1+i，则 |i z+3| ＝（ ）
A． B． C． D．
2．设全集为R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，B＝{x|y＝}，则A∩(∁R B)＝( )
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|0＜x＜1} C． D．{x|0＜x＜2}
3．已知f（x）＝ex，若a＞0，b＞0，且f（a）•f（2b）＝e3，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．5
4．已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，那么下列命题正确的是（ ）
y
P(-1,4)
x
A．如果α∥β，m∥α，l∥β，那么l∥m
B．如果l∥α，m⊂α，且l，m共面，那么l∥m
C．如果α⊥β，l⊥α，那么l∥β
D．如果l⊥m，l⊥α，那么m∥α
5．已知角θ的大小如图所示，则＝（ ）
A．﹣ B． C．﹣4 D．4
6．2022年10月16日中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，这是全党全国各族人民在全面建设社会主义现代化新征程的一次盛会，其中《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗
的长a1，a2，a3，a4，a5 （单位：cm）成等差数列，对应的宽为b1，b2，b3，b4，b5（单位：cm ）
且每种规格的党旗长与宽之比都相等．已知a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝（ ）
A．160 B．128 C．96 D．64
7．已知向量满足＝5，＝6，＝﹣6，则cos ＜，＞ ＝（ ）
高三数学 第 1 页 共4页 高三数学 第2 页 共4页
A．﹣ B．﹣ C． D．
8．已知实数满足，（其中是自然对数的底数），则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得2分）
9．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点中心对称，则（ ）
A．f（x）在区间单调递减
B．f（x）在区间内有两个极值点
C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴
D．函数f（x）的图像向右平移个单位长度可以到到函数g（x）＝sin（2x +）
10．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）+f（x+2）＝2 ，若f（x）的图象关于点（1，1）
对称，f（0）＝0，则（ ）
A．f（2）＝4 B．f（x）的图象关于直线x＝2对称
C．f（x）＝f（x+4） D．f（2k）＝12
11．如图，已知正方体ABCD—的棱长为1，P为正方形
底面ABCD内一动点，则下列结论正确的有( )
A． 三棱锥-的体积为定值
B． 存在点P，使得
C． 若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹是线段AC
D．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面α垂直于平面，则
平面α截正方体的截面周长为3
12．已知函数f（x）＝ex ln（1+x），则以下判断正确的是（ ）
A．函数y＝f（x）的零点是（0，0）
B．不等式f（x）>0的解集是（0，+∞）．
C．设g（x）＝f′（x），则g（x）在[0，+∞）上不是单调函数
D．对任意的s，t∈（0，+∞），都有f（s+t）＞f（s）+f（t）．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设a，b∈R，写出一个使a＜b和同时成立的充分条件，可以是 ．
14．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为 ．
15． 在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4， 点M为边AB的中点， 点P在边BC上，
则的最小值为 ．
16． 如图，在直三棱柱中，,，
，，点E,F分别是AA1，AB上的动点，
那么的长度最小值是 ，
此时三棱锥外接球的表面积为 .
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分10分）在等差数列中，其前项和为且满足 （1）求通项公式； （2）设，的前项和为，证明：
18.（本小题满分12分） 在锐角△ABC中，b＝， ，
（1）求角B； （2）求△ABC的周长l的取值范围．
① ，且；
②，f（B）＝ ;
③cosB（2a﹣c）＝bcosC；
在这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并对其进行求解．
（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．）
B
C
D
A
P
19.（本小题满分12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，
CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1， AB＝2，DP＝．
（1） 证明：BD⊥PA；
（2） 点F在线段PD上，试确定点F的位置使BF
与平面PAB所成的角的正弦值为．
高三数学 第 3 页 共4页 高三数学 第 4 页 共4页
20. （本小题满分12分）记的内角的对边分别为，且 ，(1) 求的值; (2)若边b=4，当角最大时，求的面积.
21. （本小题满分12分）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测
出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，如图所示．当车速为v(米/秒)，且v∈(0，33.3]时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，k∈[1，2])
阶段
0. 准备
1. 人的反应
2. 系统反应
3. 制动
时间
t0
t1=0.8秒
t2=0.2秒
t3
距离
d0=10米
d1
d2
(1) 请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式d(v)，并求当k＝2，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；
(2) 若要求汽车不论在何种路面情况下行驶(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，k∈[1，2])，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？
22. （本小题满分12分） 已知函数，
（1）求函数y＝f（x）在处的切线方程；
（2）若函数y＝f（x）在区间内有唯一极值点，解答以下问题：
（I）求实数的取值范围； (II)证明：在区间内有唯一零点，且
2022-2023学年度第一学期八县（市）一中期中试卷
高中三年数学科试卷评分细则
一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1---4: DBBB 5---8: CBDA
二、选择题题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得2分）
9. AD 10.BC 11. ACD 12.BD
12题D选项证明
设g（x）＝，，
设m（x）＝ex，n（x）＝ln（x+1）+，则g（x）＝m（x）•n（x），
由指数函数的性质得m（x）＝ex上 （0，+∞）上是增函数，且m（x）＝ex＞0，
n′（x）＝＝，当x∈（0，+∞）时，n′（x）＞0，n（x）单调递增，
且当x∈（0，+∞）时，n（x）＝ln（x+1）+＞0，∴g（x）在[0，+∞）单调递增．
又g（0）＝1，故g（x）＞0在[0，+∞）恒成立，故f（x）在[0，+∞）单调递增，
设w（x）＝f（x+t）﹣f（x），w′（x）＝f′（x+t）﹣f′（x），
由（Ⅱ）有g（x）在[0，+∞）单调递增，又因为x+t＞x，所以f′（x+t）＞f′（x），
故w（x）单调递增，又因为s＞0，故w（s）＞w（0），
即：f（s+t）﹣f（s）＞f（t）﹣f（0），又因为函数f（0）＝0，故f（s+t）＞f（s）+f（t），得证．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. a＝﹣1，b＝1，（不唯一，满足a＜0＜b的均可） 14. 39
15. 16. 44
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分10分）
解：(1)设等差数列的公差为，，
所以，可得，………… ………………2分
两式相减可得：，所以，………… …………………………………………………3分
所以，可得：； ……………………………………5分
（2）由(1)知：，所以， ……………………………………6分
…………………………………………………………………………8分
， ………………………………………………………9分
，原命题得证． ………………………………………………………10分
18．（本小题满分12分）
解：（1）选①，∵，且，
∴，即cosB＝，∵，∴B＝．……6分
(没有注明角的范围的扣1分)
选②，∵cosB（2a﹣c）＝bcosC，
∴由正弦定理可得，cosB（2sinA﹣sinC）＝sinBcosC，
∴2sinAcosB＝sinBcosC+cosBsinC＝sin（B+C）＝sinA，∵sinA＞0，
∴2cosB＝1，即cosB＝，∵，∴B＝． ……………………………6分
(没有注明角的范围的扣1分)
选③，＝
＝＝
＝＝，
∵f（B）＝，∴， ∵，∴B＝．…………6分
(没有注明角的范围的扣1分)
（2）由正弦定理可得，， …………………………………7分
则△ABC的周长l＝a+c+b＝4sinA+4sinC+2
＝
＝
＝， …………………………………9分
∵，解得， ………………………………………10分
∴，∴，
∴＜≤3， ………………………………………11分
故△ABC的周长l的取值范围为（3+，3]． ……………………………………12分
19．（本小题满分12分）
证明：（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴PD⊥BD， …………………………1分
取AB中点E，连接DE， ∵AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，
∴∠DAB＝60°，又∵AE ＝AB＝AD＝1，∴DE＝1，∴DE＝， ………………………3分
∴△ABD为直角三角形，且AB为斜边， ∴BD⊥AD， ………………………………4分
又PD∩AD＝D，PD⊂面PAD，AD⊂面PAD，
∴BD⊥面PAD，又PA⊂面PAD，∴BD⊥PA； ………………………………6分
（2）由（1）知，PD，AD，BD两两互相垂直，分别以DA,DB,DP为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，
， 则，
…………………… ………………………………8分
设平面PAB的一个法向量为，
则，则可取， …………9分
设点F的坐标是，则BF的坐标是
设BF与平面PAB所成的角为θ，
则
解得 ……………………………………………………………………11分
点F在线段PD上，则，即点F在PD 的中点处满足题意 ……………………12分
若有其他解法，可酌情给分！
20．（本小题满分12分）
解：（1）∵，由正弦定理得：， ………………1分
∵，
∴， ∴， ………………4分
方程两边同时除以得： ∴， ………………6分
（2）方法一：∵
当且仅当，即时等号成立，此时A取到最大值. ………………9分
∵， ∴， 则，
由正弦定理得：，即，解得， ………………11分
当角A最大时， ………………12分
方法二：∵，∴，∴，∴，
∴，
当且仅当，即时等号成立，此时A取到最大值为， ………………10分
∵， ∴，
∴当A最大时， ………………12分
若有其他解法，可酌情给分！
21．（本小题满分12分）
解：(1) 由题意得d(v)＝d0＋d1＋d2＋d3，
所以d(v)＝10＋0.8v＋0.2v＋＝10＋v＋ ……………………………………2分
当k＝2时，d(v)＝10＋v＋， ……………………………………3分
t(v)＝＋＋1≥1＋2＝1＋1＝2(秒)． ……………………………………5分
即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒． ………………………………6分
(2) 根据题意要求对于任意k∈[1，2]，d(v)<50恒成立．
即对于任意k∈[1，2]，10＋v＋<50，即 < － 恒成立．……………………8分
由k∈[1，2]，得∈[，]．
所以<－，即v2＋20v－800<0，解得－40
22． （本小题满分12分）
解：(1)
切线方程： 即 ………………………………2分
(2)，当时，，，
（I）①当时，，在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；
②当时，显然在上递增，又因为，，
所以在上有唯一零点，所以，；，，所以 在上有唯一极值点，符合题意．综上，的取值范围是…………6分
另解：等价于在内有唯一解，即有唯一解
(若有其他解法，可酌情给分！)
(II)由（I）知，所以时，，
所以，，单调递减；，，单调递增，
所以时，，则，
又因为，所以在上有唯一零点，即在上有唯一零点.
因为，由(1)知，所以，
则， ……………………………………………9分
构造，，
所以，
记，则，
显然在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以， ……………………………………………11分
所以，所以在上单调递增，所以， 所以，
由前面讨论可知：，，且在单调递增，所以
………………………………………………12分
若有其他解法，可酌情给分！
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